n次单位根的性质及其应用--毕业论文.docVIP

分类号 O29 编 号 2013010105 毕业论文题 目 n次单位根的性质及其应用原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日论文指导教师签名： 年 月 日目 录摘要1Abstract11 n次单位根的定义22 n次单位根的性质23 n次单位根的应用43.1 n次单位根在中学数学竞赛中的应用43.2 巧用n次单位根分解53.3 n次单位根在几何中的应用73.4 n次单位根在多项式整除中的应用83.5 n次单位根在三角函数中的应用94 总结10参考文献11致谢12数学与统计学院2009届毕业论文n次单位根的性质及其应用崔文强(天水师范学院数学与统计学院 甘肃天水 741001)摘 要: n次单位根是复变函数论中的重要内容,本文主要论述了n次单位根的性质,n次单位根性质证明.通过例题分析讲解n次单位根在因式分解、尺规作图、三角函数、多项式整除中的应用,说明n次单位根可拓宽解题思路,是一种方便快捷的解题方法,为初中的数学教学提供指导.关键词: 单位根; 因式分解; 性质; 几何画图中图分类号: O29The Property and Application of nth Unit RootCUI Wen-qiang ( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu,741001,China )Abstract:The nth unit root is the important content of complex variable function. The paper mainly discusses the porperty of nth unit root by analysing and explaining examples. The nth unit root is widely applied to factorization, geometrical construction, triqonmetic function,and ploymerization divide exactly,which tells that nth unit root can broaden the solutions of solve math questions .Thus,the nth unit root is a convenient and rapid way of solving the questions and provides some referential instructions for math teaching in Junior Middle school. Key words: unit root; factorization; property; geometrical2数学与统计学院2013届毕业论文1次单位根的定义定义一 在复数域上的n个值;k=0,1,2，n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根.定义二 在复数域上的n个值,k=0,1,2，n-1就是多项式的n个根，称它们为n次单位根.2 n次单位根的性质（1）证明 由定义一 得=1（2）令,则,k=1,2,n-1证明 由欧拉公式,知 即,k=1,2,n-1（3）= 证明 由定义二 知=（4）对于每个单位根证明 因为=,令,则原式可变为,=当时,，所以（5）对于每个单位根:（当n整除m时） （当n不整除m时）证明 由于为n次单位根则当n整除m时,令m=nq,则=1同理 =1 故=1+1+1=n当n不整除m时，1,由 知：=0（6）两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根证明 令、是n此单位根,则=1=1命题得证.（7）证明 由定义二, 得=即 =（8）=（0kn）证明 因为 =则 = = =3 n次单位根的应用3.1 n次单位根在中学数学竞赛中的应用例1 (2001年全国高中数学联赛)若的展开式为，求的值.解 令= 在=中,令x=1,(是三次单位根,0）则 = 即 在中、按实虚部分别展开,并由复数相等可得 则由、得=3故 +=例2（1978年我国八省市中学数学竞赛）设,求以为根的方程.解 由于,所以则 为1的10个10次单位根,所以 又是1的5个5次方根，则 由, 得又所以 , 即所求方程为,3.2 巧用n次单位根分解例 对因式分解.解 如果在复数范围内我们可以十五个分解为一次因式的乘积：即其中而是方程即的所有复数根.如果将的十五个一次因式分成几个不同组,使它们的乘积为有理系数的多项式. 的所有的复数根即就是所有15次单位根,由于他们的15次方都等于1.