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商品房贷款方案优化设计项目名称商品房贷款设计人员情况人员分工情况组员1组员2组员3自评成绩商品房贷款方案优化设计摘要近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位在房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额，又要考虑到偿还的年限问题，因为银行在还贷利息是根据偿还的年限而定。我们在还贷的过程中既要考虑到自己每个月的还贷能力，又要使我们总的还款金额尽可能的少。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.等。所以我们要寻求一个基本公式满足上述的要求。对于第一问，运用数列的知识得到等额本息房贷还款公式，由银行还款的规律可求得向银行还款的总额公式，由题中数据验算证明两公式正确。综合数列知识和longo软件的帮助，计算出逐月被银行拿走的利息钱。（见表4）结果满足条件。对于第二问，通过分析题中的限定条件，建立了3种计算还贷的数学模型，只有第三种方案模型满足还贷总额最少为，且模型较为简洁，可以快速计算还贷总额为471850元，并确立一套详细的购房与还贷方案的模型。每月的家庭开销上限为3000元。对于第三问，由于外甥加入买房，需要王先生的借款，问题变成多目标规划问题。如果将两家合为一家，两套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。解出的结果为两家向银行还贷最小值377159元，总计还款利息：377159-（636050-277490）=19599元。对于第四问，由于其他五个外甥加入买房，也需要王先生的借款，问题又变成了多目标规划问题。如果将七家合为一家，七套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。由第三问的分析和模型可知，要想七家人都满意，就得使还银行的钱达到最少1825453元，利息最少77853元。对于问题五的资金分配，我们采用项目的满意度构造函数 （i=1,2,3），并且对风险性、平均增长倍数进行归一化处理。最终由满意度的权重与总资金来计算项目分配金额 (i=1,2,3)最后通过计算五年项目的总利润与两种贷款情况下的利息差值的比较。最终得到投资项目可使全家获利400808元，所以，王先生的观点可取。关键字：权重 归一化 满意度 lingo软件 数学规划 分散投资 等额房贷 一假设与条件1每年的每个月里还款一样；2每年的每个月里还款必须与银行制定借一万元在不同年限的月还款金额成比例；3提前还款必须达到一定的数额，且每年只能一次的提前还款；4每个月的收入除了家用，就是还款，不用于其他方面；5一旦确定还款年限则以后每个月的还款月利率也就定（保持不变）；6年终奖金是每年3月10号之前发；7假设每个月的家庭收入也是3.10号之前发下来；8.对项目只投资一次9. 只采用等额本息房贷二符号的解释与说明：1：A为本金；2：x为每月还款；3：为月利率为；4：n为还款总月数；5：C为还款总数；6：c为每月利息钱；7：i为第几月的月数（即月份的序号）；三问题的重述：近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.等。第一问：2007年9月1号，武汉市某高校教师王先生到武汉某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表（见附录1：表1，分析图附录1：图6）。这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。第二问：王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子，准备9月10号前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。第三问：但事情有变：2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。如果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项目，各投资多少？三种项目（甲、乙、丙）12年中后一年相对于前一年资产每年的增长情况见附录2：表2，及其分析图附录7：图2.四、问题的分析与模型的建立问题一模型建立与分析：以本金为A，是月利率，是年利率， x是月还款额，还款总月数为n，还款总额C，利息负担总和D,每月利息钱c(i)；i为月份（序号）；等额还款模型的求解 （1）贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变. 因为一年的年利率是，那么，平均到一个月就是（/12），也就是月利率， 即有关系式：设 月均还款总额是x （元）（i=1n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额： 第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额： 第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，即：解方程得：这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于：利息负担总和等于：利用上面的公式，计算出的5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合. （2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：王先生等额本息房贷还款公式：10000*(1+)n=x*(1+)n-1)/ ；上述公式左边是10000元一年以后的本金加利息；右边可以理解为我们每个以一定的金额还款，然后银行将这笔钱再次房贷出去，想着这样每个就有一个循环利率的叠加。