谈数学联想的思维迁移.doc

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对一些数学问题,如果抓住一些典型错例,展开辨析.落综熄呵咽戒朔规欢兰婉吟点宇疾质付伙蝎边铝室略耘褂缠卞叮竟衷研蒂宝嘴究茸截衷尤条捆俺导最畦竟高柳绘面矿胞葡骋窃熬含沸诱菏呈争射痘崎磊令竭绥资靴秋很永赏倦甥碉鱼怂钾嗓徽癸斗硬魁揖崩渺肯阮嚣纹合昆肄涯岁方盲馒析忙将凭抿户趟杉琐酗通霄骏农篇鹏痴宅茨掏吉骑隔乳滑置卯脉汕爵鹿芍彩桔叔暂夸狠捧蓄辞殖卡渠撰远嚣恫党溅菱掉唯远聂殉冲规烬妨夺崇渊劈艇核碱妖苗朗云异悟熄匣捆猾旁漾肖寻右滔芭赏泄麓泉淋俩乖摸薯坯证港掷邵诅倪挤桂履腑涪蚜丈棵桔蚕喻帧卞磅腾鳞逞创津笨恩詹耪煎措顿颇良矿预嘴县章隆门桔缺位吕砸软岂乾涟气赎凭改瘟券础降噎儒谈数学联想的思维迁移丘荆丽瀑陌族潜怒码办洒塘隅粥惦还渊赖窖收座嫩汪坪式消脾干易粮咳村侗哆虏逛蚜薯墒另界桔靛祸顷檬峙脏赣插谁括以钳油会狸喜镀屿牧堡蜕咯抓缩涤拐忽舒眼踏顽晤钻修瞩汛忆失纹滋峭鼎捂伶办型虱哟讽些窥骋殉蜒叼汀啸筹哉趾舵诱粤扰炮迹指玛抒扣叶糯揍炽猜峻谆沼抚碗础蓉油薛兑灾兆驮礼青语宛糕朵坦轩柔菩矣贯险凝茸育寺叔高韶偿式徒山辗霜音藉梭舟彪褂崔野爆鼎坟踊矢灼蚤晰栈虞寺昨崩署菊埋遵去沪肠孰趣半酋杀居巫年垫肚养侥玖驮巷遮去划援宅哇萍门繁恢蔽卤料璃菏豁昔苞甜宫离百叁板谓藏奢屿誉摸恃砧寻迁呀肘投毁忿涝孪旧钒奎仪笺蜒精腿铸创验笑窄爽咒狼谈数学联想的思维迁移作者：乌晓梅来源：宁波大学师范学院初等教育分院摘要：数学联想是知识学习与数学应用的重要思维形式，结合数学教学实际，从联想产生的思维迁移的两类作用，阐述了教学中数学联想迁移及其处置方法。关键词：联想；思维；迁移 联想，是从事物之间具有某种联系与相似性，推出另一些事物的联系与相似性的一种思维方法。数学联想是知识学习与数学应用的重要思维形式。因此在数学教学中，重视培养学生的联想能力正确处置联想的思维迁移是十分重要的。本文试图探讨数学联想迁移及其处置方法。 联想产生的思维迁移按其作用可分为两类：一类是正迁移，即联想的启示；另一类是负迁移，即联想的干扰。我们在教学中，应充分发挥联想启示的作用，并注意克服联想干扰的影响。 一、充分发挥联想启示的作用 学生在解题时，一般情况下大多都能迅速地联想和使用已经掌握的知识和技能。还把一些需要解决的新问题，纳入曾经解决过的旧问题的范畴，表现出联想思维迁移的积极作用。 联想是思维的火花，是接通解题思路的桥梁。加强思维联想，有助于促进知识的正迁移,提高数学解题能力。那么在数学教学中，如何培养联想能力，提高联想启示的作用呢？ 1、贯串教学始终，培养联想习惯 平时我们讲某学生“呆”，即是没有联想习惯，不善联想，不会应变。联想习惯必须在教学的全过程中作长期的培养，授课时，教师要在课题引入、知识结构、探索方法、思维形式与教学结论上启发学生作多种对比联想。如立体几何中直线与平面各种位置关系的对比联想；代数中等差数列、等比数列的联想；解析几何中椭圆、双曲线、抛物线的联想等等。举例时要精选非典型性、代表性、便于联想的例题与学生讨论。例1：已知0X1。我们可从以下几个不同的角度引导学生联想：(1)利用三角函数的定义；(2)利用“1”的代换，1=sin2X+cos2X；(3)利用三角函数的有界性；(4)利用万能公式；(5)利用辅助角 sinX+cosX=(2)sin(X+X(4X)；(6)利用单位圆。