系统误差的数学处理.doc

测绘信息网莀薀螆肃芆薀袈袆膂蕿薈肂肈蚈蚀袄莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅蚅肈膄节螇羁肀芁衿膇荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螄羈肇莇袆螀莅莇薆羆莁莆螈蝿芇莅袀肄膃莄薀袇聿莃蚂肃莈莂螄袅芄蒁袇肁膀蒁薆袄肆蒀虿聿羂葿袁袂莁蒈薁膇芇蒇蚃羀膃蒆螅膆聿蒆袈罿莇薅薇螁芃薄蚀羇腿薃螂螀肅薂薂羅肁薁蚄袈莀薀螆肃芆薀袈袆膂蕿薈肂肈蚈蚀袄莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅蚅肈膄节螇羁肀芁衿膇荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螄羈肇莇袆螀莅莇薆羆莁莆螈蝿芇莅袀肄膃莄薀袇聿莃蚂肃莈莂螄袅芄蒁袇肁膀蒁薆袄肆蒀虿聿羂葿袁袂莁蒈薁膇芇蒇蚃羀膃蒆螅膆聿蒆袈罿莇薅薇螁芃薄蚀羇腿薃螂螀肅薂薂羅肁薁蚄袈莀薀螆肃芆薀袈袆膂蕿薈肂肈蚈蚀袄莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅蚅肈膄节螇羁肀芁衿膇荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螄羈肇莇袆螀莅莇薆羆莁莆螈蝿芇莅袀肄膃莄薀袇聿莃蚂肃莈莂螄袅芄蒁袇肁膀蒁薆袄肆蒀虿聿羂葿袁袂莁蒈薁膇芇蒇蚃羀膃蒆螅膆聿蒆袈罿莇薅薇螁芃薄蚀羇腿薃螂螀肅薂薂羅肁薁蚄袈莀薀螆肃芆薀袈袆膂蕿薈肂肈蚈蚀袄莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅蚅肈膄节螇羁肀芁衿膇荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螄羈肇莇袆螀莅莇薆羆莁莆螈蝿芇莅袀肄膃 系统误差的数学处理周江文摘要系统误差的处理是测量上长期存在的棘手问题之一。它既有系统性,又有随机性,从环境上完全找到系统性原因加以排除也很难实现。本文从“部分延续”模式出发,对系统误差取用相应的权阵,将问题化为常规处理。关键词系统误差; 部分延续模式 测绘信息网中国图书资料分类号P207Mathematical Processing of Problems with Systematic ErrorsZhou Jiangwen(Institute of Geodesy and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan, 430077)AbstractProblems with systematic errors constitute one of the entangling topics long standing in surveying. The difficulty lies in that the errors behave systematically and randomly as well. To eliminate the systematic part through a thorough investigation into their sources is hardly possible. The present paper puts forward an adaptable partial continuation model; taking advantage of the appropriate weight matrix, the problems with systematic errors can be solved in the conventional way.Key wordsSystematic errors; Partial continuation model系统误差的处理是测量上棘手的问题之一,困难在于它既有系统性(某种规律性),又有随机性,从环境上完全找到系统性原因加以排除也很难实现。本文试图利用“部分延续”模式寻求问题的有效数学处理方法。作者在研究水准测量的系统误差时1,曾采用常数数学模式:在同一水准线内为常数,在不同水准线之间是随机量。这个模式也有效,只是运用范围较小。1部分延续模式 测绘信息网误差中显明的规律经过改正或在观测方程中以参量表达出来,仍然留下系统误差(参看文献2)。环境具有延续性,延续中又伴有偶然性。为此提出部分延续模式,其基本模式如下(与数学上的Self-correlation模式相当)。i=i-1+ei(1)其中,i是系统误差,时间或空间序数i,暂设为无穷序列,大致等距,同环境,同向。