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工程流体力学,机械工程学院,主讲： 杨阳,2012年9月,第二章 流体静力学,无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。,本章学习要求:,掌握流体平衡的规律，静止时流体的应力特征，静力学基本方程，流体与它的边界之间的作用力，非惯性系中流体的相对平衡。,流体的静压强及特性 流体平衡微分方程 流体静力学基本方程 压强的单位及测量仪表 静止液体作用在壁面上的总压力 阿基米德原理及固体在液体中的沉浮问题 流体的相对平衡,第二章 流体静力学,第一节 流体静压强及其特性,一、流体静压强,面积DA的平均流体静压力,流体静压力（流体静压强）,静止流体单位面积上所受的作用力,第一节 流体静压强及其特性,二、静止流体中任一点应力的特性：,1. 静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静压强方向与作用面的内法线方向重合。,2. 作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。,px= py= pz= p,即有：,静止流体中，只存在法向压应力。,静止流体，速度处处为零，没有速度梯度，也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。且具有易流动性。,流体静压力与静止流体中点位置有关:,p= f(x,y,z),第一节 流体静压强及其特性,第二节 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程,在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：,y向受力,表面力 质量力,第二节 流体平衡微分方程,根据平衡条件，在y方向有 ，即,流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：,第二节 流体平衡微分方程,物理意义：,处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。,压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体积上的质量力的分量（X，Y，Z）。,第二节 流体平衡微分方程,二、流体平衡微分方程的积分, p = p (x, y, z),压强全微分,式各项依次乘以dx, dy, dz后相加得：,W势函数,第二节 流体平衡微分方程,帕斯卡原理的应用,第二节 流体平衡微分方程,三、帕斯卡原理,质量力（与p0无关）,表面力,如果静止液体边界处的压强p0变为p0Dp0 流体中任意点处的静压强变为,处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点处的压强变化值Dp0将等值地传递到流体其它质点处。,第二节 流体平衡微分方程,四、等压面,等压面（equipressure surface）：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。,只有重力作用下的等压面应满足的条件：,1.静止；,2.连通；,3.连通的介质为同一均质流体；,4.质量力仅有重力；,5.同一水平面。,提问:图中所示哪个断面为等压面?,质量力与等压面正交,第三节 流体静力学的基本方程,一、重力作用下静止液体的压强分布规律,重力作用下静止流体质量力：,代入流体平衡微分方程,在自由液面上有：,z=H 时, p=p0,代入上式有:,第三节 流体静力学的基本方程,1.液体静力学基本方程：,或 当 p0 = 0 时,结论：,1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。,第三节 流体静力学的基本方程,2.重力作用下静水压强的分布规律,由式(2-9),重力作用下的静水力学基本方程又可写为：,或,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第三节 流体静力学的基本方程,a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用 表示, 。,二、压强的表示方法 (绝对压强、相对压强和真空度）,b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。用p表示， , p可“”可“ ”，也可为“0”。,c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对 压强。,真空值pv,第三节 流体静力学的基本方程,1.几何意义,三、流体静力学基本方程的意义,测压管高度,位置水头,测压管水头,静压高度,位置水头,静压水头,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第三节 流体静力学的基本方程,第三节 流体静力学的基本方程,物理意义：,1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。,2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）必然是等压面（p1 = p2 =常数）。,表明：液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为常数，这里显示了机械能守恒的意义。,位置水头z ：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。,测压管高度 p/g：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。,测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。,第四节 压强单位和测压计,a. 应力单位: 这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2Pa，MPa 106Pa, kN/ m2 kPa，bar 105Pa 0.1MPa 10N/ cm2,b. 大气压,标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa,c. 液柱高,水柱高mH20：1atm相当于,1at相当于,汞柱高mmHg：1 atm相当于,1at相当于,一. 压强的计量单位,kgf/ cm2 0.981bar,第四节 压强单位和测压计,二. 测压计,1) 测压管,测压管（pizometric tube）： 是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接 和大气相通的直管。,适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。,1 液体压力计,如何用测压管测真空度？,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第四节 压强单位和测压计,2) 微压计,被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法：,（1）将测压管倾斜放置，此时标尺读数为l，而压强水头为垂直高度h，则,（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度 ，则有较大的h。,第四节 压强单位和测压计,2 水银测压计与U形测压计,适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。,BB等压面：,第四节 压强单位和测压计,三、压差计,压差计,空气压差计：用于测中、低压差,油压差计：用于测很小的压差,水银压差计：用于测高压差,适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。,压差计计算,若A、 B中流体均为水，2为水银，,则,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第四节 压强单位和测压计,四、金属测压计（压力表）,适用范围：用于测定较大压强。是自来水厂及管路系统最常用的 测压仪表。,五、真空计（真空表）,适用范围：用于测量真空。