[哲学]cly理论力学-第三章.ppt

2、平面任意力系的平衡方程,二矩式：,三矩式：,一矩式：,合力（合力=主矢）,1、 平面任意力系的合成结果,平衡,合力偶（合力偶矩=主矩）,FR 0， MO 0，或 FR 0， MO 0,FR =0， MO 0,FR =0， MO =0,3、解题步骤,(1) 选取研究对象；,(2) 受力分析（画受力图）,(3) 选坐标、取矩心,(4) 列平衡方程求解未知量。,一、 4.4 c 固定端约束是3个力； 二、 缺受力图 三、 4-11,解：稳定力矩Mw 倾覆力矩Mq 倾覆系数Kq,解得：b=0.9，根据条件知,（1） 侧墙不绕A点倾倒时,（2） 当B处不受张力，基底作用力为三角形载荷时，大小为 ，作用点距A点b/3,解得：b=1.32,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,空间汇交力系,空间任意力系,平面一般力系,主 要 内 容,61 空间汇交力系 62 力对点的矩和力对轴的矩 63 空间力偶 64 空间任意力系向一点的简化主矢与主矩 65 空间任意力系的平衡方程 66 重心 习题课,一、力在空间的表示,F=|F |,作用点：,方向：,由、g 三个方向角确定, 或由方位角与仰角 来确定。,力矢的起点或终点。,F,大小：,二、力在坐标轴上的投影计算,1、直接投影法(一次投影法),Fx=Fcos, Fy=Fcos, Fz=Fcos,2、 二次投影法(间接投影法),Fx=Fcoscos , Fy=Fcossin , Fz=Fsin,方向余弦,6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影,3、空间力沿坐标轴的分解表达式,说明:,(1) 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。,(2) 已知力在坐标轴上的投影，则大小及方向余弦为：,F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk,例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸如图所示，求各力在坐标轴上的投影。,解：具体过程见教材。,Fi=Fxii+Fyij+Fzik , (i=1,2,，n),将各力用分解表达式表示为：,有：,FR=F =Fxi+Fyj+Fzk,FRx=Fx , FRy=Fy , FRz=Fz,(1) 合力投影定理,(2) 合力的解析求法,6-2 空间汇交力系的合成与平衡,几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。,平衡充要条件是：力系的合力为零，,四、空间汇交力系平衡的充要条件,解析形式表示的平衡充要条件为：,FR=F =0,Fx =0, Fy =0, Fz =0,即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。,说明:,(3) 当空间汇交力系平衡时，它在任何平面上的投影力系也必然平衡，且构成一平面汇交力系，故可以把空间问题转化成平面问题来处理。,(2) 解题步骤：首先弄清力系中各力的空间位置关系，适当选取投影轴(坐标系)，以简化计算过程。理论上来讲，除要求三个投影轴不共面，且两两之间不相互平行外，投影轴可以任意选取。,(1) 利用空间汇交力系的平衡方程可以求解三个未知量。,解：取A点为研究对象，受力分析。 取坐标系Axyz，列平衡方程，有,由几何关系，,解得，,W,FD,FC,FB,例6-2 重物W用杆AB和同一水平面的绳索AC与AD支承。已知W1000N，CEED12cm，EA24cm，45，不计杆重；求绳索的拉力和杆的内力。,6-4 力对点之矩与力对轴之矩,一、空间力对点之矩的矢量表示,力矩的大小、,力的作用线与矩心所组成的平面方位,力矩的转向、,力对点的矩,除了力矩的大小、转向外,还应考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。 空间力矩的作用效应取决于以下三要素：,在平面问题中，力对点的矩是代数量； 而在空间问题中，力对点的矩是矢量。,MO(F)=Fd=2SOAB,1、力矩矢的表示方法,(1) 力矩矢大小,(2) 力矩矢的方位：,与该力和矩心组成的平面的法线方位相同。,(3) 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手法则。,2、力矩矢的矢积表达式,如果r 表示A点的矢径，则,MO(F)=rF, |r F|=r F sin(r ,F )=Fd,证明：, MO(F)=rF,即力对于任一点之矩等于矩心至力的作用线的矢径与该力的矢积。,注意：当矩心位置改变时，力矩矢的大小和方向也随之改变，因此，力矩矢为定位矢量,二、力对轴之矩, 实例,是代数量，正负规定 + ,2、定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。,Mz(F)= MO(Fxy)=Fxyd=2SOA B,单位为 Nm,性质：,(1) 当力的作用线与轴平行或相交时，力对于该轴之矩为零。