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关于一般院校微积分教材 的教学,关于一般院校微积分教材的教学,一、训练什么？ 二、训练的重点 附：几点教学要求,关于一般院校微积分教材的教学,一、训练什么？ 学习大学基础数学课程(包括微积分)的基本要求： 1.初步掌握这门数学工具； 2.学习一种理性思维； 3.培养一种审美意识. 简言之：“致用，明理，审美”.,关于一般院校微积分教材的教学,关于“致用”： 这是一般院校的学生首先要着重学习的方面. 例如： *初步的数学建模意识：学习一些从某些基本规律或数据出发，建立用图形或数学式子(公式)表示的函数关系. 从这些图形或公式中提取有关函数的一些信息.,关于一般院校微积分教材的教学,关于一般院校微积分教材的教学,*理解如何利用局部均匀变化的规律来表现总体不均匀变化的现象. 典型的两种情况： “变化率”的概念 (运动的速率，物质的密率(度)，平面上直线的斜率，曲线的曲率，乃至借贷的利率，人口的增长率等等). 如何用“平均变化率”过渡到“一点的变化率”函数的导数.,关于一般院校微积分教材的教学, 一个不规则(或不均匀)的总体如何分解为规则(或均匀)的小部分之和. (变速运动在确定时间内所走距离，不规则形状物体的质量，不均匀带电体所产生的电场强度等等). 函数的定积分.,关于一般院校微积分教材的教学,*理解函数“逼近”的概念. 如何由在一点处函数及其导数的值近似地求附近其它点的函数值 微分及泰勒展开式. 利用简单的初等函数，在一点附近逐点逼近和在区间上平均逼近一个已知函数. *比较熟练地进行函数间的四则运算、复合运算和微分运算,关于一般院校微积分教材的教学,关于“明理”: 现代数学是以抽象的模式为对象(数，图形，函数乃至某种集合等)，以逻辑推理为主要手段的一种演绎科学. 数学思维是一种重要的理性思维. 这方面在中国历史上一直没有得到应有的重视. 近年来在中学数学教学中反而有所削弱. 今日在学生中害怕抽象，不习惯于逻辑推理，只惯于背公式、代公式，按“题型”做题，乃至于在思维中习惯于“应该”，而不问是否“必然”,已经是一种较为普遍的现象. 在大学数学的教材和教学中，应该高度重视这一点.,关于一般院校微积分教材的教学,例如： *理解数学对象的抽象本质及其具体表示. 例如函数是具有某些特性的“对应关系”，对它们所进行的诸如四则、复合运算以及求导数、求不定积分后，结果还是函数(某种对应关系). 如果用图形来具体表示函数，则应了解对图形进行相应运算的涵义.,关于一般院校微积分教材的教学,*什么叫做一个命题的“证明”，“证明”和“说明”的区别. 以教材中出现的各种命题为例，能区分其中已证的和未证的. 熟悉必要充分条件和反证法，熟悉如何表达一个命题的反命题.,关于一般院校微积分教材的教学,*分清“层次”：数学推理是从定义，公设，公理出发，一层一层地根据逻辑推出一批定理(命题). 从上一个定理推出的结论可以是用以证明下一个定理的前提. 要学习分辨推理过程中的层次，尤其是最初的出发点. 例如证明微分中值定理的前提是费马定理，而证明后者的前提是闭区间上连续函数必取极值；如果再进一步追溯，就要到实数的完备性了.,可以把连续函数的基本性质定为出发点，在此基础上证明(或说明)微分及积分的中值公式，用不定积分定义定积分，以及用累次积分定义重积分等等.,关于一般院校微积分教材的教学,关于一般院校微积分教材的教学,*准确理解两个典型的无穷小的极限运算：两个无穷小之比及无穷个无穷小之和. *定积分，平面线积分，二重积分的牛顿-莱布尼茨公式的异同. *微分和积分中值公式证明的基础. *无穷级数和反常积分的比较.,关于一般院校微积分教材的教学,关于“审美”： 长期以来，在大学数学的教学中，“审美”的意识一般是被忽视的。以至不少学者对数学产生一种枯燥而又烦琐的印象，从而视学数学为畏途. 