高中全程复习方略配套课件：4.1平面向量的概念及线性运算.ppt

第一节 平面向量的概念及线性运算,完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！,三年3考 高考指数: 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.,1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也是热点，难度中等偏下. 2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主.,1.向量的有关概念 (1)定义：既有_又有_的量统称为向量. (2)表示方法：用_来表示向量.有向线段的长度表示 向量的_，用箭头所指的方向表示向量的_.用a,b或用 来表示. (3)模：向量的_叫作向量的模，记作|a|,|b|或,大小,方向,有向线段,大小,方向,长度,【即时应用】 (1)请写出高中物理中的三个向量_. (2)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”) 向量的大小是实数 ( ) 向量可以用有向线段表示 ( ) 向量就是有向线段 ( ) 向量 的长度和向量 的长度相等 ( ),【解析】(1)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度 等都为向量. (2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故 为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的 大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为真；为假； 与 是大小相等、方向相反的向量，故为真. 答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一) (2)真 真 假 真,2.特殊向量 (1)零向量：长度为_的向量叫作零向量，记作0；零向量的方 向_. (2)单位向量：长度为_的向量叫作单位向量. (3)共线向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线 _，则称这两个向量平行或共线.规定：零向量与任 一向量平行. (4)相等向量：长度_且方向_的向量叫作相等向量. (5)相反向量：长度_且方向_的向量叫作相反向量.,0,不确定,单位1,平行或重合,相等,相同,相等,相反,【即时应用】 (1)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”) 若a与b平行，则b与a方向相同或相反 ( ) 若a与b平行同向，且|a|b|,则ab ( ) |a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( ) (2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是_.,【解析】(1)假，当a为零向量时，方向是不确定的. 假，向量不能比较大小. 真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关. (2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆. 答案：(1)假 假 真 (2)圆,3.向量的加法与减法,【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“”或“”) ( ) ( ) ( ) (2)若菱形ABCD的边长为2，则,【解析】(1)不正确.因为 正确.因为 正确.因为 答案：(1) (2)2,4.向量的数乘与向量共线的判定定理和性质定理 (1)向量的数乘 长度：|a|=_. 方向 当0时，a的方向与a的方向_； 当0时，a的方向与a的方向_， 当=0时，a=_,其方向是任意的.,|a|,相同,相反,0,(2)向量数乘的运算律 设,为实数，则(a)=_; (+)a=_；(a+b)=_. (3)向量共线的判定定理和性质定理 向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数，使得_，则向量b 与非零向量a共线， 即_(a0，R)ab.,()a,a+a,a+b,b=a,b=a,向量共线的性质定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得_,即ab(a0)_.,b=a,b=a(R),【即时应用】 (1)思考：在向量共线的性质定理中，当a=0时，还唯一吗？ 提示：当a=0且b=0时，可以为任意实数，不唯一，当a=0且b0时，不存在.,(2)填空. 8(a+c)+7(a-c)-c=_. 设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)(e1+ke2)，则实数k的值为_. 点C在线段AB上，且 则,【解析】原式=8a+8c+7a-7c-c =(8+7)a+(8-7-1)c=15a. 原式= 由题意知， k(e1+e2)=(e1+ke2)(k-)e1=(k-k)e2， 又e1与e2不共线， k=0或1.,答案：,例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！,平面向量的有关概念 【方法点睛】 1.平面向量中概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.,2.几个重要结论 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关.,【例1】已知下列命题： 单位向量都相等 若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量 两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同 由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行 如果a=b,b=c,则a=c 如果|a|=|b|，则a与b的方向相同. 其中不正确的命题是_(请把不正确的命题的序号都填上).,【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确. 【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故不正确；规定0与任意向量平行，故不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以a=c,故正确；不正确. 答案：,【反思感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.,【变式训练】给出下列命题: 两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. a=0(为实数),则必为零. ,为实数,若a=b，则a与b共线. 其中错误命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C.错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点. 正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. 错误.当a=0时,不论为何值,a=0. 错误.当=0时, a=b,此时a与b可以是任意向量.,平面向量的线性运算 【方法点睛】 1.平面向量的线性运算的方法 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则. 2.两个重要结论 (1)向量的中线公式：若P为线段AB中点， 则,(2)向量加法的多边形法则 【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.,【例2】(1)在ABC中，若D是AB边上一点，且 则=( ) (2)(2012北京模拟)在ABC中,若O是ABC所在平面内一 点，D为BC边中点，且 那么( ) (3)若 则,【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点，把 用 表示；(2)由D为BC边中点可得 即可求解；(3)由 可得ABC为正三角形， 是该 正三角形高的2倍. 【规范解答】(1)选A. 所以 故选A.,(2)选A.因为D为BC边中点， 又 即 故选A. ABC是边长为2的正三角形， 为三角形高的2倍， 所以 答案：,【互动探究】若(1)中的条件作如下改变： 若点D是AB边延长线上一点且 若 则-的值为_. 【解析】由题意知，B为AD中点，又 又 =2,=-1,-=3. 答案：3,【反思感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应边成比例等.,【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC 的中点，G为BF、DE的交点，若 试用a,b来表示,【解析】 连接BD，因为G是CBD的重心，所以,向量共线判定定理和性质定理的应用 【方法点睛】 1.向量共线判定定理和性质定理的应用 (1)可以利用向量共线判定定理证明向量共线，也可以由向量共线性质定理求参数的值. (2)若a,b不共线，则a+b=0的充要条件是=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.,2.证明三点共线的方法 （1）若 则A、B、C三点共线. （2）点O是点A、B所在直线外一点，若 且+=1，则A、B、P三点共线.,【例3】已知a,b不共线， 设tR，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请 说明理由. 【解题指南】先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后判断 是否有 成立即可.,【规范解答】由题设知， C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得 (t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线，所以有 解之得 故存在实数 使C，D，E三点在一条直线上.,【反思感悟】1.注意待定系数法在解决此类问题中的应用.其中的k只是桥梁，可设而不求. 2.本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.,【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量 =3e1-2e2, =-2e1+4e2, =-2e1-4e2,试证明：A、C、D三点 共线. 【证明】 又 =2 ， 与 共线，A、C、D三点共线.,【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同， tR，t为何值时，a，tb， (ab)三向量的终点在一条直线 上？,【解析】设 化简整理得： a与b不共线， 故 时，a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上,把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。,【创新探究】以向量为背景的新定义问题 【典例】(2011山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标 系中两两不同的四点，若 且 则称A3,A4调和分割点A1,A2，已知平面上的点C，D 调和分割点A，B则下面说法正确的是( ),(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上 (D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【解题指南】本题为信息题，由 知：A1,A2,A3,A4四点共线，且不重合.因为C，D调 和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设 则 然后逐项代入验证.,【规范解答】选D.由 知：四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上，且不重合. 因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线 上，设 则 选项A中 此时d不 存在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中， 也不正确，故选D.,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：,1.(2012滁州模拟)ABC中， 则 等于( ) (A)a+b (B)-(a+b) (C)a-b (D)b-a 【解析】选D.,2.（2012汉中模拟）设P是ABC所在平面内的一点， 则（ ） 【解析】选C. P为ABC中AC边的中点，,3.(2012宿州模拟)设 且A、B