2019届高考数学专题三不等式第1讲三个“二次”的问题学案.docx

第1讲三个“二次”的问题 1. “三个二次”在历年高考中都有考查，体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系，即函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质2. 主要涉及的题型有：一是求二次函数的解析式；二是求二次函数的值域或最值，考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题；四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；五是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题1. 不等式(1x)(1x)0的解集是_答案：x|1x1解析：原式可化为(x1)(x1)0，所以不等式的解集为1x1.2. (2018海安第一次学业质量测试)关于x的不等式xb0(a，bR)的解集为x|3x4，则ab的值为_答案：5解析：由题意可得解得 所以ab5.3. (2018镇江期末)已知函数f(x)x2kx4，对任意的x1，3，不等式f(x)0恒成立，则实数k的最大值为_答案：4解析：由题意知x2kx40，x1，3，所以kx对任意的x1，3恒成立因为x4(当且仅当x2时取等号)，所以k4，故实数k的最大值为4.4. (2018昆山中学月考)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案：1，4解析：x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.,一) 一元二次不等式的求解,1) 已知f(x)3x2a(6a)xb.(1) 解关于a的不等式f(1)0；(2) 当不等式f(x)0的解集为(1，3)时，求实数a，b的值解：(1) f(1)3a(6a)ba26ab3.因为f(1)0，所以a26a3b0.244b，当0，即b6时，f(1)0的解集为；当0，即b6时，3a3，所以b6时，f(1)0的解集为a|3a3(2) 因为不等式3x2a(6a)xb0的解集为(1，3)，所以解得(2018苏北四市一模)已知函数f(x) 若函数g(x)f(x)f(x)，则不等式g(x)2的解集为_. 答案：2，2 解析：f(x)所以f(x)所以g(x)f(x)f(x)由不等式g(x)2，解得2x1；1x1；10)的最小值；(2) 对于任意的x0，2，不等式f(x)a恒成立，试求a的取值范围解：(1) 依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2) 因为f(x)ax22ax1，所以要使得“x0，2，不等式f(x)a恒成立”，只要“x22ax10在0，2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0，2上恒成立即可所以即解得a，则a的取值范围是.已知函数g(x)ax22ax1b(a0)在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，记f(x)g(|x|)(1) 求实数a，b的值；(2) 若不等式f(log2k)f(2)成立，求实数k的取值范围；(3) 定义在p，q上的一个函数m(x)，用分法T：px0x1xi1xi0，使得和式f(xi)f(x1)f(x2)f(xn)解：(1) g(x)a(x1)21ba，因为a0，所以g(x)在区间2，3上是增函数，故解得(2) 由已知可得f(x)g(|x|)x22|x|1为偶函数，所以不等式f(log2k)f(2)可化为|log2k|2，解得k4或0k，故实数k的取值范围是(0，)(4，)(3) 设函数f(x)为1，3上的有界变差函数因为函数f(x)为1，3上的单调递增函数，且对任意划分T：1x0x1xi1xixn3，有f(1)f(x0)f(x1)f(xn1)f(xn)f(3)，所以|m(xi)m(xi1)|M恒成立，所以M的最小值为4.,三) 二次方程与二次不等式,3) 对于函数f(x)，若f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的“稳定点”如果f(x)x2a(aR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，求实数a的取值范围解：(解法1)因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，由f(f(x)x，可得(x2a)2ax.方程可化为(x2xa)(x2xa1)0，所以方程x2xa0有解，且方程x2xa10无解或其解都是x2xa0的解，由方程x2xa0有解，得114a0，解得a.由方程x2xa10无解，得214(a1).若方程x2xa10有解且都是x2xa0的解因为方程x2xa0与方程x2xa10不可能同解，所以方程x2xa10必有两个相等的实根且是方程x2xa0的解，此时，214(a1)0，解得a，经检验，符合题意综上，a的取值范围是，(解法2)显然，函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以f(x)x有解，但方程组(x1x2)无解由f(x)x，得x2xa0有解，所以14a0，解得a.由得两式相减，得(x1x2)(x1x2)x2x1.因为x1x2，所以x2x11，代入消去x2，得xx1a10.