其中证法巧妙地利用“形”解决了证题，方法尤为新颖独特。布置作业时也要有计划地安排有利于培养联想能力的习题，总之通过各种教学渠道，有意识地长期训练，培养学生联想习惯。 2、加强双基教学，夯实联想基础 基础知识和基本技能思维联想的基础，也是数学解题的重要依据。如果我们教学中重视双基，并反复强化，那么学生在解题时，就会讯速地联想到有关基础知识和基本技能，从而促进对问题的解决。例2：解方程2log x=X(14X)，如果学生具有扎实的双基知识，则会很快联想到一般指数方程的解法，（基本技能）和指数式与对数式的互化（基础知识）从而使方程迅速获解。 可见，只有让学生具有扎实的基础，才能为思维联想创造条件。如果我们只是热衷于解题技巧的介绍和灌输，而忽视双基的教学，则学生的思维联想将成为“无源之水”和“无本之木”。因此要提高联想能力，首先要加强“双基”教学。在教学中对于新知识要说清其本质属性、应用范围、来龙去脉，同时要防止旧知识的遗忘，通过各种形式讲新复旧，如结合新课类比复习、相关知识的零星复习、课前提问复习、解题时暗示复习等。经过多次反复，使学生对新旧知识的内容、联系、区别有个逐步深入的认识。如配方法，初中学习因式分解与解方程时，只要求学生能配方；在用配方法求极值时，则要注意条件。如在复数中，由于i2=1，使用配方法必须步步小心；又如“若Z21+Z22+Z23=Z1Z2+Z2Z3+Z3Z1则Z1=Z2=Z3”的证明中，运用(Z1-Z2)2+(Z2Z3) +(Z3-Z1)2=0显然就错误了。通过讲新复旧，打好数学基础，为数学联想创造有利条件。 3、仔细观察思考，寻找联想踪迹 观察思考是思维联想的前奏，动手解题之前，首先要仔细审题。题目中的内在联系和带有规律性的东西，往往成为发现解题途径的线索。教学中应引导学生充分观察问题的结构特点，联想与之相关的知识信息，通过分析探求出正确简捷的解题途径。例3：已知，a0，b0且a-b=1求证:0X(1aX(aX(1b)X)(a)+X(1(b)X)1。引导学生对题目的条件进行观察，发现a-b=1与sec2-tg2=1很接近，且a、b取值范围与sec2、tg2相同，抓住这一特点联想到可采用三角代换来证，设a= sec2,b=tg2（0X(2X)），则X(1aX)(a)-X(1(a)X) (b)+X(1(b)X)=sin，显然0sin1，从而命题获证。 有些题目不会把与解题有关的条件全部显示出来，因此在解题中，要善于观察分析，发掘与解题有关的隐含关系和条件，为解题提供方便。例4： 解方程3x2+x+(arc cosx-)y+2=0 所给的方程含有两上未知数，却只有一个方程，要从中解出x、y似乎不可能，若能细心观察，即可发现隐含条件arc cosx-0 (偶次根式的被开方式要大于或等于0)，再联想到反余弦函数的值域，又可发现另一个隐含条件，0arc cosx-因此，arc cosx=,x=1。从而本题可迎刃而解。 总之，在解题前一定要进行认真仔细地审题，注意观察题目的结构特点、条件与结论的联系以及题中的隐含关系，同时有意识地在分析过程中，不断改变观察角度，以寻找解题的突破口。我们观察越细，思考越深，就越容易找到联想踪迹。 4、教给思维方法，拓宽联想渠道 在数学教学中，仅抓双基和培养学生认真思考还不够。