定积分的近似计算.docVIP

数学实验报告实验序号： 03 日期：2014年 12 月 20 日班级数学与应用数学2班姓名lizhenhui学号1201114145实验名称 定积分的近似计算问题背景描述： 利用牛顿莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分实验目的： 本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点；另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一下介绍。实验原理与数学模型：实验原理: 1 矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1） 左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物2 梯形法等分区间，相应函数值为（）曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即，称此式为梯形公式仍用的近似计算为例，取，0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多3 抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，对应函数值为（），曲线上相应点为（）现把区间上的曲线段用通过三点，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式仍用的近似计算为例，取，=0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差实验所用软件及版本： MatlabR2010b Windows 7主要内容（要点）：1 用矩形法、梯形法和抛物线法分别计算单调增函数，单调减函数，凸函数和凹函数在某个区间的定积分。 要求：每类函数三个以上； 总结对同一类函数，用哪种方法近似结果更好； 单调递增函数： 单调递减函数： 凸函数： 凹函数： 实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1: 程序代码：%用矩形法计算函数在某个区间的定积分format longn=100;a=0;b=1;syms x fxfx=x5; %通过改变函数来改变对不同函数用矩形法进行定积分近似计算inum=0;for i=1:n xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxij=subs(fx,x,(xi+xj)/2); inum=inum+fxij*(b-a)/n;endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf(The relative eroor between inum and real-value is about: %enn,.abs(inum-integrate)/integrate)%用梯形法进行定积分近似计算format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=x5; %通过改变函数来改变对不同函数用梯形法进行定积分近似计算for i=1:n; xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n; fxj=subs(fx,x,xj); fxi=subs(fx,x,xi); inum=inum+(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; end integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf(The relative error between inum and real-value is about: %enn,. abs(inum-integrate)/integrate)%用抛物线法进行定积分近似计算format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=-x5; %通过改变函数来改变对不同函数用抛物线法进行定积分近似计算for i=1:n x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n); x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n); x2=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n); fx0=subs(fx,x,x0); fx1=subs(fx,x,x1); fx2=subs(fx,x,x2); Si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n); inum=inum+Si;endinumintegrate=int(fx,0,1);integrate=double(integrate)fprintf(The relative eroor between inum and real-value is about: %enn,. abs(inum-integrate)/integrate) 2：上机实验: step1:打开编写窗口输入编写好的代码； step2:存盘并进行运行操作； step3:根据提示，对函数进行改变并输入，探究结果；实验结果报告与实验总结：实验结果：1，矩形法梯形法抛物线法5.000000e-005 1.000000e-004 2.220446e-0161.249956e-004 2.499950e-004 1.250000e-0092.333129e-004 4.666433e-004 5.833125e-0095.000000e-005 1.000000e-004 2.220446e-0161.249956e-004 2.499950e-004 1.250000e-0092.333129e-004 4.666433e-004 5.833125e-0093.749388e-004 7.499300e-004 1.749844e-0085.498556e-004 1.099835e-003 4.124313e-0087.580414e-004 1.516333e-003 8.339433e-0083.749388e-004 7.499300e-004 4.124313e-0085.498556e-004 1.099835e-003 4.124313e-0087.580414e-004 1.516333e-003 8.339433e-008实验总结： 对于单调递增函数、单调递减函数、凸函数、凹函数，抛物线法近似结果最好，矩形法次之，