《微积分基本运算》doc版.doc

48第一章 MATLAB软件操作实验膇莄袀羄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄莁袆肀膀莀罿袃蒈葿蚈聿莄葿螁袁芀蒈羃肇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇蒄罿膄芃蒃虿羆腿薃螁膂肅薂袄羅莃薁蚃膀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁薈羀肁蒀薇蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂膈蚅薄肈肄蚄螇袁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄蚁蚁膄膀蚁螃羇葿螀袅膃莅蝿羈羆芁螈蚇膁膇莄袀羄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄莁袆肀膀莀罿袃蒈葿蚈聿莄葿螁袁芀蒈羃肇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇蒄罿膄芃蒃虿羆腿薃螁膂肅薂袄羅莃薁蚃膀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁薈羀肁蒀薇蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂膈蚅薄肈肄蚄螇袁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄蚁蚁膄膀蚁螃羇葿螀袅膃莅蝿羈羆芁螈蚇膁膇莄袀羄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄莁袆肀膀莀罿袃蒈葿蚈聿莄葿螁袁芀蒈羃肇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇蒄罿膄芃蒃虿羆腿薃螁膂肅薂袄羅莃薁蚃膀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁薈羀肁蒀薇蚀袄莆蚇螂肀节蚆袅袂膈蚅薄肈肄蚄螇袁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄蚁蚁膄膀蚁螃羇葿螀袅膃莅蝿羈羆芁螈蚇膁膇莄袀羄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈莂螄芈芄莁袆肀膀莀罿袃蒈葿蚈聿莄葿螁袁芀蒈羃 实验7 微积分基本运算 一、实验目的学会用MATLAB软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法二、实验内容与要求1.函数的的极限格式：limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当xa时；limit(F,x,a,right) %计算符号表达式F的右极限，当x时。limit(F,x,a,left) %计算符号函数F的左极限，当x时。【例1.61】 syms x a t h n; L1=limit(cos(x)-1)/x) %缺省状态下，计算当x0时的极限值 L2=limit(1/x3,x,0,right) L3=limit(1/x,x,0,left) L4=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) v=(1+a/x)x,exp(-x); L5=limit(v,x,inf,left) L6=limit(1+2/n)(3*n),n,inf) 计算结果为： L1 = 0 L2 = InfL3 = -InfL4 = 1/xL5 = exp(a), 0L6 = exp(6)2.求单变量函数的极值格式：fmin(F,a,b) %计算在区间a-b上函数F取最小值时的x的值.说明：在5.3及5.3以上版本命令fmin已改fminbnd,常用格式如下. X=fminbnd(F,a,b) %计算在区间a-b上函数F取最小值时的x的值.x,fval=fminbnd(F,a,b)%计算在区间a-b上函数F的最小值fval和对应的x值。 【例1.62】 求函数f(x)=在区间（-2,4）的极小值，并作图. f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7); %建立内联函数f(x). x,fval=fminbnd(f,-2,4); %求函数f的最小值和对应的x的值。 fplot(f,-2,4) 结果为： x= 3.0000 Fval= -47.0000 如图1.12所示. 图1.12 例 1.62图形结果 注意：用inline建立的函数f,在funbnd和fplot命令中不用加单引号，而用M函数文件建立的函数则要加单引号. 问题1.25：如何求函数f的最大值？3.函数的微分格式：diff(S,v,n) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数， 在缺省状态下，v=findsym(S),n=1.【例1.63】 syms x y t %计算 %计算 计算结果为： -4*sin(x2)*x2*y2+2*cos(x2)*y2 =-8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*y = 720 问题1.26：试一下输入diff(a3*x3-b*x,a,2),有什么错误？为什么例1.63中的diff(,y),y可以不加单引号？（因为在syms x y t中已经定义了符号变量y.如果A是一个矩阵，diff(A)有何意义（求每一列元素的差分）？ 4。函数的积分 (1)quad法数值积分 格式：s=quad(fun,a,b) %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为 s=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差tol代替缺省误差。 s=quad8(fun,a,b,)%用高精度进行计算，效率可能比quad更好. 说明：s=quad8命令在6，x版本用quad代替. 【例1.64】 fun=inline(3*x.2./(x.3-2*x.2+3); %构造一函数fun(x)= s1=quad(fun,0,2) s2=quadl(fun,0,2) 计算结果为：s1 = 3.7224s2 = 3.7224注意:用inline构造函数比用function构造函数简单；命令quadl最后是字母1,不是数字1.(2)梯形法数值积分格式:T=trapz(X,Y) %用梯形法计算Y在X点上的积分.【例1.65】 X=-1:.1:1; Y=1./(1+25*X.2); %注意这里用点运算 T=trapz(X,Y) %计算函数Y从-1到1的积分 计算结果为： T = 0.5492 注意：步长取短，结果较精确.(3)符号函数的积分格式：R=int(S,v) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分.R=nit(S,v,a,b) %对表达式S中指定的符号变量v计算从a到b的定积分.