因为方程xx1a10无解或仅有两个相等的实根，所以14(a1)0，解得a，故a的取值范围是，定义：关于x的两个不等式f(x)0和g(x)0的解集分别为(a，b)和(，)，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式x24xcos 20与不等式x22xsin 10为对偶不等式，且(，)，则_答案：解析：由题意知不等式x24xcos 20的解集为(a，b)，所以ab4cos ，ab2.又不等式x22xsin 12c2b，求证：(1) a0且32c2b，所以3a0，2b0，b2c2b，所以3a3a2b2b.因为a0，所以30时，因为a0，所以f(1)0，所以函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点； 当c0时，因为a0，所以f(1)0，所以函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点综合得函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点(3) 因为x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根所以|x1x2|.因为3，所以|x1x2|.已知函数f(x)2x2ax1，g(log2x)x2.(1) 求函数g(x)的解析式，并写出当a1时，不等式g(x)8的解集；(2) 若f(x)，g(x)同时满足下列两个条件： t1，4，使f(t23)f(4t)； x(，a，使g(x)8.求实数a的取值范围解：(1) 令tlog2x，则x2t，由g(log2x)x2，可得g(t)22t2t2a，即g(x)22x2x2a，当a1时，不等式g(x)822x2x18(2x2)(2x4)0，即2x4，所以x2，即不等式g(x)8的解集为(，2)(2) 因为f(x)2x2ax1，所以由t1，4，使f(t23)f(4t)，得t1，4，(t23)4t，即t1，4，a2(t2)22，所以a2，6；由x(，a，使g(x)2x，令2x，x(，a，则y2x，(0，2a，易知函数y在(0，2a上是增函数，ymax2a，所以2a，所以2a2，所以a1log23.综上，实数a的取值范围是2，1log23)1. 函数y的定义域是 _答案：3，1解析：要使函数有意义，必须有32xx20，即x22x30，所以3x1.2. 设集合Ax|x24x30，则AB_答案：(，3)解析：集合A(1，3)，B(，)，所以AB(，3)3. (2017山东卷)已知命题p：xR，x2x10；命题q：若a2b2，则a1时，f(x)26，当x时取等号，所以函数f(x)的最小值为26.5. 已知二次函数f(x)ax2bxc(a0，c0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且f(c)0，当0x0.(1) 当a，c2时，求不等式f(x)0的解集；(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac，求a的值；(3) 若f(0)1，且f(x)m22m1对所有x0，c恒成立，求正实数m的最小值解：(1) 当a，c2时，f(x)x2bx2，f(x)的图象与x轴有两个不同交点因为f(2)0，设另一个根为x1，则2x16，x13.则f(x)0的解集为x|2x3(2) 函数f(x)的图象与x轴有两个交点，因为f(c)0，设另一个根为x2，则cx2，于是x2.又当0x0，则c，则三交点分别为(c，0)，(，0)，(0，c)，以这三交点为顶点的三角形的面积为S(c)c8，且ac，解得a，c4.(3) 当0x0，则c，所以f(x)在0，c上是单调递减的，且在x0处取到最大值1，要使f(x)m22m1对所有x0，c恒成立，必须f(x)max1m22m1成立，即m22m11，即m22m0，解得m2或m0，而m0，所以m的最小值为2.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2017南通考前模拟)已知二次函数f(x)x2axb(a，bR)(1) 当a6时，函数f(x)的定义域和值域都是1，求b的值；(2) 若函数f(x)在区间(0，1)上有两个零点，求b2abb1的取值范围解：(1) 当a6时，f(x)x26xb，函数的对称轴为直线x3，故f(x)在区间1，3上单调递减，在区间(3，)上单调递增(2分) 当2b6时，f(x)在区间1，上单调递减；故方程组无解；(4分) 当6b10时，f(x)在区间1，3上单调递减，在(3，上单调递增，且f(1)f()，故解得b10；(6分) 当b10时，f(x)在区间1，3上单调递减，在(3，上单调递增，且f(1)f()，故方程组无解所以b的值为10.(8分)(2) 设函数f(x)x2axb的两个零点为x1，x2(0x10，f(1)1ab(1x1)(1x2)0，(10分)所以b2abb1b(1ab)1f(0)f(1)1，而0f(0)f(1)x1x2(1x1)(1x2)()2()2.(14分)由于x1x2，故0f(0)f(1)，则1b2abb10；(2) 若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值解：(1) f(x)3x2a(6a)x6， f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32， 不等式的解集为a|32ab的解集为(1，3)， 方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3， 解得故a的值为3或3，b的值为3.3. 已知函数f(x)(x0，a0，c0)，当x1，3