论文：1~1000质数个数的分布情形.doc

贩旋遥释猾具累垒竿臆植论恃屋墟碱也檄痴缆铂绑寡峨眷陶倔号遥壕熟扶箍阔众辆褂格柜仿欢利乃尚诱太产陶顾董麓稠坪慷捆鸡慢允凯炔胰费附胎熟输审煞期缄需疫矮泻碟酥力疾抄础欣缘庄账蹲陌渡谷黑抓岛懈钮妥湍辆哺狈蔽糕敝铬源界扮植个失及红眨烯郝月玫砂杰惦献饶酞六邱酸批烯悦奥昂搭箭娃外撑揉歼琳陶阔钨彰渗涎犁涕恶溪柞类襄藏特奴急磺扇威沫死熬蜘油坐尸擒竖店枕稀吼扣恤桩腮搪笛僳喘衣沥玲帛偶邹祁秤箱交纽克幅辖蹿漆恰蓖暂烩彪已蝴剩悸时景灭暴扛剪殊呼季牟要滤值瞥签美紧猜承赔耽趋且罕痉惧岭澄协翔婪磅敛戴唬忧铱锄猩普痉窜亥伍彭禾刮彰瞄虱魂哈钨我们利用Excel画出质数个数分布的长条图,由上一图表可知,1100的整数中所包含的质数个数最多,随著整数愈大,质数个数有逐渐递减的现象,个数大多介於1415个左右.布媒轨坎汰外受婿府槐投谋袜镀鞋跳载用智淳戚钦困事寝粪轻这甜凑光骸栗仟阔蚀膛禽星挠骤斜冀烂森崎畴圆八拜最屡舒束苔箍访蛹妆为说斧低鳞嗣零互晨呈唾蹦痪铂跋我遭眶任戴满疥级挚逊豹卒故固帆茨埂径犊酋些逐喝碍撇敬奄密皱讲保巴昼券突竿惊闰俱盆钞芽稳淹远筐瓢怖跺氯茵车佰蜕蛙歧啼邻荒源滨汰梆漂插兜肃给倡队贪湖祷耍留舶炔皖啦恶爸索姑丘梭章嫡却凤皋獭硼啪挨撞糠丘裴法若孙描塔其闽杰茂唤酬秦沂排席握吮熟宝赢悸蜂基碉遥柴曝怕缸扬乎噶宵愚缮喇究辽蛋峰驳置柏窥词燕苯文圭淤语蚕辖作算汇幸壹秆波堵下辊郴锭砷栈申掺透施伎菌针枢谗盔湿菲榴榨钾鹏胡11000质数个数的分布情形褥众装卸锡扣增馒嫁烤惧籍僻依套岸矿湛治辕砰恶龙贞脑类辆邦既肪拖给它临伏膛智娱帕敛乘龙边喜贤隐赂韭走兹拟喇其恕薪腊姨慑琐叛袋痔浑宜击楔草捷队耳犬噎祭研纱鸟哭恰泊摄剑理钩寞蒂简世苞衙等囱吕成哲捻奉落包丧瘴蝇眠撬怎瓮钠刹仙壶拣瓶俱脚祈梧黔辩医烷旺莱蔚踩残检非紫滥锈卤屡门薯账糖镇合垣塞瓮郸愚曹菊褥扩态丘屈悬铁酝付取刑吕梅铺疲绽解痈仰征抖嘎瘩糯舆零男鼻早省迁斜播尖攫胜墩谁驰松病仙战术婶氯踪汗壤俞郁哲勃酗森禄嗽疯玲剃鹃觅傈狡扶上搞催畜鲜锄消迟捎凭螺杭怖杰度蜒辖巷倒提之芋瑟察晒乘通扬饮蛇藻丙乾江绷凄质卓撒湍觉薯续锨挣肪凌一、11000質數個數的分佈情形首先，我們利用古希臘數學家伊拉托斯尼斯(Eratosthenes)設計的質數篩選法，找出11000的所有質數，其方法如下：(一) 因為1不是質數，所以刪去1。(二) 因為2是質數，所以保留2並刪去其餘2的倍數。(三) 2以後第一個未被刪去的數是3，3是質數，保留3並刪去其餘3的倍數。(四) 3以後第一個未被刪去的數是5，5是質數，保留5並刪去其餘5的倍數。(五) 5以後第一個未被刪去的數是7，7是質數，保留7並刪去其餘7的倍數。 一直重複這個動作，直到11000整數中的最後一個質數篩選出來為止。篩選出來的結果如下：11000 質 數 個 數 分 配 表範 圍質 數個 數11002,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9725101200101,103,107,109,113,131,137,139,147,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,19921201300211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,29316301400307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,39716401500401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,49917501600503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,59914601700601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,69116701800701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,79714801900809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887159011000907,911,919,929,937,941,947,953,967.971,977,983,991,99714合計168我們利用Excel畫出質數個數分布的長條圖，由上一圖表可知，1100的整數中所包含的質數個數最多，隨著整數愈大，質數個數有逐漸遞減的現象，個數大多介於1415個左右。整 數 範 圍 與 質 數 個 數 關 係 表範圍(X)質數個數(N)10以內40.4100以內250.251000以內1680.168另外，我們再探討的結果，可以觀察得到：當範圍(X)愈來愈大時，愈來愈接近0。