,(2) 当力沿其作用线平移时， 它对于轴之矩不变。,(3) 合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代 数和，此即力对轴之矩的合力矩定理。,三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系,|MO(F)|=2SOAB (a),力F对O点的矩矢大小为：,|Mz(F)|=2SOAB (b),力F对于通过O点的z轴的矩矢大小为：,根据几何关系：,SOAB |cos|=SOAB (c),其中，为两个三角形平面之间的夹角，亦即矢量 MO(F) 与 z 轴之间的夹角。,综合(a)-(c)式，并考虑正负号关系，则有,|MO(F)| cos = Mz(F)= MO(F) z,力对点之矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于力对于该轴之矩。,1、力矩关系定理,2、力对坐标轴之矩的解析表达式,由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk, MO(F)=rF,式中，i、j、k的系数就是力矩矢MO(F)在各坐标轴上的投影，由力矩关系定理知，这些系数又是力F对于各坐标轴之矩，即,例3-4 如图所示，传动轴上圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，齿轮压力角为，螺旋角为，节圆半径为r，求该力对于各坐标轴之矩。,解： 将Fn二次分解为沿坐标轴的三个分力，即圆周力Ft，轴向力Fa及径向力Fr ，则有，,Ft =Fn cos cos Fa =Fn cos sin Fr =Fn sin ,应用合力矩定理，则力Fn对于各x轴之矩为：,Mx(Fn)= Mx(Ft)+ Mx(Fa)+ Mx(Fr) =0+Fr-Frl/2 =Fn (r cos sin - l/2 sin ),力Fn对于各y轴、 z轴之矩，请大家课下完成。,6-3 空间力偶,一、空间力偶的等效定理力偶矩矢的概念,F,A,B,A1,B1,F,作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则二者等效。,力偶三要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位,空间力偶三要素可用一矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。,二、力偶矩矢,1、定义,2、表示方法,(1) 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；,(2) 矢量的方位：与力偶作用面的法线方向相同；,(3) 矢量的指向：与转向的关系服从右手法则。或从力偶矩矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。,说明： (1) 空间力偶矩矢为一个自由矢量,(4) 通常用符号M表示,(2) 凡矩矢相等的力偶均为等效力偶，此即空间力偶的等效定理。,力偶矩矢,三、空间力偶系的合成与平衡,空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。 即，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。,1、合成,M=M1+M2+Mn=M,空间力偶系的平衡条件是：,2、平衡,M = 0,Mx = 0, My = 0, Mz = 0,投影形式为：,即：力偶系中各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和等于零。,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,6-5 空间任意力系向已知点简化主矢与主矩,设作用在刚体上有空间任意力系F1、 F2、Fn。,试将力系向O点简化,一、简化方法,1、力线平移定理,O。,A,O。,。,作用于刚体上的任一力，可平移至刚体的任意指定点，欲不改变该力对刚体的作用效应，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩矢等于该力对于指定点的矩矢。,2、 力系简化,F1= F1， F2= F2，Fn= Fn,M1= MO(F1)， M2= MO(F2)， Mn= MO(Fn),FRO= F = F=FR,主矢,M= M = MO(F) =MO,主矩,可见，空间任意力系向任一点的简化的结果，一般可得到一个力和一个力偶，该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该项力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。,主矢大小及方向:,MOx= MO(F)x= Mx (F) MOy= MO(F)y= My (F) MOz= MO(F)z= Mz(F),主矩大小及方向:,主矢与简化中心的位置无关，而主矩与简化中心的位置有关。,1、若FR=0， MO =0 , 则力系平衡(下节专门讨论)。