代数方程和常微分方程求解.ppt

第8章 代数方程和常微分方程求解,代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所组成的方程，它包括有理方程和无理方程。代数方程 的解称为 的根或零点，其求解一般是通过代数几何来进行。 微分方程是含有一个或是多个导数的方程。只有一个自变量及其导数的微分方程称为常微分方程；包含两个以上自变量及其偏导数的微分方程称为偏微分方程。 工程上许多物理规律，设计过程的模拟和评价，凡是涉及质量和能量运动设计分析的问题，都最终归结到微分方程。,8.1 代数方程求解,8.1.1 代数方程图解法 符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一维方程或二维方程组。 对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没有解。 例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的图形（图5-3左图）中可见，函数在区间-5,5内与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个实根。,对于二维方程组图解，其解就是两条函数曲线的交点所对应的坐标数值。如果只有1个交点（或切点），则表示该方程组有1个解；如果有2个交点，则表示该方程组有2个解；如果没有交点，则表示该方程没有解。 例8-1 用图解法求解二维联立方程。 a=-2;b=2; % 定义横轴区间 ezplot(x2+y2-1.69,a,b); axis equal; % 控制坐标轴比例相等 hold on;grid on; ezplot(2.4*x3-y+1.5,a,b); line(a,b,0,0);line(0,0,b,a); xlabel(bf x);ylabel(bf y); title(bf 二维代数方程组的图解法),gtext(bf f_1=x2+y2-1.32); gtext(bf f_2=2.4x3-y+1.5);,8.1.2 代数方程的解析解 求非线性方程或方程组解析解的函数调用格式： X=solve(fun,x) 其中，fun是符号方程的函数表达式，x是自变量，X是解析解。 应当指出，函数solve(fun,x)也可以用于求线性方组的解析解。 例8-2 求非线性解方程组解析解,% 二维非线性方程组的解析解 syms a b x y; f1=x2-x*y-a; f2=y2-x*y+b; disp( 二维非线性方程组的解析解：) X,Y=solve(f1,f2,x,y) M文件运行结果： 二维非线性方程组的解析解： x = a/(a-b)(1/2) -a/(a-b)(1/2) Y = 1/(a-b)(1/2)*b -1/(a-b)(1/2)*b,8.1.3 线性方程组的数值解 最简便方法是使用矩阵左除或是矩阵求逆的方法，求解线性方程组AX=b。 X= Ab X=inv(A)*b 其中，A是方程组的系数矩阵，b是常数向量，X是解析解。 例8-3 求线性方程组的数值解,% 线性方程组的数值解 AA=1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11; bb=5;-2;-2;0; % 线性方程组常数向量 disp( 采用矩阵左除求出线性方程组的解：) xx=AAbb disp( 采用矩阵求逆求出线性方程组的解：) zx=inv(AA)*bb disp( 计算残量：) r=AA*zx-bb disp( 计算残量的模：) R=norm(r),M文件运行结果： 采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015,8.1.4 非线性方程的数值解 1、一维非线性方程 对于一维非线性方程求解，可以看作是单变量的极小化问题，通过不断缩小搜索区间来逼近一维问题的真解。因此，可以使用一维非线性方程优化解函数来求解。其调用格式是： x,fx,flag=fzero(fun,x0) 其中，输入参数中：fun是非线性方程的函数表达式；x0是根的初值； 输出参数中：x是非线性方程的数值解；fx是数值解的函数值；返回参数flag0时，表示求解成功，否则求解出现问题。 函数fzero所使用的算法为二分法、secant法和逆二次插值法的组合。,例8-4 求解一维非线性方程 % 求解单变量x非线性方程 x0=0.1; % 解的初值 xz,fz,flag=fzero(atan(x)+exp(x),x0); disp( 求解成功性判断参数：), flag disp( 非线性方程的解：),xz disp( 非线性方程解的函数值：),fz M文件运行结果： 求解成功性判断参数： flag = 1 非线性方程的解： xz = -0.6066 非线性方程解的函数值： fz = -1.1102e-016,2、多维非线性方程组 对于多维非线性方程组 使用多维非线性方程组优化解函数求解的格式： x,fval,flag=fsolve(fun,x0) 其中，输入参数中fun是非线性方程组的向量函数表达式；x0是根的初值；输出参数中x是非线性方程（组）的数值解；fval是数值解的函数值；返回参数flag0时，表示求解成功. 