略论数学思想好运用、拓展、探究及能力培养.doc

上海市教科研规划项目南汇区第一中学在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究关注教师知识储备辅导学习材料（5）略论初中数学思想的运用、拓展、探究及能力培养南汇区第一中学 乔一鹏【本文提要】本文论述了初中数学思想的运用、拓展、探究及能力培养的七个同步进行，有一定的可操作性。一、 初中数学知识点与涉及的基本数学思想；二、 数学思想的介绍与知识点覆盖同步进行；三、 数学思想的运用与阶段复习同步进行；四、 数学思想的拓展与总复习同步进行；五、 数学思想的探究与能力培养同步进行；六、 数学思想的培养与生活实践同步进行；七、 数学思想的外延与动手操作实验同步进行；八、 数学思想的发展与素质培养同步进行。【本文关键词】运用介绍数学思想数学知识点外延培养探究拓展素质培养发展略论初中数学思想的运用、拓展、探究及能力培养南汇区第一中学 乔一鹏 上海市二期课改已明确指出：要开发学生的潜能、发展多元智能，并着力培养学生的创新精神和实践能力，使学生会学习。就初中数学教学而言，如何让学生在重视数学知识点复盖、运用的基础上，让学生学会运用数学思想去分析、解答数学问题，乃至用数学思想去拓展、探究数学问题是值得探讨的课题。当然加强对学生进行数学思想的运用、拓展、探究能力的培养正是实施素质教育重要的一环。以下就初中数学中如何加强数学思想的运用、拓展、探究及能力培养作一粗浅论述。一、初中数学知识点与涉及的基本数学思想上海市九年制义务教育课本涉及初中数学知识点有148个，列表如下：年级知识点学期初一初二初三代数几何代数几何代数几何第一学期197186711第二学期27109111013小计634441合计148初中涉及基本数学思想一般可列举为：初一初二初三1字母表示数的思想字母表示数的思想字母表示数的思想2方程、不等式的思想方程、不等式、函数的思想方程、不等式、函数的思想3对应的思想对应的思想对应的思想4化归思想化归思想化归思想5建构数学模型的思想建构数学模型的思想建构数学模型的思想6分类讨论的思想分类讨论的思想分类讨论的思想7猜想探索的思想猜想探索的思想猜想探索的思想8数形结合的思想数形结合的思想数形结合的思想9类比推理的思想类比推理的思想类比推理的思想10/运动变化的思想运动变化的思想11/统计分析的思想由于数学思想具有数学概念、法则、公式、公理、定理等知识综合运用的共同本质，可以转化和提升；数学思想也反映了各个数学知识点之间的内在联系，它比一般的数学概念和方法具有更高的概括性和抽象性，因而更本质、更深刻。只有在学生具备数学的基本知识、基本方法、基本技能基础上，才能把数学思想运用到妙处。二、数学思想的介绍与知识点复盖、运用同步进行从初中数学教学涉及知识而言，每星期一般在1-2个知识点，而涉及数学思想的运用可实施每二星期介绍一种数学思想，学生一般会有耳目一新、朗朗上口的感觉，教学实践证明学生在掌握数学知识点基础上，教师有目的、有步骤、循序渐进介绍数学思想的运用，让学生逐步感受运用数学思想解题的妙处，对培养学生的数学解题能力是有帮助的。例2.1已知：x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，求a、b的值。分析与略解：基本知识点：一元一次最简方程ax=b中当a=0且b=0时方程有无数多个解为此引导学生联想建构ax=b的数学模式通过整理、化归即可得(3a+2b-8)x=2a+3b-7其思维过程是：写出结果计算建立数学模式运用化归思想理解题意寻找对策 显然，这里的“建构数模”与“化归”思想对于初一学生是容易接受的。