论文资料：特征值与特征向量的应用.doc

精品文档 免费阅读 免费分享 如需请下载！特征值与特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用。因此研究特征值问题的应用具有重要价值。应用一 特征值与特征向量在处理数学问题中的应用例1 设k阶线性循环数列满足递推关系:=+, (n=k+1,k+2,)其中(i=1,2,k)是常数,且0。方程组 可表示为矩阵形式： (4)令=，A=,=则(4)可写成： (5)由(5)式递推得 = (6)其中=，于是求通项,就归结为求，也就是求。如果A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得.则=,由于 = 从第一列开始每一列乘以加到后一列上，就得到如下行列式： 若是的特征值，显然有，则齐次线性方程组的基础解系中只含有一个向量。因此当有个特征值时，这个特征值对应的特征向量分别为，由这个特征向量为列构成的方阵记为，则是可逆的，并且其中 例1 设数列满足递推关系： （），并且 求通项解： 是三阶循环数列，将方程组 用矩阵表示为： ， 令 并由上式递推得：，其中 。由=0，即 =，得的特征值为： 。再由特征方程解得对应于的特征值线性无关的特征向量分别为： 令 则 = 代入（6）式得： =例 2 计算阶行列式 解 将按第一行展开得： 其中与分别是元素与的余子式，再将它们分别按第一列展开得： 则是三阶线性循环数列。将方程组表示成矩阵形式为: 令 由上式递推得： (7)由解得的特征值为： 再由 解得对应于的特征向量的特征向量分别为： ， 令则 ， 由(7)式可得：将代入上式得： 应用二 特征值与特征向量在FSK信号检测中的应用2在现行的移频自动闭塞系统中，FSK移频信号主要由国产的YP FSK信号和从法国引进的UT FSK信号组成。FSK信号集中在以载频为中心的有限频率范围内，低频频率间隔很小。因此，移频信号检测需要具有相对较高的频率分辨率，并且还必须具备很高的实时性。目前采用的检测方式是对信号进行欠采样，再利用傅立叶变换进行检测；或者利用Burg算法等现代谱分析方法进行信号检测。但是由于这些算法都存在着自身的缺点：如傅立叶变换要提高频率分辨率就需要相应的增加FFT长度，或者尽量降低AD转换器的采样速率，在精度确定的情况下必定要牺牲实时性。又如Burg算法对于噪声特别敏感，有时候可能会出现谱线分裂的现象，且不容易找到合适的阶次，从而导致伪峰的出现。在研究了车载FSK信号的特征、小轨信号的定义以及小轨预报警的原理后，我们进行了实际的检测实验。最后给出检测试验的结果，结果表明它在FSK信号小轨信号检测中非常有效。2.1 FSK信号的特征假设FSK信号可用周期信号s（t）表示，则描述FSK信号的一般数学形式为：。式中：f（t）为键控频率；T为空键信号的周期；为瞬时相位。根据FSK信号的定义，键控频率f（t）的瞬时表达式为式中：为FSK信号的中心载频；和分别为FSK信号的上下频偏频率；f为信号频偏，它与移频器的灵敏度和键控信号的幅值成正比。铁路FSK信号中，不同的载频、频偏f及基带频率都代表了不同的控制信息。其中载频频率范围为550Hz2600Hz，频偏为11Hz55Hz，基带调制频率为7Hz26Hz，信号的有效带宽小于500Hz。实际信号却更加复杂，在我国现行的移频自动闭塞系统中，同一段轨面存在着两个FSK信号的叠加，其中一个FSK信号作为机车主信号传输，而另外一个FSK信号即为了铁轨预警的小轨信号。例如实际传输的信号为：传输中频为1700Hz的FSK信号和一个中频为2300Hz的FSK信号，但由于串扰过来的信号有衰减，所以两个FSK信号幅度比值往往高达15：120：1。这个小幅度的串扰信号称为小轨道信号，简称小轨信号。在实际的信号检测中需要将大小两个频率都检测出来。在整个过程中，精确检测幅度小的FSK信号（小轨信号）将是整个检测过程的重点。小轨信号的实际作用是：如果铁道发生断裂，则无法检测到小轨信号，通过对小轨信号的检测，可以预先对于铁轨的断裂作出报警。因此引入小轨信号起到了预警的作用极大地保障铁路运输的安全。2.2 基于特征向量的功率谱估计目前常用的基于FFT算法的非参数功率谱估计在实际应用中，为了获取必要的频率分辨率通常都需要记录较长的数据，同时加窗必然存在功率泄漏和频率混叠使接收的弱信号被掩盖，因此这种经典方法不适用于处理短数据。近年来在实现高分辨率谱估计技术方面取得了很大的进展，提出了许多功率谱估计的参数方法，统称为近现代谱估计法。其基本思想是在进行谱估计过程对观测的有限数据不作任何确定性假设。基于特征向量的功率谱估计是基于参数建模的功率谱估计的一种，属于现代谱估计方法。其方法主要是基于矩阵特征分解的功率谱估计，它将相关矩阵的特征向量空间分解为信号子空间和噪声子空间，特征向量谱估计是基于噪声子空间的功率谱估计。