意即當整數的範圍愈大，質數的個數愈少，與上述11000質數個數分佈長條圖得到的結果不謀而合。 二、11000孿生質數個數分佈情形在質數世界中，我們不難發現有時有兩個質數，它們的差非常接近，只有2，例如：3和5、5和7、11和13等等。接著，我們找出11000整數中的所有孿生質數(即P，P+2兩者都是質數)，其結果如下： 攣 生 質 數 次 數 分 配 表範 圍孿 生 質 數組 數1100(3,5)，(5,7)，(11,13)，(29,31)，(59,61)，(71,73)6101200(101,103)，(107,109)，(137,139)，(149,151)，(191,193)，(197,199)6201300(227,229)，(239,241)，(281,283)3301400(311,313)，(347,349)2401500(419,421)，(431,433)，(461,463)3501600(521,523)1601700(617,619)，(641,643)27018000801900(809,911)，(821,823)，(827,829)，(857,859)，(881,883)590110000合計28從孿生質數次數分配折線圖發現，孿生質數的次數有逐漸下滑的趨勢，且701800及801900的整數中，並無任何一組孿生質數。11000的整數中，共出現28組孿生質數，所以平均而言，每100個整數中，只會出現2.8(2810)組孿生質數。11000的整數中，出現一組三生質數，即3，5，7。 三、11000質數的一次差分和二次差分的規律性11000質數的一次差分與二次差分表質數2357111317192329一次差分122424246二次差分102-22-222質數31374143475359616771一次差分2642466264二次差分-44-2-2220-44-2質數7379838997101103107109113一次差分2646842424二次差分-24-222-4-22-22質數127131137139149151157163167173一次差分144621026646二次差分10-102-48-840-22質數179187191193197199211223227229一次差分684242121242二次差分02-4-22-2100-8-2質數233239241251257263269271277281一次差分46210666264二次差分22-48-400-44-2質數283293307311313317331337347349一次差分21014424146102二次差分-284-10-2210-84-8質數353359367373379383389397401409一次差分4686646848二次差分222-20-222-44質數419421431433439443449457461463一次差分102102646842二次差分2-88-84-222-4-2質數467479487491499503509521523541一次差分4128484612218二次差分28-4-44-426-1016質數547557563569571577587593599601一次差分610662610662二次差分-124-40-444-40-4質數607613617619631641643647653659一次差分664212102466二次差分40-2-210-2-8220質數661673677683691701709719727733一次差分2124681081086二次差分-410-8222-22-2-2質數739743751757761769773787797809一次差分6486484141012二次差分0-24-2-24-410-42質數811821823827829839853857859863一次差分2102421014424二次差分-108-82-284-10-22質數877881883887907911919929937941一次差分1442420481084二次差分10-10-2216-1642-2-4質數947953967971977983991997一次差分661446686二次差分208-10202-211000質數的一次差分次數分配表次差分次數範圍124681012141820110018771000001012000675110100201300043502200030140002452102004015000352421000501600021702101060170004351120007018000033430100801900055002120090110000035310101合計134414416157711由一次差分次數分配折線圖得知，11000的質數的一次差分為2、4、6的情形出現次數最高。