函数fsolve的作用是从根的初值x0开始，以逐渐减少误差的算法，搜索出满足多维非线性方程组fun的实根x和对应的函数值fval。,例8-5 求解二维非线性方程组 x0=2;3; % 解的初值 % 定义非线性方程组表达式f和向量x fun=inline(2*x(1)-x(2)2-exp(-x(1);-x(1)3+x(1)*x(2)-exp(-x(2),x) xn,fval,flag=fsolve(fun,x0); disp( 求解成功性判断参数：), flag if flag0 disp( 方程组的解成功) elseif flag=0 disp( 方程组的解不成功) end disp( 非线性方程组的解：),xn disp( 非线性方程组解的函数值：),fval,M文件运行结果： 求解成功性判断参数： flag = 1 方程组的解成功 非线性方程组的解： xn = 0.9978 1.2755 非线性方程组解的函数值： fval = 1.0e-006 * -0.1945 -0.3372 两个非线性方程解的函数值非常接近于0，说明其解的误差很小，且判断参数flag0，解成功。,8.2 常微分方程求解,求解微分方程必须事先对自变量的某些值规定出函数或是导数的值。 若在自变量为零的点上，给出初始条件，称为初值问题，最普遍的自变量是“时间”。例如，弹性系统的自由振动，若以时间为零来限定位移和速度，这是一个初值问题。 若在自变量为非零的点上，给出边界条件，称为边值问题，最普遍的自变量是“位移”。例如，描述梁弯曲变形的微分方程，边界条件总是规定在梁的两端。,8.2.1 常微分方程的解析解 在MATLAB中，用大写的字母D表示导数，Dy表示一阶导数 ；D2y表示二阶导 ； 表示微分方程： 在MATLAB中，由函数dsolve进行常微分方程（组）的求解问题，其调用格式是： y=dsolve(e1,e2,.,en,c1,c2,.,cn,v1,v2,.,vn) 它用于求解常微分方程组e1,e2,.,en在初值条件c1,c2,.,cn下的特解。如果不给出初值条件，则求出解常微分方程组的通解。v1,v2,.,vn是求解变量。,例9-1 求常微分方程 的通解 在此问题中，微分方程的MATLAB表达式为： Dy-y*(1-y2)=0 没有给出初值条件，只能求出解常微分方程组的通解，调用求解微分方程组的语句为： y=dsolve(Dy-y*(1-y2)=0,x) 运算结果： y = 1/(1+exp(-2*x)*C1)(1/2) -1/(1+exp(-2*x)*C1)(1/2) 即该微分方程的解析解为,求常微分方程组的通解。 没有给出初值条件，只能求出解常微分方程组的通解，调用求解微分方程组的语句为： x,y=dsolve(Dx+y=exp(z),Dy-=exp(2*z),z) 运算结果： x = cos(z)*C2-sin(z)*C1-1/5*exp(2*z)+1/2*exp(z) y = sin(z)*C2+cos(z)*C1+2/5*exp(2*z)+1/2*exp(z) 其中，C1与C2是积分常数。即该微分方程的解析解为,求常微分方程组 当 和 条件下的特解。 在此问题中，两个微分方程的MATLAB表达式为： e1：Dx+2*x-Dy=10*cos(t) e2：Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t) 初值条件表达式为： C1：x(0)=2 C2：y(0)=0,系统函数dsolve默认自变量为t，所以调用求解微分方程组的语句为： x,y=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t), Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t),x(0)=2,y(0)=0) 运算结果： x = -2*exp(-t)*sin(t)+4*cos(t)+3*sin(t)-2*exp(-2*t) y = 2*exp(-t)*cos(t)+sin(t)-2*cos(t) 即该微分方程的解析解为：,8.2.2 常微分方程的数值解 MATLAB中用于求解一阶微分方程组初值问题数值解的常用函数是ode45，它是基于四阶五级Runge-Kutta变步长算法，采用误差作为监测指标的闭环控制，既保证有较高的运算速度和中等计算精度，也保证预期的数值稳定性，是大部分场合求解非刚性常微分方程数值解的首选方法。求解非刚性常微分方程数值解的常用函数还有ode23，它是基于二阶三级Runge-Kutta的单步算法，计算精度较低。 函数ode45的调用格式是： t,x=ode45(fun,t0,tf,x0) 其中，fun是描述微分方程的符号函数或是用inline()函数描述的微分方程；t0表示起始时刻，tf表示终止时刻；x0是初值问题的初始状态变量。,例9-2 试求洛伦茨（lorenz）系统动态模型状态方程的数值解。 