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西南财经大学 经济数学学院 孙疆明,高等数学,国,保,第十三讲 泰勒公式,二、带皮亚诺余项的泰勒公式,三、带拉格朗日余项的泰勒公式,四、五个常用函数的泰勒公式,一、函数逼近、泰勒多项式,（二）函数近似 用多项式逼近函数. 逼近有两种看法： （1）在一点附近近似这个函数好； 泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。 傅立叶级数、正交多项式,（一） 比较,一、函数逼近、泰勒多项式,在讨论函数的微分时，已经得出:,（1）怎样确定系数Rn(x)很小？,（2）误差Rn(x) 有多大？,代入上述条件得到,即,于是,2,二、带皮亚诺余项的泰勒公式,定理1:,证,应用 罗比达法则,只须证明,2,能否再用 罗比达法则？,应用导数定义,不能再用 罗比达法则 ！,三、带拉格朗日余项的泰勒公式,定理2:,证明思路分析,带拉格朗日余项的泰勒公式变形为,应用 柯西中值定理,证,作辅助函数,连续使用（n+1）次柯西中值定理,证毕,注意1 拉格朗日余项的其他形式,注意2 拉格朗日中值定理可以看成是 0 阶 拉格朗日余项泰勒公式。,注意3 两种形式余项的泰勒公式，各自成立 的条件不同。应用范围不同。,2,注意4,或者,麦克劳林公式,四、五个常用函数的泰勒公式, 五个常用函数的泰勒公式,解,2,三阶呢？,不存在 ！,解,二、泰勒公式应用举例,第十四讲 泰勒公式的应用,一、复习,复习, 关于皮亚诺余项泰勒公式的证明,应用 罗比达法则,能否再用 罗比达法则？,应用导数定义,不能再用 罗比达法则 ！, 注意, 五个常用函数的泰勒公式, 求未定型极限 确定无穷小量的阶,二、泰勒公式应用举例, 近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质, 局部应用, 区间应用,皮亚诺型余项,拉格朗日型余项,（一）近似公式,弃去余项，得近似公式,例如：,误差,误差,误差,例如：,要使误差小于0.001，问公式的适用范围？,解,多取两位！,解,解,解,（二）求未定型极限,利用皮亚诺型余项泰勒公式,解,利用皮亚诺型余项泰勒公式,做不出来了！,解,例7 惠更斯弧长近似公式,(,要求尽可能准确地用近似公式,表示弧长 s，确定系数 a 和 b,解,由此得,又知,近似公式,误差,误差,应用惠更斯弧
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