2019届高考数学复习专题四数列第1讲等差数列与等比数列教案.docx

第1讲等差数列与等比数列1.(2015全国卷,文5)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于(A)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:数列an为等差数列,设公差为d,所以a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1,所以S5=5a1+d=5(a1+2d)=5.2.(2015全国卷,文9)已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(C)(A)2(B)1(C)(D)解析:设等比数列an的公比为q,a1=,a3a5=4(a4-1),由题可知q1,则a1q2a1q4=4(a1q3-1),所以q6=4q3-1,所以q6-16q3+64=0,所以(q3-8)2=0,所以q3=8,所以q=2,所以a2=,故选C.3.(2015全国卷,文7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10等于(B)(A)(B)(C)10(D)12解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d.由题设知d=1,S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=+9=,故选B.4.(2014全国卷,文5)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn等于(A)(A)n(n+1)(B)n(n-1)(C)(D)解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2a8,所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+d=n(n+1).故选A.5.(2015全国卷,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.解析:因为在数列an中,a1=2,an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,因为Sn=126,所以=126,解得2n+1=128,所以n=6.答案:66.(2014全国卷,文16)数列an满足an+1=,a8=2,则a1=.解析:将a8=2代入an+1=,可求得a7=;再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1;再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;由此可以推出数列an是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=.答案:7.(2018全国卷,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.1.考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第2325页) 等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2018山东济南二模)已知an是公差为2的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S5=15,则a5等于()(A)3(B)5(C)7(D)9(2)(2018湖南省两市九月调研)已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则的值为()(A)3(B)5(C)9(D)25(3)(2018福建百校高三临考冲刺)若干个连续奇数的和3+5+7+(4n-1)等于()(A)2n2+n(B)n2+2n(C)4n2+2n(D)4n2-1解析:(1)由题得S5=5a1+2=5a1+20=15,所以a1=-1,所以a5=a1+4d=-1+8=7.故选C.(2)因为an是等比数列,所以a4=,a7=a5q2,所以a4a7=q=9q=45,所以q=5,所以=25.故选D.(3)把连续的奇数数列加1减1变成1+3+5+7+(4n-3)+(4n-1)-1,把相邻两项的和看成一个新的数列,为4+12+20+(8n-4)-1,所以变成首项a1=4,d=8的等差数列,所以Sn=4n+8-1=4n+4n2-4n-1=4n2-1.故选D.解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.热点训练1:(1)(2018广西三校联考)已知等差数列an满足:a3=13,a13=33,则a7等于()(A)19(B)20(C)21(D)22(2)(2018广西桂林柳州市一模)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为()(A)(B)(C)(D)(3)(2018山东潍坊青州三模)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a11=18,则S11等于()(A)9(B)22(C)36(D)66解析:(1)等差数列an中,d=2,则a7=a3+4d=13+8=21.故选C.(2)由等比数列的前n项和公式,得S4=,又a3=a1q2,所以=.选A.(3)因为a3+a4+a11=18,所以3a1+15d=18a1+5d=6,所以S11=11(a1+5d)=116=66,故选D.等差、等比数列的性质【例2】 (1)(2018山东青岛二模)已知等差数列an中,若a4=15,则它的前7项和为()(A)120(B)115(C)110(D)105(2)(2018东北四市一模)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其前n项和取最小值时的n的值为()(A)6(B)7(C)8(D)9(3)(2018河南洛阳市联考)在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为()(A)-(B)-(C)(D)-或(4)(2018浙江温州市一模)已知数列an是公差不为0的等差数列,bn=数列bn的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A,B,C,则()(A)A+B=C(B)B2=AC(C)(A+B)-C=B2(D)(B-A)2=A(C-B)解析:(1)由题得S7=(a1+a7)=2a4=7a4=715=105.故选D.(2)等差数列的公差为正数,则a11=-a6,所以a6+a11=a8+a9=0,据此可得a80,故其前n项和取最小值时的n的值为8.选C.(3)因为a2,a16是x2+6x+2=0的两根,所以a2a16=2,又因为a2a16=,所以=2,所以a9=,所以=.选D.(4)因为an是公差不为0的等差数列,所以bn是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,可得A,B-A,C-B成等比数列,所以可得(B-A)2=A(C-B).故选D.(1)等差数列的主要性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,特别是m+n=2p(m,n,pN*)时,am+an=2ap,由此可得在等差数列中S2n-1=nan;把等差数列等距分段,各段之和还是等差数列;若则的值最大,若,则的值最小.