2019年高考数学复习专题五立体几何第3讲立体几何中的向量方法练习理.docx

第二篇专题五第3讲 立体几何中的向量方法限时训练素能提升(限时50分钟，满分60分)解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1(2018全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解析(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可知是，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.则H(0，0，0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2(2018北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交解析(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE.所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)所以(1，2，0)，(1，2，1)设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4)又因为平面CC1D的法向量为(0，2，0)，所以cosn，.由题知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为.(3)由(2)知平面BCD的法向量为n(2，1，4)，(0，2，1)因为n20(1)2(4)(1)20，所以直线FG与平面BCD相交3(2018合肥质检)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC，点E在AD上，且AE2ED.(1)已知点F在BC上，且CF2FB，求证：平面PEF平面PAC；(2)当二面角APBE的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？解析(1)证明ABAC，ABAC，ACB45，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ACD45，即ADCD，又ABAC，BCAC2AD，AE2ED，CF2FB，AEBFAD，四边形ABFE是平行四边形，ABEF，ACEF，PA底面ABCD，PAEF，PAACA，EF平面PAC，EF平面PEF，平面PEF平面PAC.(2)PAAC，ACAB，PAABA，AC平面PAB，则APC为PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成的角为45，则tanAPC1，即PAAC，取BC的中点为G，连接AG，则AGBC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，E，P(0，0，)，设平面PBE的法向量为n(x，y，z)，则即令y3，则x5，z，n(5，3，)，(1，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn，故结合图形可知当二面角APBE的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45.4(2018雅安二模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，DEEF1，DCBF2，EAD30.(1)求证：AE平面CDEF；(2)在线段BD上是否存在一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30.解析(1)因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD2.在ADE中，由正弦定理得，即，解得sinAED1，所以AED90，即AEED.在梯形ABFE中，过点E作EPBF交AB于点P，如图，因为EFAB，所以EPBF2，PBEF1，AP1.在RtADE中，AE，所以AE2AP2EP2，所以AEAB，所以AEEF，又AEDE，EFDEE，所以AE平面CDEF.(2)由(1)可得，AEEF，又ADDC，ADAEA，所以DC平面AED，又DC平面ABCD，所以平面AED平面ABCD.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中z轴为在平面AED内过点D作AD的垂线所在的直线，则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E，F，A(2，0，0)，所以(2，2，0)，.设(2，2，0)(01)，则(22，2，0)，设平面FAG的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x1，可得平面FAG的一个法向量为n1(，25)，易知平面EAD的一个法向量为n2(0，1，0)，所以cos 30，化简可得92610，解得0，1故当点G满足时，平面EAD与平面FAG所成的角为30.5(2018东营二模)如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC.若存在，请指明点M的位置，若不存在，请说明理由解析(1)证明平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由(1)结论AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，AEBD.如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设ABBDDCAD2，则BEED1，AE，BC2，EF，则E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，1，0)，A(0，0，)，F，C(，2，0)，(，1，0)，(0，1，)由AE平面BCD，可知平面DCB的一个法向量为