事实上，数学自有其美的形象.,关于一般院校微积分教材的教学,例如： *“双峰对峙，二水分流”的对称而又和谐的美. 数与形，局部与整体，微分与积分，. 例如：曲线在一点附近的升降与导数的正负；函数在局部的多项式逼近与函数在整个定义区间上的三角函数逼近，二次方程与二阶常系数微分方程.,关于一般院校微积分教材的教学,*“原天地之美而达万物之理”，深刻的“理”使人产生“美”的感受. 例如在不同的对象之间，发现藏深的同一性；在杂乱繁琐的事物中，找出简单的序关系；在眼花撩乱的运动中，找到恰到好处的平衡状态，.,关于一般院校微积分教材的教学,微积分和其他的基础课程一样，在教学中都应注意到专业知识和人文精神这两个方面. 尤其是长期以来被忽视的后者. 数学既是一个知识系统，也是一个价值系统. 爱因斯坦就说过：“仅用专业知识来教育人是不够的. 通过专业教育，他可以成为一种有用的机器，但不能成为一个和谐发展的人. 要使学生对价值有所理解并产生热情，这是基本的”. 又说：“我不认为，道德和审美价值的缺失，可以用纯智力的努力加以补偿”.,关于一般院校微积分教材的教学,二、训练的重点： *一元函数 通过例子，揭示如何从初等数学的有理数有限运算过渡到微积分旳实数的无限运算. 函数与图形的直观性质：零点，升降，对称，连续，处的趋势等. 曲线的参数表示和极坐标表示. 函数的四则运算和复合运算.,关于一般院校微积分教材的教学,*函数的极限与连续函数 概念：在一点处为无穷小的函数.函数在一点处的极限.无穷小的有限运算. 函数极限的计算：避开数e的计算，对一般初等函数直接利用洛必达法则. 连续函数的直观与严格的定义.以闭区间上连续函数的基本性质作为有关理论证明的出发点.,关于一般院校微积分教材的教学,*导数与微分 函数在一点处的导数和微分的异同： 导数是函数在此点“点变化率”； 微分是函数在此点“邻近”点处的近似增量. 对于同一点，函数可微和可导是等价的.,关于一般院校微积分教材的教学,关于一般院校微积分教材的教学,*空间解析几何 熟悉基本的空间向量运算. 空间直线和平面的基本几何关系(方向，距离).,关于一般院校微积分教材的教学,*二元函数及其极限 二元函数举例. 由方程定义的函数.二元函数的等值线表示法. 二元函数极限依赖于自变量趋近于固定点的方式.,关于一般院校微积分教材的教学,*偏导数和梯度；全微分 导数的形式推广(偏导数)与实质推广(梯度). 二元函数在一点处可求偏导与可微的区别.,关于一般院校微积分教材的教学,*二重积分 利用微元法，由一元函数定积分推出二元函数累次积分并由此定义二重积分. 自变量变换引起微元面积的变化，雅可比行列式.,关于一般院校微积分教材的教学,*向量值函数的积分 平面和空间的数量场和向量场. 二元数量值函数和向量值函数在平面曲线上的曲线积分. 曲线积分的牛顿-萊布尼茨公式. 二重积分的牛顿-萊布尼茨公式格林公式. 三元数量值函数和向量值函数在空间曲面上的曲面积分. 曲面积分的斯托克斯公式格林公式的推广.,关于一般院校微积分教材的教学,*无穷级数，幂级数和傅里叶级数. *常微分方程.,关于一般院校微积分教材的教学,附：几点教学要求： 不能把“精简”理解为：1.去掉一些“后续课程”一时用不上的内容；2.然后按“难度”刪掉一些推理的内容；3.最后去掉较繁的计算. 这样往往使教材只剩下一些枯燥无味而又彼此无关的条目. 精简的原则： 1.内容方面：深入浅出； 2.推理方靣：简而不单； 3.运算方面：重概念，轻技巧.,在运算及推理两方面的要求都应 “适当”，即 在运算上，多偏重于理解和巩固概念的计 算，少一些偏重数学技巧性的计算. 在推理方面，多选取推理层次较少的演绎过程.,关于一般院校微积分教材的教学,在具体的教学安排上，建议至少拿出课程总学时的四分之一，由有经验的教师上习题课(学时不够时，宁可削减一些讲课的学时). 目的是一方面训练学生的基