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浅谈高中数学教学中课堂举例的几个类型江苏省苏州第十中学校史艳 众所周知，课堂举例是数学教学中一种常用的手段，也是一种课堂教学艺术。得当适时和富有启发性的举例，能对数学教学起着催化剂的作用，帮助学生开阔学习思路，加速对知识的吸收和消化，还能对课堂教学起着一种“调味”作用，提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛。从这个意义上，也就不难理解为什么郑毓流教授会指出“会举例，善于举例，这应当被看成数学教师的一个基本功”。在高中数学教学中，随着各个阶段教学任务的不同，往往分新知课、复习课和讲评课。对应地，课堂举例也因这些课型和教学目标的不同而产生变化。一、新知引入时的举例新知引入时，为了能瞬间把学生从离散的自由思维状态引导到恰当的教学氛围中，需要教师在情境导入中尽可能选择贴近生活、趣味盎然的例子。这样有利于集中注意力，刺激思维，丰富想象，当教师提出问题时，学生就跃跃欲试，敢于探索。例如在学生学习“等比数列的求和公式”前，先提一个问题：“我在一个月内每天给你1万元，但在这个月内，你必须第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，即后一天给我的钱是前一天的2倍，有谁愿意？”此问题提出后学生蠢蠢欲动，凭直觉都认为老师不划算，纷纷要求讲授等比数列求和公式以便计算的结果。于是师生一起顺利推导出公式，从而计算出应给老师的钱为，这远大于老师给学生的钱。几乎所有学生都感到震惊，教学气氛也随之达到高潮。又如学生在学习线性规划前，可先提问题：某茶饮店新开发了两种饮料出售，A饮料每杯需分别用果糖15克、可可粉45克，B饮料每杯需用果糖30克，可可粉20克，已知每天仅提供果糖4000克，可可粉3000克，如果A饮料每杯能获利2元，B饮料每杯能获利3元，每天配制的饮料可以全部售出，则A、B两种饮料每天各配制多少杯该茶饮店能获利最多？学生经常买饮料喝，对这样的问题自然很有兴趣，并且很希望能给出最佳方案，此时教师顺势利导，适时地抛出线性规划的概念、思想及操作方法，学生就能带着问题听课，提高课堂效率和学习质量。数学的根源在于生活中的普通常识，学习实质上是对生活常识的系统化结构化，而学习兴趣又是学生学习动机中最活跃的因素，是推动和激励学习的最有效直接的动力，因此教师也格外需要注意积累贴近生活、趣味盎然、简单明快的素材，以便在数学课堂的新课题引入时多多建立引趣型问题情境，牢牢抓住学生眼球，提升数学魅力。二、复习核心概念时的举例在这个阶段，学生对涉及的知识点已经具备了相当的掌握程度，此时举例必须典型、精粹、以一当十、意味深长。可以是一题多解，也可以是一题多变，可以是一题多探，也可以是一题多用，如同武林高手过招般绵绵不断后招不绝。这样就需要教师在备课时，精心设计好有利于学生发展思维和能力的题组，通过题组充分展示各知识点的发展过程和内在联系，帮助学生建立良好的知识结构，从而形成解题技能。例如在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大（小）值”这一课题，可以选用下面的题组。例1 （1）设，求的最大值和最小值；（2）设，记在区间上的最大值为，求的表达式；（3）设，记在区间上的最小值为，求的表达式；（4）设，记在区间上的最小值为，求的表达式。这个题组是有关二次函数的最值问题。解决这类问题的关键是要让学生结合二次函数的图象，弄清楚函数图象的对称轴与给定区间之间的相对位置关系。本题组从“定对称轴定区间”到“定对称轴、动区间（一端点定另一端点动）”，再到“定对称轴、动区间（两个端点都在变化，但区间长度是一个定值）”，直到最后的“动对称轴、定区间”，充分展示了二次函数在闭区间上的变化可能，可以让学生较全面地掌握如何求二次函数在闭区间上的最值的一般方法。例2 在椭圆上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。这是一道比较简单但内容丰富的习题，在此基础上精心设计，可将它变为一道培养学生发散思维的好题。设计（一）在上述题设下，对学生提问：（1）从图中看，点可以看成是什么曲线和已知曲线的交点？（2）再想一想，满足题中条件的点是否对任意椭圆都存在？（3）如果把点也看作题中的一个条件，那么本题共有几个条件？分别是什么？设计（二）如果互换这些条件在原例题中的位置，那么结果如何？如果满足题中条件的点是存在的，那么离心率又有什么限制呢？（1）在此椭圆上取一点，试求的度数；（2）设点是椭圆上一点，它与两焦点的连线互相垂直，试求离心率的取值范围。设计（三）将的面积也作为一个条件，又能产生哪些变化呢？（1）设点是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，求；（2）设点是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，求。设计（四）如果点在椭圆上不断运动，又会带来什么新情况呢？（1）当点在椭圆上运动时，点与两焦点构成的三角形面积有最大值吗？若有，则符合要求的点在何处？（2）设为椭圆的两焦点，点在椭圆上运动，当使为锐角或钝角时，点的横坐标的取值范围是什么？通过类似于这样的经典题组的安排，可以促进学生在各个教学环节的有效参与，并且环环紧扣，层层推进，步步加深，使学生能够在参与的过程中，发挥能动性、自主性，培养思维的广阔性、深刻性和创造性，最大程度的发挥典型习题在知识层面和能力层面的辐射作用，提高学生自信心和探索问题、解决问题的能力。三、讲评习题时的举例高中数学教学中，不可避免地存在大量习题讲评课，高三尤甚。此时的课堂举例，不仅要设计安排好大量系统化程序化的题组，例题解法也要简洁巧妙，尽可能避开繁难的数学运算，力争事半功倍，提高解题效率。例如关于的方程有解，试求实数的取值范围。这个问题学生一般喜欢两边平方后将方程转化为在上有解，利用二次方程在区间上的根的分布的求解模式来解决，但这样计算相当复杂，而且易错。于是教师可提出方程有解、不等式有解类问题的一个通用方法，即分离变量与参量，可将方程变形为，从而只需求函数的值域即可。或者也可不变形不分离，只是分别令，将方程有解转化为两个函数图象有交点，从而通过数形结合的方法来寻求答案。如此种种，不胜枚举。我们都知道，只要登上讲台，举例必然会“随堂而行”，也许不一定能尽善尽美，但一定要根据教学内容和课堂的实际情况有所侧重，尽量兼顾。总之，一切以提高课堂教学的效果为根本目的，把学生拉回到其实也很美的数学课堂中来。既然“善于举例”已作为数学教师的一项基本功，那我们教师就应该练好它，用好