等差数列及等比数列探究.docVIP

羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃薃蝿肆艿薂袁节薇薂羄肅蒃薁肆芀荿薀螆肃芅虿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀芇蒆蚆袂腿莂蚆羅莅芈蚅肇膈薆蚄螆羁蒂蚃衿膆莈螂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇蕿螀羅芃蒅蝿肈肅莁螈螇芁芇螇袀肄薆袆羂艿蒂袅肄肂莈袄螄芇芄蒁羆肀艿蒀聿莆薈葿螈腿蒄蒈袁莄莀蒈羃膇芆蒇肅羀薅薆螅膅蒁薅袇羈莇薄聿膃莃 等差数列及等比数列探究摘要：高中数学课程中,数列一章很受学生的欢迎。经过多年对该章教学后的调查，得出其中的原因：1、等差数列、等比数列的内容富有趣味性；2、学生在学习过程中感受到数学美；3、学生学习兴趣高，争当解决问题的能手；4、学生能利用知识，解决实际生活中的问题。关键词：构造、推广、引伸为了能使这种数学美延续下去，本文对等差数列及等比数列探究。我们知道等差（比）数列的本质属性是与（nN+）的差（比）是同一个常数，这个本质属性有时会遗传到在由等差（比）数列构造而得的新数列中，而有时在构造的新数列中会失去这个本质属性，以致产生变异，有时还会突然失去等差、等比的特性，变成一个一般的数列。一、等差数列的构造（一）若数列是公差为的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列，如：(1)去掉前面k项后余下项组成的仍为公差为的等差数列。考察余下的项组成的数列，第项与第项的差：（常数），因此，余下的项组成了一个新的等差数列。首项为：=，公差为；第项为：；前项和：。(2)所有的奇数项组成的是公差为的等差数列。考察新数列，假定原数列的第项为奇数项，第项也为奇数项因此，这个新数列是一个等差数列，公差为：2，首项为，第项为：，前项和。同理：所有的偶数项组成的是公差为的等差数列。考察新数列，假定原数列的第项为偶数项，第项也为偶数项因此，这个新数列是一个等差数列。公差为：2，首项为：，第项为：，前项和。(3)数列（其中是常数，且）都是等差数考察新数列，因为，所以新数列（其中是常数，且）是一个等差数列，公差为，首项为：，第项为：，前项和：由此我们可得到的一般性结论是：凡是项的序号成等差数列（公差为）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为。设组成的新数列，首项为：，第项为：，第项为：则-=所以新数列是一个等差数列，公差为：。前项和： (4)数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列。若c=0，显然成立。若c0，考察新数列，首项为：，第项为：，我们看第项与第项的差：，因此，新数列是一个等差数列，公差为。第项，=前项和：(5)数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列。若c=0，显然成立。若c0，考察新数列，首项为：+c，第项为：+c，()-()=d， 因此，新数列是公差为d的等差数列。第项，+c=。前项和：n(。(6)数列（其中是常数，且）是公差为的等差数列。 若k=0，则新数列2，公差为2d，由(4)显然成立。 若k0，则新数列，首项为：，第n项为：，考察第n项与第n-1项的差，()-() =d+d=2d，因此，新数列是一个等差数列，公差为：2d。 第n项为：=2 前n项和：2。(7)若是公差为等差数列，且为常数，则数列一定是公差为的等差数列 考察新数列，首项为：p+q，第n项为：，第n项与第n-1项的差： ()-()= =pd+q，因此，这是一个等差数列，公差为：pd+q。前n项和：。(8)等差数列中，任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等差中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等差数列。