,二、空间任意力系简化结果的分析,2、若FR=0， MO 0 ,则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若FR 0， MO =0 ,则力系可合成一个合力，其作用线过简化中心，力矢等于原力系的主矢FR 。,4、若FR 0， MO 0 ,且MO FR,此时，力系可进一步合成为一个合力，其力矢FR等于原力系的主矢FR，位于包含FRO作并垂直于M的平面内，合力作用线与简化中心之间的距离为d=MO /FR。,5、若FR 0， MO 0 ,且MO FR，此时力系无法做进一步简化。这样的一个力及一个位于与之垂直的平面内的力偶构成的组合称为力螺旋。其中力FRO的作用线称为力螺旋的中心轴，矢量FRO与M称为力螺旋的要素。若两者方向一致，则称为右手力螺旋，相反则称为左手力螺旋，力螺旋也是最简单的力系之一。,6、若FR 0， MO 0 ,且MO 与FR成任意角度，这是力系简化所得的最一般情形，这时可将力偶矩M沿着与力FRO此时平行及垂直的两个方向分解为M1与M2，显然， FRO与M2可合成为作用线通过O的一个力FRO ，其力矢等于力系的主矢FR，其作用线与简化中心之间的距离为d=M2/FR。再将M1平移至O，则得到如右下图所示的结果，即力系可以最终简化为一个力螺旋。,一、空间一般力系平衡的充要条件,6-5 空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩均为零。,即，,因为，,所以，,由此可见，空间任意力系平衡的充要条件是：力系中所有力在任意相互垂直的三个坐标轴上的投影的代数和等于零，且力系对于这三个坐标轴之矩的代数和分别为零。,空间任意力系的平衡方程,(1) 方程是三矩式形式的平衡方程，另外还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件(目的是保证各平衡方程之间相互独立)。平衡方程中，最多只能列六个独立的方程，求解六个未知量。,说明：,(2) 当空间任意力系平衡时，它在任何平面上的投影力系也必然平衡，且构成一平面任意力系，故可以把空间问题转化成平面问题来处理。,(3) 从基本形式的空间任意力系平衡条件可以导出其它特殊力系的平衡条件：,空间汇交力系：,空间平行力系：,平面任意力系：,(4) 在求解空间平衡问题时，应注意常见空间约束及其约束力的表示方法，并注意弄清力与坐标轴的空间位置关系。,二、空间约束,观察物体在空间的六种可能的运动中(沿轴移动和绕轴转动)，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。,1、球形铰链,2、向心轴承,3、向心止推轴承(角接触轴承),推力轴承,4、带有销子的夹板,5、空间固定端,例3-5 某起重机机身重W1=100kN,重心通过E点；轮子A、B、C与地面之间光滑接触，成一等边三角形， E点即为三角形的重心；起重臂FHD可绕铅垂轴HD转动。已知a=5m,l=3.5m,载重W=20kN，且通过起重臂的铅垂面与起重机的中心铅垂面成角=30,求静止时地面对三个轮子的约束力；又当=0时最大载重Wmax为多少？,H(D),A,C,B,x,y,a,l,a,z,F,W,C,E,B,D,A,H,F,W1,取起重机为研究对象，作用于其上的力有重力W1与W和地面对轮子的约束反力FA、FB 、FC，为一空间平行力系的平衡问题。选取坐标系Cxyz如图所示，列空间平行力系的平衡方程：,解：,解之，,当=0时，由式(2)得,欲使起重机满载时不向右倾倒，则必须保证FA0，由上式得到保证稳定的W值为,因此最大载重为,例3-6 如图所示，传动轴AB上装有齿轮，齿轮的节圆直径d=4.8cm,压力角=20,齿轮与轴承A及B相距a=9cm, b=21cm。已知轴的A端由电机带动,作用有力偶M=70kNm,转向如图。求齿轮所受的圆周力Ft的及轴承A、B的反力。,取传动轴为研究对象,所受外力有力偶M、齿轮的圆周力Ft与径向力Fr和轴承A、B处的反力FAz 、 FAy、FBx 、 FBz。由于轴作匀速转动，故处于平衡状态。为计算方便，可将各力向三个坐标平面进行投影，得到相应的三个平面力系，然后用平面力系知识求解。,解:,A,B,C,a,b,A,解,解之，,由右视图(右图)，列平衡方程,因而有，,由俯视图(右下图)，列平衡方程,My(F)=0 , Ft d/2-M=0,Ft =2917 N,Mz(F)=0 , -FBx (a+b)+ Fra=0,Fx=0 , FAx +FBx - Fr=0,解之，,FBx =318.6 N,FAx =743.4 N,再由主视图(右下图)，列平衡方程,Mx(F)=0 , FBz (a+b)-Fta=0,Fz=0 , FAz +FBz - Ft=0,解之，,FBz =875 N, FAz =2042 N,A,例3-7 传动轴AB上装有斜齿轮C和带轮D，斜齿轮的节圆半径r=60mm，压力角=20，螺旋角=15；带轮的半径R=100mm，胶带拉力F1=2F2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平成角=30；两轮各与向心轴承A及向心推力轴承B相距a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴的重量。