ln2估值方法汇总.doc

ln2估值方法汇总（2014，全国新课标II理数）已知.（1） 讨论的单调性。（2） 设，若有，求的最大值。（3） 已知，估算的近似值（精确到0.001）。本题的（1），（2）两问不难回答，且可以得到在上单增，的结论。第（3）问是此卷的压轴题，难度相当大，先给出参考答案。解法一：在中令，得，即，化简并移项得，这便估得了的下界。注意到若，则时有，而，故此时若，则.取,令，则，故，化简并移项得，这便估得了的上界。至此，我们证明了，由四舍五入的原则，的近似值为.该解法对下界的估计比较容易想到，而对上界的估计较难理解。事实上，参考答案在第（2）问便已为第（3）问的上界估计做了准备，并采用了相应的方法，如果考生在较为简单的第（2）问中采用其他方法，便很难估出上界。此外，上界估计中的不是凭空构造而成，而是由解出的。这个解法较为复杂，导致本应较为简单的全国卷II因此题难度达到了较高的水平，考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下，我们试图寻找其他解法。注意到，故，这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。解法二：，由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。由在上单增知下凸，故.取直线，其中，将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形，这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积，即的值。用表示第个小曲边梯形的面积，则.至此，我们便求出了解法一中较为棘手的上界（这里只计算了20项，看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦），接下来可以参考解法一的下界求法，也可以用求得，但这里的放缩过宽，分割成20份达不到题目要求的精度，需分割为几百份（经计算可知300份仍不能满足精度，而500份可以），不适合在考场上使用。考虑到时泰勒展开式收敛，我们尝试令以求.解法三：.此解法堪称本题形式最为简单的解法。理论上讲，由于，该方法迟早能够求出符合本题要求的近似值。但是，为了使求出的答案令人信服，我们必须求几千项分母各不相同的数之和，这在人工运算中几乎不可能完成。出现以上状况的原因是交错级数收敛太慢。确实存在一些收敛较快的自然对数展开式，但限于目前水平，本人亦不了解，对高考考生而言则更无了解必要。事实上，解法三如果不是将后面的项舍去，而是将后面的项进行放缩，则可大大减少计算的项数。不过，尽管这样，仍然要同解法二一样计算十几个分母不同的分数之和。但注意到，将原式与此式作差可得，令得，这个级数收敛速度显然比原级数快得多。经过简单分析即知这个级数虽然递增，但几项之后便非常小，可以通过放缩舍去：，.此即方法四，这相比前一个方法简单不少，比较适合知道泰勒级数的考生在考场上使用（前提是该地区阅卷的评分标准给分）。后记：本人在2014年就看过这道题，对其简洁的表述以及复杂的解题过程有较深的印象，15年初拿到本题却一时没有做出来（后来才知道是因为第二问求错了），于是之后仔细阅读了参考答案及附录中链接的帖子，感到本题题型非常新颖，解体的思路也很开阔（初等的解法除标答外亦有很多，各位不妨一试），故写本文。此处介绍高等方法仅为拓展课外知识用，实际解题中我们仍推荐使用解法一。参考资料：新