《函数复习建议》doc版.doc

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函数的有关概念包含的知识点还是比较多的，如函数的三要素(定义域、值域、对应法则)，函数的表示法，分段函数，函数的图象(也是函数表示法中的一种)，映射等 凡是考查到函数，本节所列知识点都会涉及，因为本节的内容是学习函数的基础，也是解答函数问题时的出发点，如函数的定义域，在解决任何函数问题时，均应予以考虑（2）命题规律本节主要考查函数的基本概念，考查定义域、值域、解析式、函数的图象、映射等内容高考常常在客观题中对函数的概念、表示进行单独的考查如2009江西理，2在考题的分布上，很少有考查单个知识点的情况，常常会以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，如定义域与不等式结合，解析式与求函数值结合，值域与求最值结合如2009山东理，10、陕西理，1 从命题形式上看，由于是客观题为主，因此对数学思想的考查渐成趋势如2009浙江理，14，就结合函数图象解决了函数取值问题的讨论，对数形结合思想的考查较为深入(3) 命题趋势在高考命题上，本节知识仍以考查基本概念与基本计算为主，也有可能把定义一种新运算作为考查方式 定义域是常考的内容，在考查定义域时可能会结合不等式进行考查；值域的要求有所降低，单独成题的可能性不大，函数图象的要求主要是运用，因江苏卷没有选择题，对函数图象识别的要求也相应有所降低 另外，在高考中常以函数作为背景，结合不等式、方程、数列等知识，考查学生处理综合问题的能力(仍是今后高考重点考查内容)2函数的基本性质（1）分析解读函数的基本性质包含单调性与奇偶性，一般的，高中阶段研究函数通常从以下六个方面去研究：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性(在基本初等函数中涉及)、对称性 此外，利用函数图象理解和研究函数的性质是应该重视的考查点，函数图象比函数解析式更直观，比抽象函数更具体，其包含的信息量大，对考生的数学能力要求也较高（2）命题规律函数的性质是每年的必考内容，对奇偶性的考查常以客观题为主如2009福建理，5、2009辽宁理，9考查的方向集中在抽象函数的奇偶性、已知奇偶性求参数的值或求给定的函数值、奇偶性与单调性结合等方面相对而言，大题中对单调性的考查比重较大如2009江苏，20、2009山东理，16、2009陕西理，12、2009全国I理，11（3）命题趋势函数的单调性几乎是每年必考内容，例如判断或证明函数的单调性、求单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式难度既有容易题、中等题，也有难题 函数奇偶性在高考中，主要结合函数单调性以及周期性的题目进行考查，在命题形式上，主要是填空题 从能力要求来看，重点还是各种性质的灵活运用3. 指数与对数4. 指数函数的图象与性质(1)分析解读指数函数源于指数式“”，同时源于指数式的函数还有后面要复习的幂函数 在探究指数函数性质时，常用指数函数的图象，因此，正确地绘制指数函数的图象是本节“双基”演练的出发点 有时，考题中会出现抽象函数，并在题设中给出了抽象函数的特征性质，要能够通过特征性质赋予抽象函数以具体背景如函数对任意，具有性质，那么就具备了指数的特征性质，虽然在解答时不可以将当做一个指数函数，但我们可以用指数函数来猜测与验证解答的结果，这常常起到事半功倍的作用(2)命题规律利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算 对于指数式连等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁 比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的问题(如2009山东理，6、2099江苏，10、2009辽宁理，12)，解决这类问题，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，也可借助于图象；如果底数不同，指数也不同，则需要利用中间量比较大小 指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论，指数函数与其他函数构成复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一(3)命题趋势这部分内容在高考中处于重要地位，高考中往往以基础知识为主，如数值的计算、函数值的求法、数值的大小比较等，但有时也与函数基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题 预计在2010年高考中，对指数函数的定义、图象、性质等综合应用的考查仍是高考的重点和热点5. 对数函数的图象与性质(1)分析解读对数函数实际上是指数函数的反函数，但新课标教材淡化了反函数的概念，因此，对数及对数函数的概念更多地从实际问题中引入，这是新课标教材的一个明显变化 与指数函数类似，对数函数的双基演练也以图象为出发点；与指数函数不同，对数函数(包括一些简单的复合函数)有“真数大于零”的特性，亦即有定义域的要求 具有特征性质的函数具有对数函数的背景，在解题时须注意(2)命题规律指数式与对数式的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键 在运算性质时，要特别注意条件，在无的条件下应为 注意对数恒等式、对数换底公式及等式在解题中的灵活运用(如2009湖南理，l、2009全国理，7、2009广东理，3、2009北京理、3)（3）命题趋势在高考中既考查对数函数的定义与图象以及它们的主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的思想及运算能力，高考试题常常源于教材而又高于教材，试题中的多数均可以在教材中找到原型，是教材中问题的延伸、变形与组合 有关指数函数、对数函数关系的试题仍是高考重点，它既可以以客观题的形式出现，又可以以解答题的形式出现，且综合能力要求较高2009年高考虽在使用新课标省份的高考中没有在本节单独命题但在全国其他省市高考题中大部分都有所体现 预计在2010年高考中，本知识点仍是考查热点6. 幂函数7. 函数与方程(1)分析解读幂函数与指数函数的区别是在幂函数中，底数是自变量，指数为常数 新课程出于研究基本初等函数的完整性考虑，将幂函数重新列入教学内容，但为了控制难度，规定了幂函数的研究仅限于这五个因此，在复习时不必加深、拓展 函数与方程包含“一元二次方程根的分布”和“二分法求方程的近似解”两个知识点，前者是历年高考重点考查的技能之一，高考复习专题中常出现所谓“三个二次”专题，包括二次函数、一元二次方程(根的分布)、一元二次不等式(解法)，这说明了三者之间存在内在联系二次函数 “二分法”是求方程近似解的一个算法，其法则是不断二分所在区间，算理是“在区间上至少有一个根”(2)命题规律复习本节知识不能追求难、新，而应重视基本知识的复习，在高考中主要以填空的形式出现(如2009福建理，10、2009天津理，4、2009重庆理，10) 这部分内容在高考中以基础知识为主，考查幂函数的图象和性质，一般以小题形式出观，属于容易题，有时也与函数基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题 函数的零点以及二分法是新课标中的新内容，所以高考试题必会体现(如2009山东理，14)复习时应引起重视（3）命题趋势二次函数是高考考查的永恒主题，函数的零点及二分法的思想在今后高考中会以填空题的形式出现，难度不大，对数学的应用能力将会加大考查力度 从能力上看，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想8. 