初值 ， ； 终止时刻 。 其中，系数,% 描述洛伦茨（lorenz）系统动态模型状态方程3维非线性常微分方程组的函数文件 function xdot=lorenzeq(t,x,flag,beta,rho,sigma) % 输入参数中：beta,rho,sigma是方程组有关项的系数；变量flag用于占位 xdot=-beta*x(1)+x(2)*x(3);-rho*x(2)+rho*x(3);-x(1)*x(2)+sigma*x(2)-x(3); % 求解洛伦茨（lorenz）系统3维非线性常微分方程组 tf=100; x0=0;0;1e-10; % tf是终止时刻,beta=8/3;rho=10;sigma=28; % 给各系数赋值 t,x=ode45(lorenzeq,0,tf,x0,beta, rho,sigma); subplot(1,2,1); plot(t,x) % 绘制2维线图 grid on title(bf 状态变量的时间响应图) subplot(1,2,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3); % 绘制3维线图 axis(10 42 -20 20 -20 25); title(bf 状态变量的相空间三维图),8.2.3 高阶微分方程的降阶求解 n阶微分方程一般形式： 已知输出变量各阶导数初值 选择一组状态变量 可以把n阶微分方程化成等价的一阶微分方程组 这是一个含n个未知函数的一阶微分方程组,初值,例9-3 试求二阶微分方程 的数值解。状态变量初值 和 ，起始时刻 ，终止时刻 。 该二阶微分方程可以通过下面的变换，得到等价的一阶方程组： 编制如下函数m文件： function dy=weifen(t,x) dy=zeros(2,1); dy(1)=x(2); % x(2)=z dy(2)=sin(t)-x(2)-x(1); % x(1)=y,然后用函数ode45求解微分方程：t,y=ode45(weifen,0,20,0,6); plot(t,y(:,1);hold on % 绘制y的图像 plot(t,y(:,2), r-); % 绘制y的图像 xlabel(bf t); ylabel(bf y); title(bf 二阶微分方程的数值解); legend(实线：y的图像,虚线：Dy的图像) 运算结果如图8-3所示。,例9-4 试求二阶微分方程的数值解： 该二阶微分方程可以通过下面的变换，得到等价的一阶方程组： 已知状态变量的初值 起始时刻 ，终止时刻 。 % 1-计算二阶微分方程的解析解 syms t y=dsolve(D2y=-3*cos(2*t)+2*sin(t)+t-3.5, y(0)=0,Dy(0)=0,t),ezplot(y,0 10); % 绘制解析解 xlabel(bf t);ylabel(bf y); title(bf 二阶微分方程的解析解和数值解) gtext(bf y=(3cos2t)/4-2sint+t3/6-7t2/4+2t-3/4) hold on% 2-计算二阶微分方程的数值解fun=inline(x(2);-3*cos(2*t)+2*sin(t)+t-3.5,t,x); t x1=ode45(fun,0,10,0,0); plot(t,x1(:,1),r*); % 绘制数值解 grid onlegend(曲线：解析解,星号：数值解) 运算结果如图8-4所示。,8.2.4 刚性微分方程的数值解 刚性方程是指其Jacobian矩阵的特征值相差十分悬殊。在解的性态上表现为，其中一些解变化缓慢，另一些变化快，且相差较悬殊，这类方程常常称为刚性方程，又称为Stiff方程。 刚性方程和非刚性方程对解法中步长选择的要求不同。刚性方程一般不适合由ode45这类函数求解，而应该采用ode15s等函数。如果不能分辨是否是刚性方程，先试用函数ode45，再用函数ode15s。求解刚性微分方程数值解常用函数有： ode15s，它是基于Gears反向数值微分的多步算法，具有中等计算精度； ode23s，它是基于Rosebrock的单步算法，计算精度较低。 函数ode15s和ode23s的调用格式与函数ode45相同,例9-5 求刚性微分方程组的数值解 已知：初始条件 和 ，起始时刻 和终止时刻 。 使用函数dsolve可求出解析解为： 可见，当时，两个分量均趋于0。下降极快，而下降很慢。,编制描述刚性微分方程组的M文件： % 刚性微分方程组的函数文件 function fun=stiff(t,y) fun=-0.01*y(1)-99.99*y(2);-100*y(2); 调用函数ode15s求解： t,y=ode15s(stiff,0,400,2,1); tstep=length(t); % 总步数 minh=min(diff(t); % 最小步长 maxh=max(diff(t); % 最大步长 plot(t,y); xlabel(bf t);ylabel(bf y); title(bf 刚性微分方程组的数值解) gtext(bf y_1); gtext(bf y_2);,8.2.5 微分代数方程的