关于函数与函数的关系及应用.doc

蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀芆蒀蕿袀蒈蚅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆螅肆膂葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈肂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇袈腿芅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁膅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀芆蒀蕿袀蒈蚅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆螅肆膂葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈肂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇袈腿芅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁膅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀芆蒀蕿袀蒈蚅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆螅肆膂葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈肂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇袈腿芅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁膅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀芆蒀蕿袀蒈蚅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇 专题九 关于函数与函数的关系及应用问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？答： 欧拉函数是函数与函数的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为函数与函数。即： (1) (2)(1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，函数与函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数问题2：函数与函数的定义域是什么？ 答：（一）、函数的定义域：的定义域为.事实上，（1）当时，不是被积函数的瑕点，因此取都有，由柯西判别法知（1）的积分是收敛（2）当时，是被积函数的瑕点，此时，有=其中对任何s都是收敛的， 又，所以与 在点是等价的，当时，是收敛，当时，是发散所以当时是收敛的综上可知的定义域为. （二）、函数的定义域：。事实上，=而，在各自的区间内只有一个瑕点。又 在，与等价， 当时，收敛， 所以时， 在收敛 同理时，在时收敛 综上可知当且时 收敛，所以的定义域为且。问题3：函数有些什么性质？ 答：函数具有如下性质：（1）函数的连续性在（0，+）上连续，由=,只证与在（0，+）内连续即可在任意闭区间 ()上对于函数当有由于收敛由附录中的定理5，知)在 上一致收敛，对于当时有在 上连续，所以在连续，所以在 上一致收敛，所以在（0，+）上内闭一致收敛， 由附录中的定理2，知在（0，+）上连续（2）函数的的可微性首先考虑积分在任何闭区间()上一致收敛考虑积分= +当 ()而积分收敛,故积分当时一致收敛同样，当时， ()故当时一致收敛因此积分当时一致收敛由此可知在上具有连续的导函数且可在积分下求导=(3)由的任意性,可知在上连续且（3）式对一切皆成立.类似的数学归纳法可知，对任何正整数在上都存在且可在积分号下求导数， 得 = ()(3) 递推公式由此可知,任意,如果(其中是非负整数)即有 (4)特别地当为正整数时可写成=.(4) 极值与凸性因为对一切，=0，0因此 的图形位于轴上方且凸的又因为 =1，=1，所以，。因此在上有唯一的一个极小值点落在之间问题4：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式：在（1）式中，令，则有（，） (6)在（1）式中，令，则有=。问题5：函数有些什么性质？答：函数具有如下性质：（1）函数的连续性事实上，对任何，有，而收敛，所以由附录中的定理5，在， 上一致连续，故而在内连续（2）函数的可微性在内可微且存在任意阶连续偏导数考虑积分当，时，恒有 ，（）而收敛，故积分当，时一致收敛因此当，时可在积分下求导，得并且是，上的连续函数同理 是域上的二元函数，且当可在积分下求导得 。完全类似地用数学归纳法可证在域上存在连续偏导数，且=。（3）函数的对称性 （4）递推公式 =（） （） （当时）由对称性可证 特别对正整数，。 问题6：函数还有其它的形式吗？ 答：函数的其他形式：（令）（）进而将此积分拆成，两段积分，后者作变换，仍把写成，则有 。问题7：函数与函数有怎样的关系？ 答：函数与函数有下面的关系：（1） 事实上，当时，由（6）有，从而 ， 故有， 。（2）（余元公式） （3）（倍元公式） 问题8：能否举一些函数与函数应用的例子？ 答： 下面是几个关于函数与函数应用的例子：（1）用余元公式计算的值：解： 。（2）求。解：由公式，令，则 ， 令，则，令， （3）函数在积分不等式中的应用：例1 已知，正整数，证明：. 证明：.例2 求.解： 令 ，则由于对一切自然数，有，又，故，即，而，由夹逼原则，可知，所以 .思考题：一、你能否用复变函数的知识证明余元公式？二、你能否证明倍元公式吗？三、你能否再举一些Euler公式的应用？思考题的一些提示：一、余元公式的证明。 证：令，则. 下面用复变函数有关知识给出证明 构造函数为辅助函数，为其奇点，且该函数又以（可去奇点）奇点 取正实轴为支割线如图。由残数定理 又 （*） 而上式左边有（1）= . （2）， .（3）： （4）， 由（*）式得 由复数相加的性质得： 二、倍元公式的证明。 证明： ， （令一式中，二式中）附录：定理1 （柯西判别法1）设是在任何有限区间上可积的正值函数，且(1)若， ，则收敛（2）若, ，则发散定理2 设为a，b c，+上的连续函数，若含参变量非正常积分I（X）=在a，b上一致收敛，则I（x）在a，b上连续定理3 设 f和均为a ，b c ，+ 上连续函数，若I（x）=在 a，b上收敛，y在 a，b上一致收敛，则I（x）在a，b上可微，且（x）=定理4 设f（x，y）在a，+c, +上连续，若(1)关于y在任何闭区间c,d上一致收敛，关于x 在任何闭区间a,b上一致连续（2）设|f(x,y)|dy与|f(x,y)|dx中有一个收敛，则=定理5 设有函数g(x)使得|f(x,y)|g(x),axb,cy +，若收敛，则在a,b上一致收敛参考文献： 1裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社 2钱吉林 数学分析解题精粹 北京高等教育出版社 3华东师大数学系 数学分析 北京高等教育出版社 4东北师大数学系 常微分方程 北京高等教育出版社 5周民强 实变函数 北京高等教育出版社 芅膈蚅羇肈蒇蚄蚇芃莃蚃蝿肆艿蚂羁节芅蚂肄膅薃蚁螃羇葿蚀袆膃莅虿羈羆芁螈蚈膁膇螇螀羄蒆螆袂腿莂螆肅羂莈螅螄芈芄螄袆肁薂螃罿芆蒈螂肁聿莄袁螁芄芀蒈袃肇膆蒇羅芃薅蒆螅肅蒁蒅袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂羇薂蒃螂膂蒈薂袄羅莄薁羆膀艿薀蚆羃膅蕿袈腿薄薈羁肁蒀薈肃芇莆薇螂肀节薆袅芅膈蚅羇肈蒇蚄蚇芃莃蚃蝿肆艿蚂羁节芅蚂肄膅薃蚁螃羇葿蚀袆膃莅虿羈羆芁螈蚈膁膇螇螀羄蒆螆袂腿莂螆肅羂莈螅螄芈芄螄袆肁薂螃罿芆蒈螂肁聿莄袁螁芄芀蒈袃肇膆蒇羅芃薅蒆螅肅蒁蒅袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂羇薂蒃螂膂蒈薂袄羅莄薁羆膀艿薀蚆羃膅蕿袈腿薄薈羁肁蒀薈肃芇莆薇螂肀节薆袅芅膈蚅羇肈蒇蚄蚇芃莃蚃蝿肆艿蚂羁节芅蚂肄膅薃蚁螃羇葿蚀袆膃莅虿羈羆芁螈蚈膁膇螇螀羄蒆螆袂