滤波与褶积z变换课件

1,第三章 滤波、褶积，Z变换,第一节 连续信号的滤波与褶积,第二节 离散信号的滤波与褶积,第三节 信号的能谱与能量等式,第四节 离散信号与频谱的简化表示,第五节 离散信号的Z变换,第六节 作为罗朗级数的Z变换,2,本章重点、难点,滤波与褶积的概念及关系； 连续信号与离散信号的滤波与褶积公式 离散序列的频谱与Z变换,3,滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。是根据观察某一随机过程的结果，对另一与之有关的随机过程进行估计的概率理论与方法。 滤波一词起源于通信理论，它是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。“接收信号”相当于被观测的随机过程，“有用信号”相当于被估计的随机过程。例如用雷达跟踪飞机，测得的飞机位置的数据中，含有测量误差及其他随机干扰，如何利用这些数据尽可能准确地估计出飞机在每一时刻的位置、速度、加速度等，并预测飞机未来的位置，就是一个滤波与预测问题。这类问题在电子技术、航天科学、控制工程及其他科学技术部门中都是大量存在的。,4,滤波分经典滤波和现代滤波两种 经典滤波是根据傅立叶分析和变换提出的一个工程概念。根据高等数学理论，任何一个满足一定条件的信号，都可以被看成是由无限个正弦波叠加而成。换句话说，就是工程信号是不同频率的正弦滤波线性叠加而成的，组成信号的不同频率的正弦波叫做信号的频率成分或叫做谐波成分。 只允许一定频率范围内的信号成分正常通过，而阻止另一部分频率成分通过的电路，叫做经典滤波器或滤波电路。是根据电路参数对电路频带宽度的影响而设计出来的工程应用电路。,5,现代滤波是用模拟电子电路对模拟信号进行滤波，其基本原理就是利用电路的频率特性实现对信号中频率成分的选择。 1、当允许信号中较高频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做高通滤波器 2、当允许信号中较低频率的成分通过滤波器时，这种滤波器叫做低通滤波器 3、设低频段的截止频率为fp1,高频段的截止频率为fp2: 1)频率在fp1与fp2之间的信号能通过其它频率的信号被衰减的滤波器叫做带通滤波器。 2)反之，频率在fp1到fp2的范围之间的被衰减，之外能通过的滤波器叫做带阻滤波器。,6,3.1 连续信号的滤波与褶积,一、滤波问题的提出,我们所接收到的信号x(t)包含两个成分：一个是有效信号s(t); 一个是干扰信号n(t);将这两个成分合起来就是我们实际接收到 的信号。即 x(t)=s(t)+n(t) x(t)的频谱表示为：X(f) s(t)的频谱表示为：S(f) n(t)的频谱表示为：N(f) 则存在：X(f)=S(f)+N(f),7,干扰信号的频谱与有效信号的频谱是不同的，存在一种特殊的情况：干扰信号的频谱与离散信号的频谱是分离的(S(f)0,N(f)=0),0,频谱,f,|S(f)|,|N(f)|,设计一个函数,将H(f)与X(f)相乘；得到Y(f)=X(f)H(f)=S(f)+N(f)H(f) 可得Y(f)=S(f)。 综上可得：X(f)经过与H(f)相乘，达到消除干扰信号，保留有效信号的目的,8,实际传输的信号，干扰谱N(f)与有效谱S(f)并不是完全分离的，可以根据干扰谱N(f)与有效谱S(f)的不同特点，设计不同的频率函数H(f)，以起到削弱干扰、增强信号的作用。,滤波的概念：用以频率函数H(f)与信号x(t)的频谱X(f)相乘得到Y(f)=X(f)H(f)的过程。一个信号经过某一装置变为一个新信号的过程 目的：削弱干扰，突出有效信号,9,设原始信号x(t)的频谱为X(f)；用来滤波的频谱H(f)对应的时间函数为h(t);滤波后的频谱Y(f)对应的时间函数为y(t) 那么：滤波后的信号y(t)与原始信号x(t)和滤波时间函数h(t)之间有什么关系？ 由信号与频谱是一一对应的，可得：,二、连续信号的滤波与褶积,1,10,我们把由1式表示的y(t)称为x(t)与h(t)的褶积（卷积），记为: y(t)=x(t)*h(t),根据以上的讨论，可以得出： Y(f)=X(f)H(f) y(t)=x(t)*h(t),2,3,又有：,4,从数学角度分析：公式2和3：两个频谱相乘，其时间函数就是相应的两个时间函数的褶积；,从滤波角度分析：公式2和3：滤波可通过两种方式实现，一是在频率域实现（将H(f)与X(f)相乘得到Y(f)）；二是在时间域实现，将时间函数h(t)与x(t)褶积得到y(t).,11,整个滤波过程为：x(t）作为输入信号；y(t)作为输出信号，h(t)作为滤波因子（滤波时间函数或脉冲响应函数）；H(f)为滤波器频谱（频率响应函数）。,时间域 x(t),频率域X(f),h(t) H(f),输入,滤波器,输出,y(t)=x(t)*h(t),Y(f)=X(f)H(f),滤波过程,12,3.2 离散信号的滤波和褶积,一、离散信号的滤波与褶积,对连续信号x(t)用连续滤波因子h(t)滤波得到y(t)；相应的频谱关系为Y(f)=X(f)H(f)。 当连续信号x(t)和连续滤波因子h(t)的频谱X(f)、H(f)都有截频 （即当|f| 时，X(f)=H(f)=0）， 并且抽样间隔 ，对连续信号的滤波完全可以通过离散信号的滤波实现,13,x(t) h(t) y(t),x(n) h(n) y(n),连续时间函数,离散序列,抽样间隔,频谱,由奈奎斯特定理可得：,离散信号频率域滤波公式为：,综上所述，连续信号的滤波可以通过对离散信号的滤波实现,14,由离散信号和频谱的关系可得：,2-1,15,离散信号的褶积：离散序列x(n)、h(n)通过运算得到y(n)的过程。