构造新数列：(m为常数，mN+)，考察第n项与第n-1项的差，-=k2d 因此，是一个等差数列，公差为：k2d。二、等比数列的构造若是公比为(q1)的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列。如：(1)去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为的等比数列。设构成的新数列，首项为：，第n项为：；考察第n项与第n-1项的比，q，因此，这是一个公比为q的等比数列。第n项：；前n项和：。(2)项的序号成等差数列（公差为）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为。 设首项为，则第n项为：；考察第n项与第n-1项的比，因此，这个数列是一个等比数列，公比为qk。第n项：=；前n项和：。(3)数列是公比为的等比数列。首项为，第n项为：；考察第n项与第n-1项的比，因此，这是一个等比数列，公比为：。前n项和：。(4)数列（是任一常数且）是等比数列，公比仍为。考察第n项与第n-1项的比，这是一个等比数列，公比为q 。前n项和：。(5)（是常数，且）是公比为的等比数列。考察第n项与第n-1项的比，这是一个等比数列 ，公比为：。前n项和：。(6)（其中是常数，且）是公比为的等比数列。我们看，因此，这是一个等比数列，公比为。 前n项和：。(7)若是公比为的等比数列，则是公比为的等比数列。考察第n项与第n-1项的比，这是一个公比为的等比数列。 前n项和：。(8)等比数列中，若任意连续项的和不为，则任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等比中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等比数列。构造新数列：(m为常数，mN+)，考察第n项与第n-1项的比，这是一个公比为的等比数列。 三、推广、延伸(一)、若数列，均为不是常数列的等差数列时，则有：(1)当数列中的项不同号时，则数列一定不是等差数列。假设构成等差数列，则()。若0，则，这与中的项不同号矛盾；若1，）不是等差数列。(4)数列不是等差数列(二)、若数列为不是常数列的等比数列时，则有：(1)数列（其中是任一个不为0的常数，）不是等比数列(2)数列不一定是等比数列。 时，则，所以不是等比数列； 时，则，是等比数列。(3)数列不一定是等比数列。四、变化(1)若数列是公差为的等差数列，则（其中是正常数）一定是公比为的等比数列。考察，则为公比为的等比数列。(2)若是公比为的正项等比数列，则（其中是不等于的正常数）是公差为的等差数列。考察，因此，这是一个公差为的等差数列。针对学生的能力，我们可以把上述的内容适当渗透到普通高中（或职业高中）的数学科的教材中。让学生能够更深入、更系统地学习数列一章的知识，使数列的内容更好地与其它章节联系起来，能更好地帮助我们解决实际生活中的问题。让学生进一步体味数列的美、数学的美。参考文献：1 本社，高中数学-新阳光专题攻略-(函数与数列)，出版社:北京教育出版日期:4/1/2007；2刘佛清，数列的的方法与技巧，华中理工大学出版社；3宁连华，数学探究学习论，高等教育出版社。等差数列及等比数列探究 学校：北滘职业技术学校 作者：胡昌文 联系电话莅蒁螈羁莄蚃羄荿莄螆袇芅莃袈肂膁莂薈袅肇莁蚀肀羃蒀螂袃节葿蒂聿膈蒈薄袁肄蒈螇膇肀蒇衿羀莈蒆蕿螃芄蒅蚁羈膀蒄螃螁肆薃蒃羆羂薃薅蝿芁薂蚇羅芇薁袀螇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莈薈螄肁芄薇袆袄膀蚇薆肀肆芃蚈袂羂节螁肈莀芁薀袁芆芀蚃膆膂芀螅罿肈艿袇螂莇芈薇羇芃莇虿螀腿莆螁羅肅莅蒁螈羁莄蚃羄荿莄螆袇芅莃袈肂膁莂薈袅肇莁蚀肀羃蒀螂袃节葿蒂聿膈蒈薄袁肄蒈螇膇肀蒇衿羀莈蒆蕿螃芄蒅蚁羈膀蒄螃螁肆薃蒃羆羂薃薅蝿芁薂蚇羅芇薁袀螇膃薀蕿肃聿蕿蚂袆莈薈螄肁芄薇袆袄膀蚇薆肀肆芃蚈袂羂节螁肈莀芁薀袁芆芀蚃膆膂芀螅罿肈艿袇螂莇芈薇羇芃莇虿螀腿