(2)等比数列的主要性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,特别是m+n=2p(m,n,pN*)时,aman=;把公比不等于-1的等比数列等距分段后,各段之和还是等比数列,若公比等于1,则各段之和既成等比数列也成等差数列.热点训练2:(1)(2018辽宁沈阳育才学校一模)在等差数列an中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9等于()(A)60(B)75(C)90(D)105(2)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,a7+a10=a8+a90,a90,nN*).证明:数列an为等比数列,并求an;若=4,bn=an+log2an(nN*),求数列bn的前n项和Tn.(2)(2018山东济南二模)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,=-Sn+1,其中为常数.证明:Sn+1=2Sn+;是否存在实数,使得数列an为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.(1)解:因为Sn=2an-,当n=1时,得a1=0,当n2时,Sn-1=2an-1-,故Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以an是以为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(0).=4,an=42n-1=2n+1,所以bn=2n+1+log22n+1=2n+1+n+1,所以Tn=22+2+23+3+2n+1+n+1=(22+23+2n+1)+(2+3+n+1)=+=2n+2-4+n2+n,即Tn=2n+2+n2+n-4.(2)证明:因为an+1=Sn+1-Sn,=-Sn+1,所以=(Sn+1-Sn)2-Sn+1,所以Sn+1(Sn+1-2Sn-)=0,因为an0,所以Sn+10,所以Sn+1-2Sn-=0,所以Sn+1=2Sn+.解:存在.因为Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),相减得an+1=2an(n2),所以an从第二项起成等比数列,因为S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,所以a2=1+0得-1,所以an=若使an是等比数列,则a1a3=,所以2(+1)=(+1)2,所以=-1(舍去)或=1,经检验=1符合题意.等差、等比数列的综合【例4】 (2018山东潍坊三模)已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=1+2nan,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)由1,an,Sn成等差数列得2an=1+Sn,当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,所以a1=1,当n2时,2an-1=1+Sn-1,-得2an-2an-1=an,n2,所以=2,n2,所以数列an是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=12n-1=2n-1.(2)由anbn=1+2nan得bn=+2n,所以Tn=b1+b2+bn=+2+4+2n=+(2+4+2n)=+=n2+n+2-=-+n2+n+2.解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想,即列出等差数列、等比数列基本量的方程或者方程组,解方程或者方程组求得基本量,求出等差数列、等比数列的通项公式,在此基础上求解其他问题.热点训练4:(2018江西南昌二模)已知各项均为正数且递减的等比数列an满足:a3,a4,2a5成等差数列,前5项和S5=31.(1)求数列an的通项公式;(2)若等差数列bn满足b1=a4-1,b2=a3-1,求数列的前n项和.解:(1)由a3,a4,2a5成等差数列得3a4=a3+2a5,设an公比为q,则2q2-3q+1=0,解得q=或q=1(舍去),所以S5=31,解得a1=16.所以数列an的通项公式为an=16n-1=n-5.(2)设等差数列bn的公差为d,由b1=a4-1,b2=a3-1得b1=1,d=a3-a4=4-2=2,所以bn=2n-1,=2n-6,数列的前n项和Tn=-4+-2+2n-6=1-n. 【例1】 (1)(2018陕西省西工大附中八模)已知等差数列1,a,b,等比数列4,a-1,b+4,则该等比数列的公比为()(A)(B)-(C)或-(D)10或-2(2)(2018天津南开中学模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则等于()(A)4n-1(B)4n-1(C)2n-1(D)2n-1(3)(2018江西赣州红色七校联考)已知等差数列an的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则等于()(A)6(B)5(C)4(D)3解析:(1)根据题意,得解得或因为等比数列的公比为,所以公比为-或.故选C.(2)设等比数列an的公比为q,所以q=,所以a1+a3=a1(1+q2)=a11+=,解得a1=2,an=2n-1=n-2,Sn=41-,所以=2n-1.故选D.(3)由题意,设等差数列an的首项为a1,公差为d,因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2a8=(a1+d)(a1+7d),解得d=a1,所以=3.故选D.【例2】 (2018福建泉州5月质检)已知等差数列an中,a1=2,a2+a4=16.(1)设bn=,求证:数列bn是等比数列;(2)求an+bn的前n项和.(1)证明:设an的公差为d,由a2+a4=16,可得(a1+d)+(a1+3d)=16,即2a1+4d=16,又a1=2,可得d=3,故an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1,依题意,bn=23n-1,因为=23=8,故bn是首项为4,公比为8的等比数列.(2)解:an的前n项和为=,bn的前n项和为=23n+2-,故an+bn的前n项和为+33n+2-.【例3】 (2018湖南岳阳一中一模)已知数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列.(1)求证:数列Sn+n+2成等比数列;(2)设bn=nan,求数列bn前n项和Tn.(1)证明:因为n,an,Sn成等差数列,所以2an=n+Sn,又an=Sn-Sn-1(n2),所以2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即Sn=2Sn-1+n,所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2,即Sn+n+2=2Sn-1+(n-1)+2.又因为S1+1+2=40,所以Sn+n+2是首项为4,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)知Sn+n+2是以4为首项,2为公比的等比数列,所以Sn+n+2=42n-1=2n+1,又2an=n+Sn,所以2an+2=2n+1,所以an=2n-1,故bn=nan=n(2n-1)=n2n-n,所以Tn=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n),Tn=2+(n-1)2n+1-.【例4】 (2018河南南阳一中第六次月考)已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,n