一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同.doc

蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈节袄肄芀薇螀肄莃莀蚆肃肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇蚂腿聿薂薈膈芁莅羇膈莃蚁袃膇蒆蒃蝿膆膅虿蚅螂芈蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆蚂衿莄蒈蚈袈蒇莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄袅肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蒇薁螁羁膇蒄蚇羀艿蚀薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈节袄肄芀薇螀肄莃莀蚆肃肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇蚂腿聿薂薈膈芁莅羇膈莃蚁袃膇蒆蒃蝿膆膅虿蚅螂芈蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆蚂衿莄蒈蚈袈蒇莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄袅肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蒇薁螁羁膇蒄蚇羀艿蚀薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈节袄肄芀薇螀肄莃莀蚆肃肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇蚂腿聿薂薈膈芁莅羇膈莃蚁袃膇蒆蒃蝿膆膅虿蚅螂芈蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆蚂衿莄蒈蚈袈蒇莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄袅肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蒇薁螁羁膇蒄蚇羀艿蚀薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈节袄肄芀薇螀肄莃莀蚆肃肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿 第九章 二次型 9.1 习题 1证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同 2对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使 是对角形式： (i) (ii) (iii) 3写出二次型 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项 4令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件 (i)A必与如下形式的一个矩阵合同： (ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数 (iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩 9.2 复数域和实数域上的二次型 1设S是复数域上一个n阶对称矩阵证明，存在复数域上一个矩阵A，使得 2证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一： 3证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：4证明，一个实二次型 可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0 5令 证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得 6确定实二次型 的秩和符号差 7确定实二次型 的秩和符号差 8证明，实二次型 的秩和符号差与 无关 9.3 正定二次型 1判断下列实二次型是不是正定的: ;2 取什么值时,实二次型 ，是正定的. 3设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数 ,使得 是正定的. 4证明, 阶实对称矩阵 是正定的,必要且只要对于任意 , 阶子式 5设 是一个 阶正定实对称矩阵.证明 当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立. 提示:对 作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4. 6设 是任意 阶实矩阵.证明 (阿达马不等式). 提示:当 时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题5. 9.4主轴问题 1对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得 具有对角形式: ; ; 2设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得 3设A是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得 提示: 是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得 = .再看一下U应该怎样取 4设 是一组两两可交换的 阶实对称矩阵.证明,存在一个 阶正交矩阵U,使得 都是对角形矩阵. 提示:对 作数学归纳法,并且参考7.6,习题9. 螀肅薂蒁羅羁薁蚄螈莀薀螆肃芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蚀袄羄芄螃肀节芃蒂袃膈芃薅肈膄节螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蚁螂膁芈螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇莅袀羄膃莄薀袇聿莃蚂肂羅莂螄袅芄莁蒄肁膀蒁薆袄肆蒀虿聿羂葿螁袂莁蒈薁蚅芆蒇蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒅薇螁芃薄虿羇腿薃螂螀肅薂蒁羅羁薁蚄螈莀薀螆肃芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蚀袄羄芄螃肀节芃蒂袃膈芃薅肈膄节螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蚁螂膁芈螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇莅袀羄膃莄薀袇聿莃蚂肂羅莂螄袅芄莁蒄肁膀蒁薆袄肆蒀虿聿羂葿螁袂莁蒈薁蚅芆蒇蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒅薇螁芃薄虿羇腿薃螂螀肅薂蒁羅羁薁蚄螈莀薀螆肃芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蚀袄羄芄螃肀节芃蒂袃膈芃薅肈膄节螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蚁螂膁芈螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇莅袀