三、数学思想的运用与阶段复习同步进行数学阶段复习一般在每章节结束后进行，以初一第一学期二元一次方程组阶段复习为例，此时初一学生对代入、加减消元的基本方法已较熟悉，引进字母表示数、方程、化归思想去领悟、解答生活中较复杂的数学问题就如同水到渠成。例3.1研究人员将甲、乙两种原料制成A、B、C三种绿色食品。用甲种原料的和乙种原料的做成A种食品；用甲种原料的和乙种原料的做成B种食品；把余下的原料做成C种食品重30公斤。已知：A种食品比B种食品的重量重10%。求甲种原料的重量。分析与略解：此题看似很复杂，但运用字母表示数、方程、化归的数学思想可：设甲种原料重公斤，乙种原料重公斤则故甲种原料重48公斤。理解题意寻找对策运用字母表示数方程、化归思想计算写出答案其数学思维过程是：四、数学思想的拓展与总复习同步进行在学生了解、会运用数学思想的基础上，引导学生自己探索、研究数学思想的拓展与奥秘，学生会感受到“有力可用”、“有事可做”的感觉，更会领悟到数学思想可举一反三、融会贯通的作用，从而促使学生改变自己被动学习的现状，提高探索、研究数学问题的兴趣。我们曾对一个有48人的初一数学探究班进行一次寒假数学思想征题的活动。设计表格如下：班级投稿人姓名所征用数学题涉及初中数学思想（请用“”表示）1字母表示数5建构数学模型9类比推理2方程、不等式6分类讨论103对应7猜想探索114化归8数形结合12习题及解答假期结束后，统计征题的结果如表：人数 情况分类48人参加征题人数48人参加征题百分率100%征题总数108题平均每人采编题数2.25题有创新思想人数6人占总人数百分率12.5%有自己独到见解人数9人占总人数百分率18.8%开学后学生学习方法有所改变，逐步变听讲型为思考型，其中数学思想的运用、拓展的作用不可低估。学生自己摘编的一道习题是：例4.1科学家从一升酒精中倒出升，再加上等量的水搅匀后，再倒出升混合液，并加入等量的水，再倒出升混合液，这样倒出、加入共8次，问此时所得液体中，还有多少升酒精。分析与略解：猜想探索：第一次还有酒精： ，第二次还有酒精： ，第三次还有酒精： ，依次得到第8次还有酒精 。其猜想探索的思维过程是：理解题意寻找对策探索规律猜想结论量化计算写出结论此题是一道有一定能力要求的数学竞赛题，初一学生能自己寻找，并改动数据，运用探索猜想的数学思想去正确解答正是学生自我提升，培养探索能力，寻求主动学习途径的开始。五、数学思想的探究与能力培养同步进行随着数学知识的扩充和教师的引导，学生对数学思想的理解、运用、拓展能力也会逐步提高，随之而来的必然是学生对新的数学问题，特别是生活中数学问题的探索、研究兴趣的与日俱增，以下是一位学生在阅读数学杂志后自己改编的一道习题。例5.1小明早晨7时从上海野生动物园沿沪南公路、远东大道、迎宾大道出发，中午12时到达浦东国际机场；第二天他又于早晨7时从浦东国际机场按原路返回，恰好在中午12时到达上海野生动物园。如果小明行走的速度可以随意变化，那么途中是否存在这样的点，使小明往返途中在手表面的同一时刻通过此点？并说明理由。分析与略解鉴于满足题设条件的点是隐暗的，直接说明它的存在或不存在都是不容易的。如若构建新的数学模型，问题的说明就简单多了。只要构想第二天与小明从机场返回动物园的同时，小刚从动物园按相同的线路前往机场，那么这样的点的存在是十分明显的。由于构建新的数学模型的数学思想学生基本掌握，学生碰到新的数学问题时，常会变换思考角度，构建新的数学模型，从而提示数学题中的特殊规律并运用数学思想去分析、解决新的数学问题。