但在这些根当中有些根的更低次幂就已经等于1了.事实上，因为1、3、5都是15的因数,他们都满足=1或=1或的复数根z也都满足它们都是的根,这也就是1次单位根,3次单位根,5次单位根它们都是15次的单位根.对于每一个15次单位根,存在一个最小的正整数d,使=1,我们先来证明d是15的因子.我们用d去除15得到商了q和余数r,即r=15dq,.由于d是使的最小正整数,又且rd，这就要求r不能是正整数,只能为零.这便说明了能使的正整数它就一定会是15的因子,他们是1,3,5或15.我们就说d为z的乘法周期,称z为d次单位原根.这也就是说:z是d次单位根,并且z不是更低次数的单位根.下面我们按照周期的不同1,3,5,15将的根分成4组,便可将的一次因式分成4组,我们在分别计算出每一组的一次因式的乘积,并且证明这些乘积都是有理系数多项式,从而将1分解成这四个有理系数因式的乘积.周期为1的单位根只能是1,它单独组成第一组,以它为根的一次因式为=x1.周期为3的单位根都是1的根且他们不是的根,它们就是的全部根，以这些根为根的一次因式的乘积周期为5的单位根都是1的根而不是x1的根,它们就是的全部根,以这些根为根的一次因式的乘积=周期为15的单位根都是的根而不是,的根,它们就是的全部根,以这些根为根的一次因式的乘积= =这样就得到 =1就可以分解为4个有理系数因式,的积.严格意义上来说,如果想完成上面一题必须证明所得到的4个因式在有理数的范围内都不能再分解.上面的分解思路和方法我们也可应用于对其他正整数n进行分解.假如时n=21,我们考虑21的所有因数1,3,7,21按照这四个因子可以得到的四个因式它们分别为：=x-1=+= 则3.3 n次单位根在几何中的应用例 用尺规作图做出圆的内接正五边形,使已知点A是正五边形的一个顶点.解 我们以给出圆的半径为单位长,以圆心为原点.OA的方向为x轴的正方向建立一个平面直角坐标系.如果我们能够在圆周上做出一个点让它成为正五边形的下一个顶点,并且让=,利用圆规在圆周上面依次截取=,我们就可以得到正五边形.如果我们将直角坐标系中的每个点用复数x+yi表示的话.则表示五个顶点的复数就是1的5个5次单位根他们分别为1,，,而,又由于与=是共轭的关系,则它们的和为；又由于与=共轭,则它们的和为=.如果我们只利用圆规与直尺画出,则可得到.在OA上截取,再过D作OA的垂线交圆于和,则我们就可以做出正五边形. 因为是=的4个根,的和,等于1.又于是与就是方程=0的两个根,而是它们中的一个正根=然后我们以1,直角三角形的两条直角边作直角三角形则其斜边长为,再减去可得.具体的作图方法我们可以设计如下:先做相互垂直的半径OA和OB,然后作OB的中点M,连接MA,则=.以M为圆心MO为半径作圆弧交MA于点C,则CA=.作CA的中点N,并在OA上截取=,在过点D作线段OA的垂线交圆周于点则的长度就为为正五边形的边长.3.4 n次单位根在多项式整除中的应用例1求证被整除,其中.证明 由于= =设为任一不等于1的3次单位根,则= = =0故被整除例2 求证:被整除,其中m,n为非负整数.证明 设为任一不等于1的3次单位根,则故被整除3.5 n次单位根在三角函数中的应用例 求证证明 设2n+1次单位根为 又,令x=1,得由于右边的角都是锐角,所以开方得命题成立.4 总结 本文结合具体的例题讨论了单位根的一些性质及其在初等数学中的一些应用.当然,单位根作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.如缺少在新领域中的应用,在今后的研究中应继续拓宽引用领域。参考文献1严贤灿.三次单位根的性质及应用J.数学通讯,2002,(1),18(3):71-732赵丽棉,黄基廷.n次单位根在代数问题中的应用J.高等数学研究,2010,13(04)3李永正.复平面上一个正n边行的充要条件J.中国民航飞行学院计算机学院,2009,20(04)4党效文.单位根的性质及其应用J.数学教学研究,2002.5邵逸民.单位根的性质及其应用J.苏州教育学院学报,2001.32(2):44-496兰君,翁金武.单位根与原跟J.安康师专学报,2006.23(2):7-97刘初生.单位根在多项式整除性中的应用J.娄底师专学报,1999,57(2).8许宝芬.单位根在计算三角函数连乘积中的应用J.泉州师专学报,1999,17,(2)9李长坡.三次单位根的应用J.洛阳师范学院学报.2000,19 (05)10王月秋.应用单位根解题两例J.唐山师专学报.1999,21(02).11 钟玉泉.复变函数论M.北京：高等教育出版社.2004. 12 张景中，李尚志.数学的神韵M.北京:科学出版社.2010.95-100致 谢大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多。首先诚挚的感谢我的论文