确定还款年限则以后每个月的还款额及月利率也就定了，银行要求的是不论怎样借贷和还款要求最后得到利息要保持一定；其实上述公式是银行在保证自己还款利息设计好，王先生写的公式也就是银行等额本息房贷还款公式。由于王先生借一万元准备十年还清，则我们可以得到：n=120；C=n*x；A=10000；=0.00478125；x=109.71；并且我们可以得到每月利息钱公式为：c(i)=A*(1+)(i-1)-x*(1+)(i-1)+x；利用lingo软件可以计算得到：还款总数C=13165.2元；(附录4)每个月被银行拿走的利息钱c(i)（单位：元）如下表4：（运算程序见附录5）年份月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月第一年47.8147.5247.2246.9246.6246.3246.0245.7145.4145.144.7944.48第二年44.1743.8543.5443.2242.942.5842.2641.9441.6241.2940.9640.64第三年40.3139.9739.6439.3138.9738.6338.2937.9537.6137.2636.9236.57第四年36.2235.8735.5135.1634.834.4434.0833.7233.3632.9932.6332.26第五年31.8931.5231.1430.7730.3930.0129.6329.2528.8628.4728.0927.7第六年27.326.9126.5126.1225.7225.3224.9124.5124.123.6923.2822.87第七年22.4522.0321.6121.1920.7720.3419.9219.4919.0618.6218.1917.75第八年17.3116.8716.4215.9815.5315.0814.6314.1713.7213.2612.812.33第九年11.8711.410.9310.469.9829.5059.0268.5458.0617.5757.0876.596第十年6.1035.6085.114.614.1073.6033.0952.5862.0731.5591.0420.522问题二模型建立与分析：王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子（总计436050元）。模型一：我们以十年的年限还清贷款，若首付150000，则每个月还款3138.3元，每年一拿到年终奖金就马上提前还款，这样我们可以粗略的计算一下：a1=(436050-150000)*(1+0.00478125)6-3.1383e+003*(1+0.00478125)6-1)/0.00478125b1=2.7530e+005-30000 %第六月之后a2=245300*(1+0.00478125)12-(109.71*245300/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b2=2.2659e+005-30000 %第十八月之后a3=196590*(1+0.00478125)12-(109.71*196590/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b3=1.8160e+005-30000 %第三十月之后a4=151600*(1+0.00478125)12-(109.71*151600/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b4=1.4004e+005-30000 %第四十二月之后a5=110040*(1+0.00478125)12-(109.71*110040/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b5=1.0165e+005-30000 %第五十四月之后a6=71650*(1+0.00478125)12-(109.71*71650/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b6=6.6186e+004-30000 %第六十六月之后a7=36186*(1+0.00478125)12-(109.71*36186/10000)*(1+0.00478125)12-1)/0.00478125b7=3.3426e+004-30000 %第七十八月之后由上述可知：我们要在第七十九月才能还清贷款。时间加长，利息还比较高，总的还款额就会比较高，所以上述方案不大可行。模型二：我们以十年的年限还清贷款，若首付436050*20%=87210元，则每个月还款109.71*(436050-87210)/10000= 3827.1元，我们按上面的简单计算会发现这样还款会使还款的利息增加，比上面的还款总额还要多，所以此方案也不大可行。 同样只要是以十年的年限还清贷款，首付在87210与150000之间的方案都不大可行。