畢氏定理的分析陳彥綸(54KB).doc

畢氏定理的分析原是用來計算面積的方法但限延伸為計算邊常的方法而最早發現這個偉大的數學定理的人是兩位偉大的數學家l 一位是中國人:商高l 一位是古希臘人:畢達哥拉斯此定理在古希臘時畢達哥拉斯發現此定理時為慶祝而斬百牛故又稱(百牛定理)而在中國的周髀算經中畢氏定理的公式與證明相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為(商高定理)三國時代的趙爽對周髀算經內的畢氏定理作出了詳細注釋法國和比利時稱為(驢橋定理)埃及稱為(埃及三角)在公元前500200年，周髀算經的圖解定義畢氏定理指出：直角三角形兩直角邊（即勾、股）邊長平方和等於斜邊（即弦）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 a2 + b2 = c2只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。畢氏定理同時是餘弦定理中的一個特例。畢氏定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式：a = k(m2 n2),b = 2kmn,c = k(m2 + n2)，其中。經歷早在中國，周髀算經記載了勾股弦定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理。畢氏其父為商人經常與阿拉伯人往來，當時阿拉伯人商人是非常活躍的，像阿拉伯數字就是他們由印度傳播到世界各地的；因此勾股定理，也極有可能由阿拉伯人商人傳至世界各處；此由畢氏學派的神秘作風，可有諸多懷疑吧。畢達哥拉斯的哲學思想受到俄耳浦斯的影響，具有一些神秘主義因素。畢氏是一名素食者，而且認為吃肉是有罪的。他認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字癡迷到幾近崇拜；同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實：譬如主張平方數4意味公正。相傳當他發現根號為無理數時，大為震驚、死不承認。在他的學生希伯斯向外人透露無理數的存在後，畢達哥拉斯下令將其淹死。像圓周率在全世界的發展，均有其脈絡可尋；而勾股弦定理卻是由如此小眼睛、小肚腸的數學家突然發現並即成立神秘學派不斷研究，卻又禁止對外發表，還真令人懷疑呀！古巴比倫一項已被證明的說法指出， 古巴比倫的幾何圖形式被用來 占卜的。人們對於畢氏定理 的巴比倫證法(被稱為兩倍 正方形法)的了解最詳細是 來自於被珍藏於大英博物館中的。 對於 的猜設如下： 假設一個人想要製造一個兩倍於一已知正方形的正方形，他會怎麼做？他可能會把已知正方形的邊長兩倍，但他很快就會了解這麼做事實上是把正方形的面積放大了4倍。如果他觀察這個被放大了4倍的正方形，他可能會為了畫那4個已知正方形的對角線而連接大正方形各邊的中點。因為這些對角線能把這四個正方形切成一半，於是他便製造了一個兩倍於原已知正方形的正方形。另外，這麼做製造了一個較小的正方形位於已被4倍的正方形的中央，且有4個全等的直角三角形位於四周。其中，此較小正方形的邊長恰好是周圍直角三角形的斜邊。所以，結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。 到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。公式（）證明(a+b) =c +4(1/2ab)a +2ab+b =c +2aba +b =c 補充這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。中國古代的周髀算經中，記載了商朝的商高引述大禹發現了勾股弦定理： 故折矩, 以為句廣三, 股修四, 徑隅五。既方之, 外半其一矩, 環而共盤, 得成三四五。兩矩共長二十有五, 是謂積矩。 故禹之所以治天下者，此數之所生也。 周髀算經 卷上之一周髀算經中更明確記載了公式： 若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日 周髀算經 卷上之二補充(2)直至現時為止，有許多辯論關於勾股弦定理是否早已不只一次被發現。有人說是在西元前2000年由英國發現，然後傳播到達米亞。然而，許多學者並不同意這說法。最近，Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股弦定理。大禹西元前2205年到西元前2105年。商代的時間應為西元前1766年至西元前1111年。畢達哥拉斯西元前580年到西元前500年。心得畢氏定理中直角三角形的邊長關析式是（）這是從中國；古希臘及多方古老的文明早在幾百年就出現了，因此出現許多的名稱，也讓很多知名的數學家致力於研究，其中，最有名的是商高，畢達哥拉斯。經過這次的報告我學了很多也增加了很多數學概念希望下次還有機會。參考資料http:/tw.edit.knowled