是延续比,1,其正/负表示同/反号延续。ei是偶然误差,eiN(0,2),相互独立。 测绘信息网由式(1)(2)由此可见Ei=0(3)(4)(5)称为递关联系数(transmitting correlation coef.)。这里E表示期望,下同。i,i+k之关联系数=k(6)k=1,它就是延续比,这可视为此类系统误差的已知特征。随机序列差k增大,关联系数迅速减小。 测绘信息网误差序列的积差阵(以四误差为例, )(7)A的代数余子式阵 测绘信息网(8)(9)于是(10)各式的组成规律(对角带)很清楚。以上结论基本符合系统误差的特征。最重要的是式(6)和(10),问题随机化(两个参数,2),为数学处理提供了途径:对具有系统误差的观测方程,用权阵(10)(参数可不同)作常规处理。0时,问题回到常规偶然误差P=I。用上述模式于相反方向传递,参数,2,可以证明它们与正方向传递之,2相同。因为,E2,Eii+1=Ei+1i是问题给定的,与正方向无关,而2系统误差处理的几点考虑 测绘信息网实际观测中的误差分布是很复杂的,数学上只能概括其主要的加以处理,有如上述。以下各款只是一些实用上的考虑。1) 系统误差序列实际都是有限的,例如(11)1可作为参数求之,是常量,可略去。记,略去3项 测绘信息网(12)较式(8)复杂,求公式与序列长有关,必要时可直接在计算机上求之。实际由于迅速衰减,取用无穷序列模式之权阵可以得到相当近似的结果。 测绘信息网2) 当系统误差序列构成复线,其至网状时,需要考虑多向传递,问题就复杂得多,可根据实际情形作某种简化。3) 采用适当的系统误差模式,较之不适合的误差模式,应带来更接近起初的平差结果(包括余差),(系统性的权阵较之个别权的取值影响更重要)因此将余差的分布与模式对比,可作考察。4) 算权阵或-1,须知,2的适当近似值。式(2)第一式,当为已知时(如重力异常之噪声g2)。用1n组成观测方程(1),求和2,可得(13)(14)如非已知,可适当采用迭进算法。例如,先假设,算权P,平差求,由式(13)求新。如果需要,继续作下去。仿此,由式(2)第二式,将ei+ei-1合并(取近似值),如式(13)作为误差,并不计其关联,可得 测绘信息网(15)这是视2为一独立参量,2不必等于()2,这实际上扩大了模式(1),使之具有更大的适应性,式(15)还可推广于k。5) 利用无穷模式提供之积差阵(7),可以由已知系统误差推估未知i。由噪声推估3, 测绘信息网(16)其中,是的积差阵,i是i与的积差阵。利用式(7),可求得i=i-1(17)即估值只涉及近邻,与远邻无关。从条件分布看1 测绘信息网E(i)i-1(18)条件方差2只与近邻有关,因此i属于Markov序列,得出式(17)是自然的。仿此取可得i的条件分布(19)(式(2)第二式:方差与ei+ei-1相应)式(19)只与i-2有关,其中2可取用式(15)。本项研究得到国家自然科学基金(编号49574205)的资助。编者按：本文为本刊特邀稿。 测绘信息网作者简介:周江文中国科学院测量与地球物理研究所研究员。从事大地测量与误差理论教学与科研60余年,发表许多受国内外测绘专家赞誉的学术论文,是我国著名的老一辈大地测量与误差理论专家。详见本期测绘人物谱专栏介绍。地址:武昌徐东路54号; 邮编: 430077作者单位：中国科学院测量与地球物理研究所参考文献 测绘信息网1周江文水准测量误差的统计公式(1965)。见周江文误差理论北京:测绘出版社,19792周江文重力异常与区均推估(1975)见周江文误差理论北京:测绘出版社,19793周江文噪声推估见周江文,杨元喜,欧吉坤等抗差估计论文集北京:测绘出版社,1992 腿莅蚂袅腿蒇袈膃芈薀蚁聿芇蚂袆羅芆莂虿袁芅薄袄袇芄蚆螇膆芃莆羃肂芃蒈螆羈节薁羁袄莁蚃螄膂莀莃薇肈荿蒅螂羄莈蚇薅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薁衿肁莅蚄蚂羇蒄莃袇袃蒃蒆蚀膂蒂薈袅膈蒁螀蚈肄蒁蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅羂膄肅莄螅肀膄蒇羀羆膄蕿螃袂膃蚁薆芁膂蒁螁膇膁薃蚄肃膀蚅袀罿腿莅蚂袅腿蒇袈膃芈薀蚁聿芇蚂袆羅芆莂虿袁芅薄袄袇芄蚆螇膆芃莆羃肂芃蒈螆羈节薁羁袄莁蚃螄膂莀莃薇肈荿蒅螂羄莈蚇薅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薁衿肁莅蚄蚂羇蒄莃袇袃蒃蒆蚀膂蒂薈袅膈蒁螀蚈肄蒁蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅羂膄肅莄螅肀膄蒇羀羆膄蕿螃袂膃蚁薆芁膂蒁螁膇膁薃蚄肃膀蚅袀罿腿莅蚂袅腿蒇袈膃芈薀