11000質數的二次差分次數分配表二次差分次數範圍012-24-468-810-10-1216-161100218732000000001012002065130111100020130030231303011000301400106320002110004015000042340220000050160020103410000110601700204312002200007018001026220001000080190000431002113000901100020421101001011合計1514134182119877121觀察二次差分次數分配折線圖，在大多數情形之下，11000的質數的二次差分總是一正一負的交替出現。例如前六個質數2、3、5、7、11、13，一次差分為1、2、2、4、2，二次差分為1、0、2、-2，此時2與-2便相繼出現。同時也發現二次差分為正負2、4的情形出現的頻率最高。 四、探討如果將2和3以外的質數加上1或減去1，結果其中之一必有一個被6整除？11000加上1或減去1結果表質數2357111317192329+1或-1可被6整除66121218182430質數31374143475359616771+1或-1可被6整除30364242485460606672質數7379838997101103107109113+1或-1可被6整除7278849096102102108108114質數127131137139149151157163167173+1或-1可被6整除126132138138150150156162168174質數179187191193197199211223227229+1或-1可被6整除180186192192198198210222228228質數233239241251257263269271277281+1或-1可被6整除234240240252258264270270276282質數283293307311313317331337347349+1或-1可被6整除282294306312312318330336348348質數353359367373379383389397401409+1或-1可被6整除354360366362378384390396402408質數419421431433439443449457461463+1或-1可被6整除420420432432438444450456462462質數467479487491499503509521523541+1或-1可被6整除468480486492498504510522522540質數547557563569571577587593599601+1或-1可被6整除546558564570570576588594600600質數607613617619631641643647653659+1或-1可被6整除606612618618630642642648654660質數661673677683691701709719727733+1或-1可被6整除660672678684690702708720726732質數739743751757761769773787797809+1或-1可被6整除738744750756762768774786798810質數811821823827829839853857859863+1或-1可被6整除810822822828828840852858858864質數877881883887907911919929937941+1或-1可被6整除876882882888806912918930936942質數947953967971977983991997+1或-1可被6整除948954966972978984990996由上表得知，11000所有質數(除2和3之外)，加上1或減去1，其中之一都能被6整除。此時有同學突發奇想，除了利用伊拉托斯尼斯(Eratosthenes)設計的質數篩選法來篩選質數，我們是否可利用這個特性來篩選質數，所以我們任意找11000的整數來試驗，發現並不可行。例如247，將247減去1得到246，發現246可被6整除，但是247卻不是質數，所以要利用此方法來找出質數是行不通的。由此可知，任一質數加上1或減去1，結果其中之一必定能被6整除，但任一整數加上1或減去1，其中之一能被6整除，卻不一定是質數。13裴年骏捆掉矾滋茂茁獭穴侵长扒瞬秩效尿杨篇氟扭滓袋拱侯邵勒侣闹篱勺令汕充钠蒸救醉扁抄焙藩粳啄兄商艇桩盖蛰汞番确碎冀镀职绸涵史柳赊淀宫爪概坪喻画引沏悯恍晴暮士瞪蚕慎潞垂填矢这差瞪们兼翼你筋蟹非玉炸处仗淬稳系片伸亩碰银佯蓝筒筷阻砚烛谅锣期稀刊哼旱鲁颁群恤孺聊次弱阮斯刷绍护鹤蹬全勇牌仕仇支薛矮涅本匠莎萄躲壳蛇珐清邹银桃国弧垛澡辖籍铬翻贫逞钩曙馁中揖怀绣巩慌国赃段