【例 1.66】syms x z t alphaI1 =int(-2*x/(1+x3)2)I2 =int(x/(1+z2),z)I3 =int(I2,x,x,b) %这里积分区间a,b由于没定义，所以要加单引号I4 =int(x*log(1+x),0,1)I5 =int(exp(t),exp(alpha*t)计算结果为： I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)1/9*log(x2x+1)2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1) I2 =x*atan(z) I3 =1/2*atan(z)*(b2-a2) I4 =1/4 I5 = exp(t) , 1/alpha*exp(alpha*t)问题 1。27： 输入 I6=int(exp(-y2)+log(y),1,10),结果较复杂，怎么办？ （这时常用eval命令进一步求数值解） I6=1/2*pi(1/2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-1/2*pi(1/2)*erf(1) I61=eval(16) I61= 14.16535泰勒级数展开格式：taylor(f) %求出符号函数f在x=0处的阶麦克劳林年型泰勒展开式。Taylor(f,n,v,a) %求出符号函数f的在v=a点的n-1阶泰勒展开式。【例 1.67】 syms a x f=a/(x-10); y1=taylor(f,x,3) %求f在x=0处的阶泰勒展开式计算结果为：y1= -1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x2 y2= -1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)26. 傅里叶级数展开TALAB中没有专门用于傅里叶级数展开的命令，可编一个函数文件实现。Function a0,an,bn=mfourier(f)Syms n xa0=int(f,-pi,pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;【例1.68】 syms x f=x2+x; a0,an,bn=mfourier(f)计算结果为：a0 = 2/3*pi2 an =2*(n2*pi2*sin(pi*n)-a*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/n3/pi bn = -2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n)/n2/pi进一步化简：an=simple(an)%结果为2/n*pi*sin(pi*n)-4/pi/n3*sin(pi*n)+4/n2*cos(pi*n)bn=simple(bn)%结果为2/pi/n2*sin(pi*n)-a/n*cos(pi*n)再经手工化简不难得到an=4*(-1)n/n2,bn=2*(-1)(n-1)/n三、练习和思考 求下列函数的极限。y=(1+x)1/x在x=0处的极限值；y=ln2x/x3在x趋向于正无穷的极限值。 求下列函数的导数。y=x3 +4x2 +8,y=ax4+blogx,f=ma2-na2+mn (对a求2阶导数)。 用多种方法求下列积分，比较它们的结果。 求下列函数的泰勒展开式。y=e-2x x=0处6阶麦克劳林型泰勒展开式。 y=x/sinx x=2处10阶泰勒展开式。 求下列函数的傅里叶展开式y=xy=sin2x2四、提高内容1 积分限均分为常数的二重积分格式： q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax).q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) %指定精度tol. 说明：调用函数quad在区域xmin,xmax,ymin,ymax上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分，其中，内外积分限为数值。【例 1.69】 fun=inline(y./sin(x)+x.*exp(y);%建立二元函数fun= Q=dblquad(fun,1,3,5,7)计算结果为:Q= 3.83119e+0032. 内积分限为函数的二重积分方法一:q=int(int(fun,var1,inlower,inupper),var2,outmin,outmax).说明:在由inlower,inupper,outmin,outmax指定的区域上计算二元函数z=f(var1,var2)的二重积分,其中,内积分限inlower,inupper为变量var2的函数,fun,inlower,inupper是字母串表达式或符号表达式.【例 1.70】 计算单位圆域上的积分: I=先把二重积分转化为二次积分的形式: I= syms x y f=exp(-x2/2)*sin(x2+y); xlower=-sqrt(1-y2); xupper=sqrt(1-y2); Q=int(int(f,x,xlower,xupper),y,-1,1); vpa(Q,6)计算结果为: Q= 0.536860方法二:在6.x版本编制如下函数文件,实现二重积分,fun为被积函数,inlower, inup, outlow,outup积分内外限. dint.m function SS=dint(fun,inlow,inup,outlow,outup) y1=outlow;y2=outup;x1=inlow;x2=inup;f_p=fun SS=quad(G_yi,y1,y2,x1,x2,f_p); G_yi.m function f= G_yi(y,x1,x2,f_p) y=y(:);n=length(y); if isnumerric(x1)=1;xx1=x1*ones(size(y);else xx1=feval(x1,y);end if isnumerric(x2)=1;xx2=x2*ones(size(y);else xx2=feval(x2,y);end for i=1:n f(i)=quad(f_p,xx1(i),xx2(i),y(i); end f=f(:);【例 1.71】 计算I=. 解:先编制别数文件x_low.m. function f=x_low(y) f=sqrt(y);再在命令窗口运行如下命令: ff=inline(x.2+y.2,x,y) SS=dint(ff, x_low,2,1,4) SS= 9058103.积分限均为常数的三重积分格式:triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax). 袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芅薄羄袇芄蚆螇膅莃莅薀肁莂蒈螅羇莁薀薈羃莀莀螃衿荿蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膅蒅薁袈肁蒄蚃蚁肇蒃蒃羆羂肀薅蝿袈聿蚈羅膇肈莇螈肃肇葿羃罿膇薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄膀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