求斜齿轮所受的圆周力Ft和轴承A、B的约束力。,解,取传动轴边同斜齿轮和带轮为研究对象，并建立如图所示的坐标系Axyz，受力情况如右图所示，为一空间任意力系的平衡问题。列平衡方程：,Mx(F)=0, FBz(a+c)-Far-Fra+ F2sin (a+b+c)=0 (4),Fx=0 , FAx +FBx + Ft- F1- F2cos=0 (1),Fy=0 , FBy +Fa=0 (2),Fz=0 , FAz +FBz +Fr+F2sin=0 (3),Mz(F)=0 , -FBx (a+c)-Fta+F1 (a+b+c) + F2cos (a+b+c)= 0 (6),My(F)=0 , Ftr-F1R+F2R =0 (5),由式(5)可以求得斜齿轮的圆周力为：,Ft=1083 N,按照斜齿轮圆周力与径向力和轴向力之间的关系，可得,Fa=290 N， Fr=408 N,然后根据其它几个方程，可以求得,FAx=-1395 N，FAz=305 N; FBx=2175 N，FBy=-290 N， FBz=-222 N,1、空间力在直角坐标轴上的投影 直接投影法、二次投影法,2、空间情形下，力偶矩是自由矢量，而力对点之矩为定位矢量,小 结,3、力对轴之矩与力对点之矩之间的关系力矩关系定理,4、空间力系的合成与平衡问题,5、重心位置的确定方法 组合法、实验法,一、概念及内容, 空间力偶及空间力对点之矩是矢量，, 空 间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。, 空间力系合力投影定理：, 空间力系的合力矩定理：, 空间力对点之矩与对轴之矩的关系( Z 轴过O点）,空间力系习题课,二、基本方程 空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,四矩式、 五矩式 和六矩式的附加条件 均为使方程式独立。,四 矩 式,空 间xoy面的力系, 空间力系中有时也包括摩擦问题。, 空间力系的几个问题, x , y, z (三个矩轴和三个投影轴可以不重合)可以是任选的六个轴。, 力矩方程一般不少于三个（MO是矢量）, 空间一般力系有六个独立平衡方程（空间物体六个 自由度） 可解六个未知量。,三、解题步骤、技巧与注意问题：, 解题步骤,(与平面问题相同),选研究对象；,画受力图；,选取坐标轴；,列平衡方程、求解。, 解题技巧, 用矩轴代替投影轴，常常方便解题；, 投影轴尽量选取得与未知力，力矩轴一般要与未知 力平行或相交；, 一般采取从整体局部的研究方法；, 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。, 需注意的问题, 力偶在投影方程中不出现；, 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量；, 求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、形心、质心为同一点。,例1 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P 对三个坐标轴的矩,解： 方法一 ：应用合力矩定理求解, 方法二 ：应用力对轴的矩的解析式求解,例3 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?,此题课堂练习：, 力偶不出现在投影式中；, 力偶在力矩方程中出现， 是把力偶当成矢量后，再在坐 标轴上投影；, 力争一个方程求解一个 未知量；, 了解空间支座反力画法。,解：,例4 已知：AB杆, AD,CB为绳索, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC 铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。,解：思路：要合理选取投影轴和矩轴，使一个方程解出一个未知量。,例4 一等边三角形板边长为a , 用六根杆支承成水平位置如图所示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。,解:取等边三角形板为研究对象画受力图。,S1,S2,S3,S4,S5,S6,S1,S2,S3,S4,S5,S6,例5 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，A、H、G三点位于 xy平面内，G、H两点的位置对称于y轴，臂杆的D端吊悬的重物重P=20kN；求两绳的拉力和支座A的约束反力。,解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。,列平衡方程：,联立求解得：,例6 均质长方形板ABCD重G=200N，用球形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。,解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。,解之得：,