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坐标系与参数方程高频考点真题回访1.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=cos,y=sin,x2+y2=2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.所以k=-,所以C1的方程为y=-|x|+2.2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程.(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos0时,l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.3.(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围.(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan=k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数,).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin
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