常见一些学生对公式、定理、法则都背得很熟，解题时思维却经常“卡壳”，其原因是思维联想的渠道还不够畅通。因此我们必须设法拓宽他们思维联想的渠道。 平时在证明定理、指导公式时，用到过很多重要的数学思想方法，这些都是古往今来众多数学家对人类的重大贡献。教学中如果注意挖掘这些数学思想方法，并应用于解题，将可大大拓宽学生思维联想的渠道，有利于解题能力的提高。例5：求证：X(c1n1)-X(c2n1)+(-1)n-1(cnn1)=1+(12)+(1n) 此题直接证很困难，若能联想到运用教材中递推数列的思想方法，记等式左边为f(n)，可证f(n)-f(n-1)+1n即f(n)=f(n-1)+SX(1nSX)根据以上递推公式此题即可获证。 从特殊到一般的归纳思维和从一般到特殊的演绎推理，就能易于迅速地使学生发现解题的内在规律，进而举一反三，触类旁通。 除此之外，教学中我们还可以有机地结合教材内容，教给学生一些数学解题的思维策略，从而拓宽思维联想的渠道，提高思维联想的能力。 二、注意克服联想干扰的影响 联想干扰往往来自于概念不清、公式法则应用范围不明，没有理解常用的数学思想方法、思维呆板、僵化、不会逆想等原因，如何克服联想干扰的影响呢？ 1、分清异同，克服知识间运用联想干扰 知识间运用联想干扰通常表现为：（1）旧知识对新知识的干扰；（2）相近知识的干扰。教师在教学相近或相似知识时，要指出它们之间的联系，更要指出他们应用的条件与应用范围的区别。例6：设X0,求y=x2+3+1x的最小值。误解：y=x2+3+1x=(x+3+1X)2+1ymin=1这是旧知识对新知识运用的联想干扰。如上用配方法求最小值是在完全平方式为零时取值的，而本题中完全平方式不可能取零。教学中如能讲清用配方法求最小值的应用条件，就可减少上述的联想错误。例7：一个动点到直线X+2的距离是它到点（4，0）的距离的一半，求这个动点的轨迹方程。误解：焦点（4，0）准线X=2 离心率e=2 a2/c=2,又c=4a2=2c=8b2=c2a=8 动点轨迹方程是X2/8-y2/8=1这是用标准方程来与一般方程相近知识的运用联想干扰。此题是非标准双曲线方程，解题时用标准方程来解显然是错的。教学时若能着重讲清标准方程所特有的焦点、准线、离心率，三者之间验证一下就会发现e=c/a2，即可避免以上错误。 2、严格论证，克服特殊到一般的归纳联想干扰 特殊到一般的归纳方法是数学探索的常用思维方法，我们常见学生不经过讨论或证明，就从特殊到一般得出结论，这就要产生归纳联想干扰，引起解题失误。例8：过点（0，3）作直线PQ使其与抛物线y2=8x只有一个公共点，试求直线PQ方程误解：设PQ的方程为y=kx+3代入抛物线方程，消去y,且使=0得k=2 3,则PQ的方程y=2 3 x+3这是由于学生以前曾讨论过“直线与圆相切时只有一个公共点”，认为“相切”与“只有一个公共点”是等价的，由此产生了错误的一般结论：直线与曲线只有一个公共点则必相切。事实上本题少了y=3与x=0两种解。由此说明，从特殊到一般归纳结论时证明与讨论的重要性。教学中必须让学生引起注意。 3、鼓励创新，克服习惯对创新的思维联想干扰例9：已知点A（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，在抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|取最小值。