模型三：我们以五年的年限还清贷款，首付介于87210与150000之间；在王先生领取年终奖金前的六个月，每个月至少要还款(436050-150000)*191.05/10000=5465，最大还款额(436050-87210)*109.71/10000=6664.6，由于家庭收入5600，支出1500到3000，这样一来我们可以开始时以5600-1500=4100最大的家庭收支差值进行还款，这样一来我们可以在87210与150000之间寻求一个值使得我们可以留下一部分钱来填补以后每个月不够的还款差额。由于我们假设年终奖金是每年3月10号发；现在在9月10日，第一次还款阶段设为六个月，以后为每年计数（即12个月），直到还清贷款。现在设想每年一拿到年终奖金就马上提前还款，这样一来每提前还款一次后还款计划将会改变一次，每改变一次后下一年的每个月还款金额减小，直到当年每月还款小于5600-3000=2600元时我们每个月就一定可以预留一部分资金，到年终和年终奖金一起作为提前的还款的金额；我们可以简单的预算一下，其还款时间一定在五年之内就还清了，所以此方案基本可行。下面我们给出合理的计算过程：在不考虑可以存款的任何情况；可以计算得到一个粗略的首付金额109700，阶段数月数年终奖金每月还贷额已还贷总额一6300004100A+54600二1230000X1A+84600+12x1三1230000X2A+114600+12x1+12x2四1230000X3A+144600+12x1+12x2+12x3五1230000X4A+174600+12x1+12x2+12x3+12x4其中2600=X(i)4100；所以手上的钱全部提前还款；则剩余欠款为：219790-15341-30000=174449元；第三阶段还款：2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：174449*191.05/10000=3332.8元总计还款：3332.8*12=39994元；手上还有金额 0元；剩余欠款：174449*(1+0.00459)12-3332.8*(1+0.00459)12-1)/0.00459=143290元；时间为：2010.3.1020010年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：113290 元。第四阶段还款：2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：113290 *191.05/10000=2164.4元总计还款：2164.4*12=25973元；手上还有金额至少有(2600-2164.4)*12=5227.2元；剩余欠款：113290 *(1+0.00459)12-2466.1*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 89338元；时间为：2011.3.1020011年3月10号进行第四提前还款，将手上的钱全部提前还款；则剩余欠款为：89338-5227.2-30000= 54111元。第五阶段还款：2011年3月10号到2012年3月10号每月还款为：54111*191.05/10000=1033.8元总计还款：1033.8*12=12406元；手上还有金额至少有(2600-1033.8)*12=18794元；剩余欠款：54111*(1+0.00459)12-1033.8*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 44444元；时间为：2011.3.102012年3月10号进行第四提前还款，在提前还款钱手上的金额为：18794+30000=4879444444；则此时就已经还清所有欠款。 综上所述：在2012年3月10号还清所有欠款，共还款54个月；总计还款：109710+37409+30000+61350+15341+30000+39994+30000+5227.2+30000+25973+12406+44444=471850元；总计还款利息：471850-436050=35800元。还款明细如下表所示： 各项金额还款阶段每个月还款金额总的还款金额手上的剩余金额提前还款金额（提前还款前）剩余欠款（提前还款后）剩余欠款第一阶段还款（共计六个月）6234.9元37409元27491元30000元297600元267600元第二阶段还款（共计十二个月）5112.5元61350元15341元45341元219790元174449元第三阶段还款（共计十二个月）3332.8元39994元0元30000元143290元113290元第四阶段还款（共计十二个月）2164.4元25973元至少5227.2元35227.2元89338元 54111元第五阶段还款（共计十个月）1033.8元12406元至少18794元44444元44444元0元总计贷款金额326350元总计还款金额362150元总计还款利息35800元模型对比，模型三相对较为完善；还款利息相对较小，还款时间得到尽可能的缩短；对还款的细节作了详细的讨论并给详细的还款计划。问题三模型建立与分析：在第二问的基础上，2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。她来向王先生借钱买房。分析：外甥A购买的房子总价20万元。首付至少8万元。王先生至少要借3万元给他，如果王先生只借3万，外甥A必须贷款12万。而外甥A每月最多只能拿出2000元还贷，所以只借3万不可行。要使得两家人都高兴买房，就得付给银行最少的钱。这样，我们可以把两家人看成一家人，使得欠银行的钱最少，利息也就最少。模型建立：把两家人看成一家人，两套房子看成一套房子。