函数模型及其应用（1）分析解读自1995年应用题进入数学高考以来，有关的争议主要体现在应用题的实际背景上，由于背景知识与学生的生活实际相去甚远，学生往往无法建构出有效的数学模型，从而造成失分 但新课标从义务教育阶段到高中均强调数学知识的实际背景，并提供丰富的实例用于数学知识的建构，还提出“数学建模”的教学要求，因此，能“识别”背景中所含的函数模型已成为学生必须掌握的基本技能 考纲中，本节知识点的能级要求为B，复习时应以课标的基本要求为出发点，适当加强训练，提高能力（2）命题规律作为对考生能力和素质的考查，高考加大了对函数应用性问题的考查力度，分析近几年的高考应用性问题不难看出，试题从实际出发更多地提供命题的背景，设问新颖、灵活而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教学大纲上所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和方法 函数是高中数学的重要内容，在数学各分支中有广泛的应用，近年高考中逐渐增加了有关函数内容的考查，加强与方程、不等式、数列等相关知识的联系(如2009江苏，19、2009山东理，21、2009宁夏理，17、2009上海理，22)(3)命题趋势函数知识的应用自从改革以来，考查力度降低，目的是增强新增知识的考查由于现在师生对新增内容的关注趋于稳定，故有可能在今后的高考中重新加以重视 从能力要求上看，将侧重考查、运用函数的思想以及运用理性思维能力，以解决难度较大的函数综合问题二、复习建议 高考一轮对函数的复习如何提高效果呢？ 1.首先，针对函数知识的特点，特别要注重对概念的复习与理解。函数部分的一个鲜明特点是概念多，对概念理解的要求高。而在实际的复习中，学生对此可能不是很重视，其实，概念能突出本质，产生解决问题的方法。对概念不重视，题目一定也做不好。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。江苏卷连续三年都考查了这方面的内容与方法，如07年文、理科的第22题，考查的是函数的单调性、值域与最值，07年的第19题，文科考察的是函数奇偶性的判断与证明，理科在此基础上还考察了函数单调性。2.其次，理清知识结构，努力构建知识、方法与技能的立体网络。当问到学生类似于“函数主要有哪些内容？”等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对知识还缺少整体把握。所以复习的首要任务是立足于教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便于找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。当然，在这个过程中也发现，如果同学们梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，就需对每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体来提炼与总结基本方法。3.再次，抓住典型问题强化训练，提高正确率。高三学生在复习中大都愿意花大量时间做题，追求解题技巧，虽然这样做有一定的作用，但题目做得太多太杂，未必有利于基本方法的落实。其实对于每一个知识点都有典型问题，抓住它们进行训练，将同一知识，同一方法的问题集中在一起练习，并努力使自己表达规范、正确，相信能达到更高效的复习效果。还是以函数的单调性的判断与证明为例，一般也就两类典型问题，第一是正确判断与证明某个函数的单调性，写出单调区间，要注意函数的各种形式，如分式的（如y=(x+3)/(2x+1)）和函数（如y=x+a/x(a0)），简单的复合函数（如）,以及带有根式和绝对值的等等，第二是它的逆问题，知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围，如函数在区间上递增，求实数a的取值范围等。另一方面，可以在同一个问题的背景下，自己做一些小小的变化与发展，从中做一些深入的探究。例如将函数变化为单调性会怎样变化？如果变化为情况又如何？再复杂一些，如变化为？反之，如果函数在区间(-，1)上单调递减，的取值范围是什么？在此基础上再想一想还能提出什么问题来研究呢？例如函数的值域为，的取值范围是什么？函数是否可以有最大值，如果有，的取值范围是什么？对自己提出的问题加以解决，能使自己的复习更有针对性，真正掌握解题的规律和方法，并帮助自己跳出盲目的题海战。总之，在复习中把握函数的基本概念，将知识、方法和技能有机地整合起来，建立一个立体网络,就一定能达到良好的复习效果。三、典例引领 例1若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.例2 已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f().0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0,x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0,即,0.,综合得.（2）依题意知，又,.点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即.例5 已知函数，且方程有实根. (1)求证：-3c-1,b0；(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明.分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.解：(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，1，解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或，由，得0.（2）=.，cm1（如图），c4m43c.的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.例6设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值.解：（1）当时，函数此时，为偶函数,当时，,此时既不是奇函数，也不是偶函数.（2）（i）当时，,当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.若，则函数在上的最小值为，且.（ii）当时，函数,若，则函数在上的最小值为，且,若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有，即 可得，当时，函数函数为偶函数.通过可得 化得 此式不管还是都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.例7某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元.（1）若当销售价p为52元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则.又由图可知：.所以，由已知，当时，即，解得.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润.当时，求得时，S取最大值7800元.当时，求得时，S取最大值6900元.综上，当时，S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有.解得.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.四、总结提炼1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是