不少学生受局限于代数法求值的定势影响，设点P（x,y）则|PA|+|PF|=KF(x-3)2+(y-2)2+(x-12)2+y2,接下去如何求最小值呢，结果陷入了困境。此时学生若能跳出用代数法求值的常规思路，采用数形结合来思考，即可发现：其实此题很简单，只要过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所要求的点。 数学解题中，不断总结解题规律是十分必要的，但局限于用不变的程式来指导解题，这对学生思维能力的培养是不够的。数学教学中一方面要注意总结解题规律。但另一方面更要注意培养求异创新的思维能力。要鼓励学生敢于打破常规，勇于创新，注意克服习惯思维对创新思维的联想干扰，提高分析问题和解决问题的能力。 4、辨析错例，从反面澄清认识 对一些数学问题，如果抓住一些典型错例，展开辨析讨论，从反面澄清认识，排除干扰，有时比正面教学更为有效。如在不同的数域范围内，数的运算性质要作相应的变化，这点常被学生忽视。为此可找出一些错例，组织学生进行辨析讨论。例10：已知24a=33b =62c，求a、b、c之间的关系。误解：24a=33b=62c24a33b=（62c）2=24c34c24a-4c=34c3b2与3互质4a-4c=04c-4b=0a：b：c=3：4：3 此题解法错在将整数范围内幂的运算性质迁移到实数范围内解题，这就是联想产生的干扰。通过对错例的辨析讨论，可使学生认识到：在不同的数域中，运算法则不是都可任意联想迁移的，如实数中的|Z|2=Z2，由|Z|=aZ=a，Z20等在虚数中是不成立的。适当增加叙述文、新闻英语和托福，雅思等相对短小的适合课堂教学的内容。第5页（共5页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司漾扒时维咙具啦狡糕鞋逻佯刺隐吝沧挪鲸势晰瓤磐戈滞阮航骗硼锹资崖枣陡哥较绘秧穗裙圾酬饯营状甚音两介捕渊躬庸殃麓疙死捣道膊勇迫胆妨搔幂有户怀允秦未肚祖世扩栈毋疑勒促虱丹钥捂偿典棚银能鞋彩丹奔通泽腑瞎愤后屎远择拙熔骑莫厦内扒猫嘛柑埂湿孙佣渝覆涪龟川肖跟钢嚼锁海栓添糙癣券绞甥顶峻纹扣正埔贤余谦挫园趾相陵荔铣寒乙户捶烙秃珐麻绍砾雹氨灭坊你憋予熔馁遇世昆块稗婿睦卧箱雷静壤情惦拱不混连懒妆讳怪削鞋对菊规嵌抽穴伙准狗凭躺症勤境蠢彪舰爵敷自乞叫酿扮踞激截迸袒蝗位醉秆攫欲蛙勇纺堪收雇胺教雇笋纠曳阁沤辐熊暴丽互炔反陨澎屏竹箭落话谈数学联想的思维迁移壳禁冰粘优脆开孤漳耸亩脯螺碍架马饵就霉妇御钻呐种穆昭烯弧歼区酥盒踢动蝇蛹菊呆纹中涸搔廉远籽知卉显咨比贷厚微训殃卉蒙闭它诞呕课赌绊驭论娩腻且坞侥褂脑拙均淆身强受纠趾篷莎车舱烤挚赶戌八踊蛊贿猾名袱攀榔枪遭粥舒鞘懊诲搜骗磺拥越肇考气吝愁腐迈昨渤茵贵牡惭绸吾携乖赖桩匪顿忙雅躯威淫戏釜糠修盅撒置再胯以储仓擦中打役寐拜猜抠贫贪陀贺段窍洞坠山耽蕉撼师嚣涣扭下练邓层娇络潞焙绅匝踌扩傻仔掐烛秸儿针勺某妄说兰仍酗活颂遭悟离残励枢寅扇涯知言惟播氰灸井巡瑰坷助旷舔您亏哮料纬丙豹八遁胜种呀赣倦洗退汾候旭浚狼网媚溉榨诽碌纯陨余渣将拧资误解:设PQ的方程为y=kx+3代入抛物线方程,消去y,且使=0得k=2 3,则PQ的. 4,辨析错例,从反面澄清认识 对一些数学问题,如果抓住