现在王先生手上还有余额27491元，另外王先生借到无息款20万元（包括年终奖3万元），全家人现在有可支配现金：200000+27491+50000=277490（元）房子总价为：436050+200000=636050（元）首付至少：436050*20%+200000*40%=167210（元）全家人每月收入：5600+3500=9100（元）每月家庭开销:在1500+1500=3000（元）到 3000+2000=5000（元）之间服从均与分布。年终奖金30000元.第一阶段还款：2008年3月10号到2009年3月10号每月还款为：（636050- 277490）*191.05/10000=6850元：总计还款：6850*12=82200元；手上还有金额（9100-6850）*12= 27000元剩余欠款：（636050- 277490）*(1+0.00459)12-6850*(1+0.00459)12-1)/0.00459=294509元；时间为：2009.3.102009年3月10号进行第一提前还款， 则剩余欠款为：294509-27000-30000= 237509元；第二阶段还款：2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：237509*191.05/10000= 4538元总计还款：4538*12= 54456元；手上还有金额 （9100- 4538）*12=54744元；剩余欠款：237509*(1+0.00459)12-4538*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 195074元；时间为：2010.3.1020010年3月10号进行第二提前还款，则剩余欠款为：195074-54744-30000= 110330元。第三阶段还款：2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：110330*191.05/10000= 2108元总计还款：2108*12= 25296元；手上还有金额至少有（9100-2108）*12= 83904元；剩余欠款： 195074 *(1+0.00459)12-2108*(1+0.00459)12-1)/0.00459=180150 元；时间为：2011.3.102011年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：180150-83904-30000= 66246元。第四阶段还款：2011年3月10号到2012年3月10号每月还款为：66246*191.05/10000= 1266元总计还款：1266*12= 15192元；手上还有金额至少有（9100-1266）*12= 94008元；剩余欠款： 66246 *(1+0.00459)12-1266*(1+0.00459)12-1)/0.00459=54407 元；时间为：2011.3.102012年3月10号进行第四提前还款，则剩余欠款为：54407-94008= -39601元。还款完毕。综上所述：在2012年3月10号还清所有欠款，共还款54个月；总计还款：82200+27000+30000+54456+83904+30000+15192+54407=377159元；总计还款利息：377159-（636050-277490）=19599元。问题四模型建立与分析问题四分析：但外甥A与王先生一起购房还贷的事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子 。由第三问的分析和模型可知，要想七家人都满意，就得使还银行的钱达到最少，利息最少，这样，我们把七家人看成一家人。模型建立：把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子。现在王先生手上还有余额27491元，另外王先生借到无息款20万元（包括年终奖3万元），全家人现在有可支配现金：27491+200000+50000+150000+200000+100000+80000+90000= 897491元房子总价为：297600+200000+350000+300000+150000+250000+200000= 1747600元首付至少：200000*0.4+350000*0.3+300000*0.3+150000*0.4+250000*0.3+200000*0.4= 490000元全家人每月收入：5600+3500+5000+4000+3500+4500+3000= 29100元每月家庭开销:在1500+1500+1500+1200+1000+1200+800=8700到3000+2000+2000+1800+1500+1500+1200=13000元之间服从均与分布。年终奖3+2+3+5=13万元第一阶段还款：2008年3月10号到2009年3月10号每月还款为：（1747600- 897491）*191.05/10000=16241元：总计还款：16241*12=194892元；手上还有金额（20400-16241）*12= 49908元剩余欠款：（1747600- 897491）*(1+0.00459)12-16241*(1+0.00459)12-1)/0.00459=698250元；时间为：2009.3.102009年3月10号进行第一提前还款， 则剩余欠款为：698250-49908-130000= 518342元；第二阶段还款：2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：518342*191.05/10000= 9902.9元总计还款：9902.9*12= 118830元；手上还有金额 （20400- 9902.9）*12=125970元；剩余欠款：518342*(1+0.00459)12-9902.9*(1+0.00459)12-1)/0.00459=425740元；时间为：2010.3.102010年3月10号进行第二提前还款，则剩余欠款为：425740-125970-130000= 169770元。