称为离散信号的褶积。 记为：y(n)=x(n)*h(n),综上可得：,y(n)=x(n)*h(n),2-3,2-2,2-2式称为离散信号的频率域滤波公式； 2-3式称为离散信号的时间域滤波公式,16,时间域 x(n),频率域,h(n),输入,滤波器,输出,y(n)=x(n)*h(n),离散信号滤波过程,17,二、褶积的直观意义,设,求,18,图解法：,19,公式法：,由于 ，要使 ，需要,即：,即只有n=1、2、3、4、5时 ，其余,20,故：,21,3.3 信号的能谱与能量等式，功率谱与平均功率等式,一、连续信号的能谱与能量等式,物理中功率的公式为：,用实信号x(t)表示电压，电阻取值为1，瞬时功率表示为：,3-1,上式称为信号的能量。,22,设x(t)和y(t)为两个信号，由信号与频谱的关系可得：,因此有：,3-2,23,3-3,即,上式中，取y(t)=x(t),即得：,3-4,上式称为能量等式,x(t)的能量可通过 表示，因此 称为x(t)的能谱,24,当连续信号x(t)的总能量式为无限时，就需考虑平均功率和功率谱,二、连续信号的功率谱与平均功率,为x(t)在区间,上的平均功率,3-5,25,由能量等式可得：,将3-4和3-5式代入上式，并同除,上式左边为x(t)在区间上的平均功率，可以通过右式表示出来，因此我们可以称右式为x(t)在区间上的功率谱。,3-6,26,通常，把整个时间轴 上的平均功率,3-7,称为实信号x(t)的平均功率。,3-8,上式为x(t)的功率谱。,27,3.4 离散信号与频谱的简化表示,注：,三种谱的关系：,28,3.4 离散信号与频谱的简化表示,离散信号褶积的简化表示：,29,3.5 离散信号的Z变换,1、Z变换定义与性质：,说明：（1）Z变换是一个以复数Z为变量的函数。,（2）Z是一个以实部为横坐标、虚部为纵坐标的平面上的变量，这个平面称为Z平面。,（3）X(f)是 的特例，即 。,30,3.5 离散信号的Z变换,Z变换的性质：,（1）褶积：,（2）翻转：,（3）相关：,31,3.5 离散信号的Z变换,2、频谱和Z变换展开式的唯一性：,设一个离散序列的频谱为,其Z变换为,，则必有,推论：由离散序列可以写出频谱和Z变换；由频谱和Z变换也可以写出离散序列xn。,例题：,证明：,两边乘 ，,并从 到 积分可证。,32,3.5 离散信号的Z变换,3、离散序列的时移与滤波：,信号 x（n）延迟 发出，这时信号为 。,（1）时移定理：,，则,表明相位延迟了,设 ，则 对应的信号为：,例子：,证明：,33,3.5 离散信号的Z变换,（2）时移与滤波：,用滤波因子hn对信号xn进行滤波: , 显然,之前的系数 组成滤波因子。,例子：,设yn是用滤波因子hn对信号xn滤波结果，且已知,则：,34,一 、离散信号的罗朗级数和Z变换,3.6 作为罗朗级数的Z变换,复变函数中称X(Z)为x(n)的罗朗级数。在 信号处理中成X(Z)为x(n)的Z变换。,将X(Z)表示成两个幂级数之和：,35,3.6 作为罗朗级数的Z变换,为幂级数，设其收敛半径为R，则级数在|Z|R 内绝对收敛。,令w=1/Z,上式为,设其收敛半径为 ，则级数在|W|1/ 时级数是收敛的。令r=1/ 则在|Z|r内级数收敛。,36,综上所述，对于罗朗级数X(Z)：,3.6 作为罗朗级数的Z变换,1）r=R,级数X(Z)没有收敛域。 2）rR,级数X(Z)在r|Z|R圆环内绝对收敛，r可以为零，R可以为正无穷大。,定理1：离散信号x(n)的罗朗级数若有收敛 域，起收敛域为圆环。级数在圆环内绝对 收敛，级数表示的函数X(Z)在D内解析，且 可分解成 其中， 在 |Z|r内解析。,37,3.6 作为罗朗级数的Z变换,收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z变换存在的充分条件。,收敛域的定义：,对于序列x(n)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,3.6 作为罗朗级数的Z变换,（1）整个z平面收敛；,39,3.6 作为罗朗级数的Z变换,例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(n)=(n) n=0 (2) f2(n)=1 , 2 , 3 , 2,1,解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f(n)的z 变换为,F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收敛域为0z ,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z，有时它在0或/和也收敛。,40,3.6 作为罗朗级数的Z变换,41,3.6 作为罗朗级数的Z变换,例2 求因果序列,的z变换（式中a为常数）。,解：代入定义,可见，仅当az1，即 z 1/a =时，其z变换存在。,收敛域为|z|1/a|,3.6 作为罗朗级数的Z变换,例3 求反因果序列,的z变换。,解:,可见，(bz)-11,即z1/b时，其z变换存在，,收敛域为|z| |1/b