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,一、 平面上的流体静压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,（一）解析法,MN为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成角，面积为A，其形心C的坐标为xc，yc，形心C在水面下的深度为hc。,1. 作用力的大小，微小面积dA的作用力：,静矩：,结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压面面积A与其形心点的静水压强pc之积。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,2. 总压力作用点（压心）,合力矩定理（对Ox轴求矩）：,面积惯性矩：,式中：Io面积A 绕Ox 轴的惯性矩。,Ic面积A 绕其与Ox 轴平行的形心轴的惯性矩。,结论：1）当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角无关；,2）压心的位置与受压面倾角无关，并且压心总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,（二）图解法,适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。,原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。,例题：用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,解：作出矩形闸门上的压强分布图：底为受压面面积，高度是各点的压强。,总压力为压强分布图的体积：,作用线通过压强分布图的重心：,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,二、曲面上的流体静压力,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,二、曲面上的流体静压力,1）水平分力Fx,结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,2）垂直分力Fz,式中：Vp 压力体体积,结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Fz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,3）总压力,作用在曲面上的静水总压力,与水平面的夹角：,作用线：必通过Fx ，Fz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，F作用线必通过圆心。,F的作用点作用在F作用线与曲面的交点。,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,曲面上的静水总压力的计算步骤,第五节 静止液体作用在壁面上的总压力,曲面上的静水总压力的计算步骤,计算水平分力 正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力； 计算铅垂分力 正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量； 总压力的合成 总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,一、阿基米德定律、浮力、浸没物体的三态,1 阿基米德定律,物体在静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。,潜体所排开液体的重量（方向朝上）,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,浮力,浮力：即在阿基米德定律中，物体所受到的具有把物体推向液体表面倾向的力的合力，即为浮力。浮力方向总是铅垂向上。,浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。,浸没物体的三态,浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力G和浮力FZ作用，所以物体有下列三态：,（1）沉体：当GFZ，下沉到底的物体。,（2）潜体：当G=FZ，潜没于液体中任意位置而保持平衡 即悬浮的物体。,（3）浮体：当GFZ，上浮至水面呈漂浮状态的物体。,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,问题：在水银面上加水，使钢制立方体上部浸入水中，立方体的中心点相对于水银液面（下降，升高，不变）。,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,二、潜体的平衡与稳定性,潜体的平衡条件是：重力G与浮力FZ大小相等，方向相反，作用在同一 铅垂直线上。,潜体平衡的稳定性：是指遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复它原来平衡状态的能力。,潜体的稳定平衡条件：重力G与浮力FZ大小相等，且重心C在浮心D之下。,潜体平衡的三种情况,随遇平衡：重心C与浮心D重合,稳定平衡：重心C在浮心D之下,不稳定平衡：重心C在浮心D之上,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,三、浮体的平衡与稳定性,浮体的平衡条件：重力G与浮力Fz大小相等，方向相反，作用在同 一铅垂直线上。,浮体的平衡稳定性,对于浮体，重心C高于浮心D时，它的平衡也有稳定的可能，这是因为浮体倾斜后，浸没在水中的那部分形状改变了，浮心位置也随之移动。,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,定倾中心（metacenter）：当浮体倾斜后，通过D的浮力Fz的作用线与 物体的原中心线（浮轴）HH的交点M点。,定倾半径：定倾中心M到原浮心D的距离，以r表示。,偏心距：重心C与原浮心D的距离，以e表示。,定倾高度：定倾中心M与重心C的距离。,浮体的稳定条件：,稳定平衡：即re，即重心C在定倾中心M之下。,不稳定平衡： 即re，即重心C在定倾中心M之上。,随遇平衡: 即r=e，即重心C与定倾中心M重合。,第六节 阿基米德定律及浮潜体稳定问题,定倾半径r的计算,对于小倾角（ 15）的浮体：,R = I0 / V,式中： I0浮体浮面对其中心纵轴O-O的惯性矩；,V浮体排开液体的体积。,第七节 液体的相对平衡,若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。,两类典型的非惯性系：,(1)直线等加速运动的坐标系。 (2)等角速度旋转的坐标系。,研究其间静止流体的压力分布规律。,等加速水平运动容器中的液体,.直线等加速运动坐标系：,基本关系式仍为,注意 f 应包含单位质量的惯性力,在重力场中，若动坐标系加速度为a,第七节 液体的相对平衡,若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。,两类典型的非惯性系：,(1)直线等加速运动的坐标系。 (2)等角速度旋转的坐标系。,研究其间静止流体的压力分布规律。,.直线等加速运动坐标系：,。,第七节 液体的相对平衡,得：,结论：压力p不仅随Z变化，还随x变化。,第七节 液体的相对平衡,将单位质量力在坐标轴上的分力代入等压面微分方程： 得：,对上式进行积分得：,等压面方程,等压面不是水平面，而是一簇平行的平面。,等压面与x轴方向斜角大小为：,第七节 液体的相对平衡,若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。,两类典型的非惯性系：,(1)直线等加速运动的坐标系。 (2)等角速度旋转的坐标系。,研究其间静止流体的压力分布规律。,.直线等加速运动坐标系：,。,第七节 液体的相对平衡,若坐标系本身作变速运动，则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。,两类典型的非惯性系：,(1)直线等加速运动的坐标系。 (2)等角速度旋转的坐标系。,研究其间静止流体的压力分布规律。,.直线等加速运动坐标系：,。