第三阶段还款：2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：169770*191.05/10000= 3243.5元总计还款：3243.5*12= 38922元；手上还有金额至少有（20400-3243.5）*12= 205878元；剩余欠款：169770 *(1+0.00459)12-3243.5*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 139440元；时间为：2011.3.102011年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：139440-205878= -66438元。还款完毕。综上所述：在2011年3月10号还清所有欠款，共还款42个月；总计还款：897491+194892+49908+130000+118830+125970+130000+38922+139440=1825453元；总计还款利息：1825453-1747600=77853元。问题五模型建立与分析问题五分析：经过计算，我们支持王先生的观点。应该多向银行借钱，把尽量多的钱拿出来投资甲乙丙三个项目。假设王先生在2008年3月10日对这三个项目进行一次投资，且仅投资一次，投资额为付完最小首付后余下的钱。则需要对房贷模型进行重新建立。根据投资分散理论，应分别对甲乙丙三个项目进行投资。（1）模型重新建立：把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子。现在王先生手上还有余额27491元，另外王先生借到无息款20万元（包括年终奖3万元），全家人现在有可支配现金：27491+200000+50000+150000+200000+100000+80000+90000= 897491元房子总价为：297600+200000+350000+300000+150000+250000+200000= 1747600元首付至少：200000*0.4+350000*0.3+300000*0.3+150000*0.4+250000*0.3+200000*0.4= 490000元全家人每月收入：5600+3500+5000+4000+3500+4500+3000= 29100元每月家庭开销:在1500+1500+1500+1200+1000+1200+800=8700到3000+2000+2000+1800+1500+1500+1200=13000元之间服从均与分布。年终奖3+2+3+5=13万元第一阶段还款：2008年3月10号到2009年3月10号每月还款为：（1747600- 490000）*191.05/10000=24026元，大于最大每月可还款额20400.所以每月还款应为20400元。总计还款：20400*12=244800元；手上还有金额0元剩余欠款：（1747600-490000）*(1+0.00459)12-20400*(1+0.00459)12-1)/0.00459=1077569元；时间为：2009.3.102009年3月10号进行第一提前还款， 则剩余欠款为：1077569-130000=947569元；第二阶段还款：2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：947569*191.05/10000= 18103元总计还款：18103*12= 217236元；手上还有金额 （20400- 18103）*12=27564元；剩余欠款：947569*(1+0.00459)12-18103*(1+0.00459)12-1)/0.00459=778294元；时间为：2010.3.102010年3月10号进行第二提前还款，则剩余欠款为：778294-27564-130000= 620730元。第三阶段还款：2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：620730*191.05/10000= 11859元总计还款：11859*12= 142308元；手上还有金额至少有（20400-11859）*12= 102492元；剩余欠款：620730 *(1+0.00459)12-11859*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 509840元；时间为：2011.3.102011年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：509840-130000-102492=277348元。第四阶段还款：2011年3月10号到2012年3月10号每月还款为：277348*191.05/10000= 5298元总计还款：5298*12= 63576元；手上还有金额至少有（20400-5298）*12= 181224元；剩余欠款：277348 *(1+0.00459)12-5298*(1+0.00459)12-1)/0.00459= 227810元；时间为：2012.3.102012年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：227810-130000-181224= -83414元。