[高三数学]均值不等式及其运用.doc

均值不等式及其运用编稿：周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅目标认知学习目标：1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等 号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 重点：会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。知识要点梳理知识点一：2个重要不等式1重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2基本不等式： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.注意：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2. 代数法，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.注意：1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙 述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以 叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点五：几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b 时取“=”号。3）；特别地：；4） 5）；6）；7）规律方法指导1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要 求a，b都是正数。如是成立的，而是不 成立的。2两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取 “=”号这句话的含义要有正确的理解。 当a=b取等号，其含义是； 仅当a=b取等号，其含义是。 综合上述两条，a=b是的充要条件。3基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考 虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给 出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。4利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： 各项都是正数； 和（或积）为定值； 各项能取得相等的值。5基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 在定义域内，求出函数的最大或最小值； 写出正确答案.经典例题透析类型一：基本不等式的理解1. 给出下面四个推导过程： ，； ，； ， ； ，.其中正确的推导为（ ）A. B. C. D.思路点拨: 在应用基本不等式时，逐一检验是否具备三个条件：一正二定三取等。解析：，符合基本不等式的条件，故推导正确.虽然，但当或时，是负数，的推导是错误的.由不符合基本不等式的条件，是错误的.由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D.总结升华：在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.举一反三：【变式1】，给出下列推导，其中正确的有_（填序号）.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【答案】（1）；（2）（1），（当且仅当时取等号）.（2），（当且仅当时取等号）.（3）， （当且仅当即时取等号） ，与矛盾，上式不能取等号，即【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2C.函数最大值为D.函数 的最小值为2【答案】C解析：A选项中，当时由基本不等式； 当时.选项A错误. B选项中，的最小值为2 （当且仅当时，成立） 但是，这是不可能的. 选项B错误. C选项中，故选项C正确。类型二：利用基本不等式求最值2. 若,求的最小值。思路点拨: 和是应用基本不等式的两个前提条件；解析：因为，由基本不等式得（当且仅当即时，取等号）故当时, 取最小值.总结升华：1. 形如（，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.举一反三：【变式1】若,求的最大值.【答案】因为,所以, 由基本不等式得:,（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？【答案】，（当且仅当即时，取等号）故当时，的值最小为18.【变式3】求函数()的最小值.【答案】，（当且仅当即时，取等号）故当时，函数()的最小值为32.【变式4】已知，求的最大值.【答案】，（当且仅当，即时，等号成立）（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4. 3.已知（1）若,求的最小值；（2）若,求的最大值。解析：（1）方法一：且, ，即（当且仅当时取等号） ，的最小值为4.方法二：且, ，即（当且仅当时取等号） ，的最小值为4.（2）方法一：，即（当且仅当时取等号） ，的最大值为4.方法二：，（当且仅当时取等号） ，的最大值为4.方法三：， （当且仅当时取等号） ，的最大值为4.总结升华：1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值， 则，等号当且仅当时成立.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值， 则，等号当且仅当时成立.举一反三：【变式1】已知，求的最小值.【答案】， 由（等号当且仅当时成立） 故当时，的最小值为6.【变式2】已知，求的最大值.【答案】解法一：， （当且仅当即时，等号成立） 故当时，的最大值为16.解法二：， 即，可得，（当且仅当时，等号成立） 故当时，的最大值为16.【变式3】若实数满足则的最小值是_.【答案】，即的最小值是6.4. 已知x0，y0，且，求x+y的最小值。思路点拨: 巧用中的“1”，为应用基本不等式创造条件。解析：方法一：， x0，y0， （当且仅当，即y=3x时，取等号） 又，x=4，y=12 当x=4，y=12时，x+y取最小值16。方法二：由，得 x0，y0，y9 y9，y90， （当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4） 当x=4，y=12时，x+y取最小值16。举一反三：【变式1】若,且,求的最小值 .【答案】,， （当且仅当即，时，等号成立） （当且仅当，时，等号成立） 故当，时，的最小值为64.【变式2】若,且,求的最小值 .【答案】,， （当且仅当时，取等号） 故当，时，的最小值为16.类型三：利用基本不等式证明不等式5. 已知,求证。思路点拨:因为,所以可把和分别看作基本不等式中的和,直接利用基本不等式。解析：因为,所以，（当且仅当，即时，取等号）总结升华：前提条件：和=144（定值）.举一反三：【变式1】已知，求证:【答案】（当且仅当即,等号成立）.【变式2】已知、都是正数，求证：。【答案】、都是正数 ，（当且仅当即时,等号成立）故.6. 已知、都是正数，求证：思路点拨:选择（，）灵活变形，可求得结果.解析：、都是正数 （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）即.总结升华： 1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式，以便于利用基本不等式。举一反三：【变式1】证明： 【答案】方法一：，（当且仅当，时，取等号）（当且仅当时，取等号）；方法二：（当且仅当，时，取等号）.【变式2】已知、都是正数，求证：.【答案】、都是正数， （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） 即.类型四：基本不等式在实际问题中的应用7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?解析：由题意可得，。于是，框架用料长度为。当，即时等号成立。此时，。故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省。总结升华：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元.【变式2】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 【答案】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为， 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元， 则 （当且仅当即时，等号成立） 故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.经典例题透析类型一：解一元二次不等式1解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一： 因为 所以方程的两个实数根为：， 函数的简图为： 因而不等式的解集是. 方法二： 或 解得 或 ，即或. 因而不等式的解集是.（2）方法一： 因为， 方程的解为. 函数的简图为： 所以，原不等式的解集是 方法二： （当时，） 所以原不等式的解集是（3）方法一： 原不等式整理得. 因为，方程无实数解， 函数的简图为： 所以不等式的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二： 原不等式的解集是.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方 数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一： 因为 方程的两个实数根为：， 函数的简图为： 因而不等式的解集是：. 方法二： 原不等式等价于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为, 因为, 方程的解， 函数的简图为： 所以不等式的解集是.（3）方法一： 因为 方程有两个相等的实根：， 由函数的图象为： 原不等式的的解集是. 方法二： 原不等式等价于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一： 因为，方程无实数解， 由函数的简图为： 原不等式的解集是. 方法二： ， 原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组，即，即，解得原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数2不等式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则a=_, b=_。【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。由根与系数关系得解得a=-2, b=-2。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集为：.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.的解集为：.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题3已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时， 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 所以， 即， 1m19。 综上所述，实数m的取值范围是m|1m19。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集 即的解集为R 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意. 当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当时，只需， 即，解得， 综上，的取值范围为：.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法4解下列关于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 解析：(1) 原不等式的解集为。(2) =a2-4当0，即a2或a-2时，原不等式的解集为当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。当0，即-2a2时，原不等式的解集为R。(3) (x-1)(x-a)0当a1时，原不等式的解集为x|1xa当a1时，原不等式的解集为x|ax1当a=1时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为a=1或a=-1时，解集为；当0a1 或a-1时，解集为：；当a1或 -1a0时，解集为：。【变式2】解关于的不等式：（）【答案】当a0或a1时，解集为；当a=0时，解集为；当0a1时，解集为；当a=1时，解集为；5解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10。解析：若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式；（2）当a1时，