通过学生自我汇集、改编身边的数学习题，独立探索、研究，并提升、创新数学思想的条件也逐渐具备，学生的能力也随之得到了提高，其思维过程可描述为：发现问题运用数学思想探索、研究寻找对策找突破口会学习会提升自我六、数学思想培养与生活实践同步进行数学思想虽然抽象、概括、精炼，但数学思想来之于对数学习题的分析、综合。在对学生进行数学思想培养的过程中辅之以有一定生活气息的数学应用性习题，对强化数学思想的培养能起到催化作用。例6.1小芳从上海到重庆，逆水乘船共7昼夜，而从重庆到上海，顺水乘船共5昼夜，老师问小芳，现有一木排从重庆漂流到上海需几个昼夜。分析与略解这是一个生活中的思考题，看上去雾里看花，条件隐晦，无从下手。但运用字母表示数、方程、化归的数学思想去分析问题就不难显现。设船速x、水速y据方程思想 。从而知木排从重庆到上海需漂流35昼夜。生活中蕴含着大量的数学问题，如果能组织学生改变自己“仅是海棉，只会吸水”的学习习惯，能主动观察、收集、摘编生活中的数学问题，并灵活运用数学思想去化解，对培养学生学好数学的兴趣、提高学好数学的自信心能起到推波助澜的作用。其思维过程是：理解生活中的数学问题运用数学思想探索研究寻找对策突破口正确结论七、数学思想的外延与动手操作实验同步进行在动手操作实验探索中进一步延伸、探索数学思想的外延运用，能培养学生动手能力和数学思想的有机结合的综合能力，使学生进一步感受、领悟到数学思想的神奇所在。例7.1已知：C为定线段AB外的一个动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF、CBEG，又分别过D、E作AB所在直线的垂线段，垂足为D、E，试猜想：DD+EE是否是一个定值？如是，请写出DD+EE定值与图中哪条线段相等。分析与略解：DD+EE=AB此类习题的解题探究思维过程是：审题作图探索研究操作实验测量计算猜想证明写出正确结果显然猜想探索的数学思想是和实验性操作作图同步进行，通过实验性操作，计算，加深了数学猜想探索结论的判断，而结论又往往在特殊位置得到了证明。八、数学思想的发展与素质培养同步进行时代在前进，数学在发展。我们不一定追求全新的形式，但应开发新的数学思想去探索研究数学的发展，使数学与社会、生活广泛联系，从生活走向数学，从数学走向社会，特别在培养数学的创新思维、创造思想方面给学生更大的空间，给学生以展示聪明、才华、能力的平台，只有这样有着悠久历史的古老文明的数学才会展示出21世纪丰富多彩、充满魔力、趣味盎然的一门全新充满生机的科学。在这一方面教师编摘运用数学思想解综合题的范例，然后放手让学生利用自己的时间去根据自己的学习情况去汇编适合自己的数学思想题，无疑是给学生以综合练兵的平台，而组织讨论、探究又正是素质培养的有效手段。例8.1现欲将一条直线把等腰分割成两个等腰三角形，试就的各种形状，设计出各种不同的分割方案。（1）画出图形；（2）求出三个内角的度数。分析与略解此题运用直线运动变化、数形结合、分类讨论、字母表示数、方程等各种数学思想解答。解：方案1、过A作BC于D，使BD=AD=DC 又由题设AB=AC 方案2、在上截取BD=AB，设 方案3、过B作BD=BC=AD 于是 方案4、过C作CD=BC且AD=BD 设 此类综合题的思维过程是：理解题意正确作图运用数学思想寻找对策方法计算、推理、说明写出结论 数学思想是数学的精髓和灵魂，它们在解决数学问题中各自发挥着十分重要的导向作用，但同时必须清醒地注意到，从辩证观点来看，任何事物都是一分为二的，因此任何一种数学思想也不例外，都不是万能的。它们各有其独特的作用，也各有其局限性。例如解方程由因式分解法容易得若以数形结合的数学思想转化为函数图象，求函数图象在直角坐标系上的交点坐标，由于图象有近似解的特点，会错误得出，而原题是