2.3 特征向量功率谱估计由于信号向量和噪声空间的各个向量都是正交的，因此和它们的线性组合也是正交的，即： 令：，则有:当 时，上式应为零。因此信号的功率谱可以表示为： 令上式中的系数，其中为噪声子空间相关矩阵的特征向量值，那么所得功率谱就是特征向量估计，即：2.4 功率谱估计中信号与噪声子空间维数估计理论上讲对于维的自相关矩阵，若信号空间的维数为，则有个最小且相等的特征值，即，因此通过判断其最小的特征值的重复个数，即可确定其噪声空间的维数，但是由于子相关矩阵式是由有限长数据估计出来的，因此其特征值不可能完全相等，所以扩展基于MDL准则估计信号与噪声空间的维数。设信号由个复正弦加白噪声组成，其长度为。取其自相关函数的最大延迟为，其维的自相关矩阵由个特征值，按次序排列，有。基于MDL准则的信号与噪声空间维数估计表达式如下：取最小的所对应的作为信号子空间维数的估计。而基于MDL准则给出的估计是延迟的一致估计。应用三 特征值与特征向量在经济与环境中的应用经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系：令 ， 则上述关系的矩阵形式为:.此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系。如 则由上式得：由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平。一般地，若令，分别为干地区年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为： 令 则上述关系的矩阵形式为： 由此，有 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平。下面作进一步地讨论：由矩阵的特征多项式得的特征值为：对，解方程组得特征向量：对，解方程组得特征向量：显然，线性无关.下面分三种情况分析：Case 1 =由及特征值与特征向量的性质知，即 = 或此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下，年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势。Case 2 =-2.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;end可知，当=291时，有结论成立。问题解答与进一步思考：根据数学模型计算结果如表1所示：表1 计算结果k(现在)k=1 (5年后)k=2 (10年后)k=3(15年后)k=4(20年后)x1100070002750143758125x21000500350013757187.5x31000250125875343.8从表中数据变化，如果没有其它的原因，估计农场的动物总数量会逐步增加。当k=291可以得到如下结论 x = 1.0e+054 *3.3121 1.1040 0.1840这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人的。应用五 特征值与特征向量在商品的市场占有率问题中的应用有两家公司R和S经营同类的产品，它们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场分额，而S公司占有2/5的市场分额。问两年后，两家公司所占的市场分额变化怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？ 3.5.1问题分析和数学模型根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成以下转移矩阵根据产品制造之初，市场的初始分配数据可得如下向量所以一年后，市场分配为两年后，市场分配为以向量记第年后市场分配的分额，则 设有数据和作为R公司和S公司的初始市场分额，则有 为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有即这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解，则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始分额。 程序和计算结果为了知道两年、五年、十年后市场分配的情况，在MATLAB中键入下面命令A=1/4 1/3;3/4 2/3 x0=3/5;2/5 x2=A2*x0 x5=A5*x0 x10=A10*x0可得数据结果 x2 = 0.3097 0.6903 x5 = 0.