概率论与数理统计(随机变量的相互独立性).ppt

定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，Xn)的分布函数为F(x1，x2，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，xn，有 则称X1，X2，Xn相互独立,3.4 随机变量的相互独立性,第3章 多维随机变量及其分布,3.4 随机变量的相互独立性,易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，xn，有 则X1，X2，Xn相互独立 在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成立 则X1，X2，Xn相互独立 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立,特别地，二维的情形,2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,3.4 随机变量的相互独立性,在平面上几乎处处成立。,在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式 不成立.,3.4 随机变量的相互独立性,3.4 随机变量的相互独立性,【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为 若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值 解： 首先写出两个边缘边缘分布律,3.4 随机变量的相互独立性,利用X与Y相互独立的条件，,3.4 随机变量的相互独立性,【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律 及独立性得到下表：,(1，1),(1，0),(0，0),(0，1),(X，Z),1,0,0,1,Z,(1，1),(1，0),(0，1),(0，0),(X，Y),0.25,0.25,0.25,0.25,pij,1,0.5,pi.,0.5,0.25,0.25,1,0.5,0.25,0.25,0,p.j,1,0,X Z,(X，Z)的分布律及边缘分布律为：,由于PX = i，Z = j = 0.25 = 0.50.5 = PX = iPZ = j （i，j= 0，1）， 所以X与Z独立,0.5,3.4 随机变量的相互独立性,3.4 随机变量的相互独立性,【例3.18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为 ， 问X与Y是否独立？ 解法一：由边缘分布函数的定义知 显然，对任意实数，均有 ， 故X与Y独立,3.4 随机变量的相互独立性,解法二： 由分布函数与概率密度的关系知 因而对任意的 ,均有 ，故X与Y独立,【补充例】种保险丝的寿命(以一百小时计) X 服从指数分布,其概率密度为 有两只这种保险丝，其寿命分别为 设 相互独立，求 的联合概率密度. (2) 在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的 只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的总寿命为 ，求,3.4 随机变量的相互独立性,因两只保险丝的寿命 相互独立，故 的联合概率密度为,概率密度为,概率密度为,解(1),3.4 随机变量的相互独立性,(2),3.4 随机变量的相互独立性,【例3.19】设服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是=0. 证：二维正态分布的概率密度为 由例3.11知， 的乘积为 因此，若=0，则对所有x,y有 即X与Y独立,3.4 随机变量的相互独立性,反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是连续函数，故对所有的x,y，有 特别，