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大题分层练(七)解析几何、函数与导数(C组)1.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)0).(1)由题意知f(1)=f(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+,解得a=.(2)f(x)=(x0).当a0时,因为x0,所以ax-10;在区间(2,+)上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+).当0a2,在区间(0,2)和上,f(x)0;在区间上,f(x)时,00;在区间上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是和(2,+),单调递减区间是.(3)由题意知,在(0,2上有f(x)maxg(x)max.由已知得g(x)max=0,由(2)可知,当a时,f(x)在(0,2上单调递增,故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2ln 2-1,故ln 2-1时,f(x)在上单调递增;在上单调递减,故f(x)max=f =-2-2ln a.由a可知ln aln ln =-1,所以2ln a-2,即-2ln a2,所以-2-2ln a0,所以f(x)maxln 2-1.2.如图,已知椭圆C:+y2=1(a1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心坐标为M(3,1),半径r=.由A(0,1),F(c,0)(c=)得直线AF:xc+y=1,即x+cy-c=0.由直线AF与圆M相切,得=.所以c=或c=-(舍去).所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由=0,知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k0),将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,因此P的坐标为,即
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