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文档简介

,高阶线性微分方程,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,证:,代入方程左边, 得,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,问题:,例如,线性无关,线性相关,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,(证明略),线性无关,例如,推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,证: 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,解的叠加原理,推广.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,思考题,解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,例5.,的通解为,的通解.,解: 将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,例6.,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后
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