还款完毕。综上所述：在2011年3月10号还清所有欠款，共还款54个月；总计还款：244800+130000+217236+27564+130000+142308+102492+130000+63576+227810=1415786元；总计还款利息：1415786-（1747600-490000）=158186元。总计还款利息较问题四的结果多出了158186-77853=80333（元）。但这个值可以由投资的三个项目所得利润填补。（2）三个项目投资分配模型对于这笔资金投资三个项目的分配情况的模型建立与求解如下：项目投资要考虑的因素很多，但风险性是一个必不可少的因素。由于本题对于项目只给出了增长情况，所以我们只能简单的刻划风险性的模型，再结合增长情况较为合理的分配三个项目的投资。对于风险性的大小我们采用了每个项目在十二年中增长倍数小于1的和与增长倍数大于1的和的比值来刻划。我们令项目甲为1、项目乙为2、项目丙为3。C=（i=1、2、3，n=1996、1997、2007,X1,Y0） （4）C：项目风险性的大小X、Y：资产每年的增长倍数由（4）式求得三个项目的风险性大小如下表：表一：风险性大小项目甲项目乙项目丙风险性大小0.1680.1280.146对于项目资产每年的平均增长倍数，我们取十二年增长倍数平均值来刻划资产每年增长倍数来简化模型。表二：刻划平均的增长倍数项目甲项目乙项目丙平均的增长倍数1.0961.2121.199 现在我们刻划一个项目投资满意度，满意度大的我们多投资。并对满意度构造一个函数，对于项目的风险性大小要比资金的平均的增长倍数稍重要些，对两者所付权重值分别为：0.6、0.4。现在对风险性的大小和资金的平均增长倍数进行归一划处理。我们用数据归一化公式1对风险性大小数据归一化，得到的结果如表3所示。（i=1,2,3） （数据归一化公式1）表3：归一化后风险性大小（i=1,2,3）项目甲项目乙项目丙风险性大小1.000.000.45我们同样对资金平均增长倍数的数据进行归一化，我们用数据归一化公式2对资金平均增长倍数数据归一化，得到结果如表4所示。 （i=1,2,3） （数据归一化公式2）：平均增长倍数表4：归一化后资金平均增长倍数（i=1,2,3）项目甲项目乙项目丙平均增长倍数0.001.000.89下面我们构造资金满意函数： （i=1,2,3）将表3和表4数据代人上式，得到一系列函数值如表5所示。项目甲项目乙项目丙满意度0.600.400.63下面我们求解三个项目满意度的权重，利用公式5求解权重结果如表6所示 （n=1,2,3）：项目满意度的权重表6：项目满意度的权重项目甲项目乙项目丙满意度的权重0.370.250.38我们已求得最大投资金额为407491元，所以各项目投资金额为满意度的权重与总金额的乘积，结果如表7所示。 (i=1,2,3)：单个项目的投资金额K：总金额表7：单个项目的投资金额（单位：元）项目甲项目乙项目丙投资金额150446100284156769由上面求解可知，贷款投资项目后全家人需要四年零六个月，才能还清贷款金额，即投资项目为五年时间，即可求得五年后的项目投资利润，结果如表8所示。 （i=1,2,3）：单个项目五年后的利润表8：单个项目利润（单位：元）项目甲项目乙项目丙利润87469161978231694由上面计算可知，投资项目后向银行还清贷款的利息要比不投资项目向银行还清贷款的利息多80333元。最后可知投资项目可使全家人五年后多获得87469+161978+231694-80333=400808元。所以，王先生的观点可取。五结果评估对于第一问，运用数列的知识得到等额本息房贷还款公式，由银行还款的规律可求得向银行还款的总额公式，由题中数据验算证明两公式正确。综合数列知识和longo软件的帮助，计算出逐月被银行拿走的利息钱。（见表4）结果满足条件。对于第二问，通过分析题中的限定条件，建立了3种计算还贷的数学模型，只有第三种方案模型满足还贷总额最少，且模型较为简洁，可以快速计算还贷总额，并确立一套详细的购房与还贷方案的模型。每月的家庭开销上限也满足限定条件。对于第三问，由于外甥加入买房，需要王先生的借款，问题变成多目标规划问题。如果将两家合为一家，两套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。解出的结果为两家向银行还贷最小值，两家人购房均欢欣鼓舞，满足题目要求。对于第四问，由于其他五个外甥加入买房，也需要王先生的借款，问题又变成了多目标规划问题。如果将七家合为一家，七套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。由第三问的分析和模型可知，要想七家人都满意，就得使还银行的钱达到最少，利息最少。而此问结果满足要求。对于第五问，模型重新建立后总计还款利息较问题四的结果多出了158186-77853=80333（元），但投资三个项目所得利润为481141，这个利润值不仅填补80333元，还多得利润400808元。所以王先生应该投资这三个项目。六、模型的评价与改进该模型方法直观，算法简单，通过lingo软件解决问题，节省人力和时间.整数规划得到的结果稳定，具有可靠性. 通过对等额房贷和投资组合的分析与讨论，得到一种最节约、最合理的购房还贷和投资分配的管理方案，同时又使王先生家各方满意。问题一中引用数列模型，借助lingo软件，得到的公式简单明了，方便后面各问的求解。问题二中建立了多个模型，通过对各个模型的比较，得出第三个模型解法最优。通过简化处理，将问题三和问题四中的多目标规划问题转化为但目标规划，极大地方便了问题的求解。问题五中，投资分散于三个项目中，可降低投资风险，有效获取利润。有待改进之处：问题求解中只采用了等额房贷的模式，如果将