2020版高考数学大一轮复习第二章9第九节函数模型及应用精练理.docx

第九节函数模型及应用A组基础题组1.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是() A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.2.(2019山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-52R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是()A.4,8 B.6,10C.4%,8%D.6%,10%答案A根据题意,要使附加税不少于128万元,需30-52R160R%128,整理得R2-12R+320,解得4R8,即R4,8.3.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=C,0A.已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元答案A由题中表格易知4A25,则由题意可得C=4,4+B(25-A)=14,4+B(35-A)=19,解得A=5,B=12,C=4,当x=20时,f(20)=4+12(20-5)=11.5.故选A.4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是() A.减少7.84% B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A设某商品原来价格为a,依题意得:a(1+0.2)2(1-0.2)2=a1.220.82=0.9216a,(0.9216-1)a=-0.0784a,所以四年后的价格与原来价格比较,减少了7.84%.5.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是()答案D依题意知当0x4时,f(x)=2x;当4x8时,f(x)=8;当80),广告效应D=aA-A.那么对于此商品,精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)答案a24解析由题意得D=aA-A=-A-a22+a24,且A0,当A=a2,即A=a24时,D最大,最大为a24.7.(2018安徽蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们繁殖只.答案300解析由题意,得100=alog2(1+1),解得a=100,所以y=100log2(x+1),当x=7时,y=100log2(7+1)=300,故第7年它们繁殖300只.8.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示),大棚占地面积为S平方米,其中ab=12,若要使S最大,则y=.答案45解析由题意可得xy=1800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)y-33=1808-3x-83y=1808-3x-831800x=1808-3x+4800x1808-23x4800x=1808-240=1568,当且仅当3x=4800x,即x=40时取等号,所以当S取得最大值时,y=180040=45.9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2;当4x20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0.(1)当0x20时,求函数v关于x的函数表达式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)达到最大?并求出最大值.解析(1)由题意得当0x4时,v=2;当4x20时,设v=ax+b(a0),显然v=ax+b在4,20内是减函数,由已知得20a+b=0,4a+b=2,解得a=-18,b=52,所以v=-18x+52,故函数v=2,0x4,-18x+52,4x20.(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=2x,0x4,-18x2+52x,4x20,当0x4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8;当4x20时,f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+1008,f(x)max=f(10)=12.5.所以当0x20时,f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量达到最大,最大值为12.5千克/立方米.10.(2019河北石家庄一模)已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=400-6x,040.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.解析(1)当040时,W=xR(x)-(16x+40)=-40000x-16x+7360.所以W=-6x2+384x-40,040.(2)当040时,W=-40000x-16x+7360,由于40000x+16x240000x16x=1600,当且仅当40000x=16x,即x=50(40,+)时,取等号,所以W取最大值,为5760.综合,当x=32时,W取最大值,为6104.B组提升题组1.某工厂产生的废气经过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中,废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P0均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中,污染物排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是() A.12小时B.59小时C.5小时D.10小时答案C由题意,前5个小时消除了90%的污染物.P=P0e-kt,(1-90%)P0=P0e-5k,0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,k=-15ln0.1.由1%P0=P0e-kt,即0.01=e-kt,得-kt=ln0.01,15ln0.1t=ln0.01,t=10.排放前至少还需要过滤的时间为t-5=5(小时).故选C.2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 千克)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变换关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt.利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是;(2)最低种植成本是(元/100千克).答案(1)120(2)80解析根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c,且图象开口向上,对称轴t=-b2a=60+1802=120,代入数据得3600a+60b+c=116,10000a+100b+c=84,32400a+180b+c=116,解得b=-2.4,c=224,a=0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14400a+120b+c=144000.01+120(-2.4)+224=80(元/100千克).3.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,台风在发生后多长时间将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.解析(1)由图象可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70.当t=4时,v=12,所以s=12412=24.(2)当0t10时,s=12t3t=32t2;当10t20时,s=121030+(t-10)30=30t-150;当20t35时,s=150+300+12(t-20)(-2t+70+30)=-t2+70t-550.综上可知,s随t变化的规律是s=32t2,t0,10,30t-150,t(10,20,-t2+70t-550,t(20,35.(3)当t0,10时,smax=32102=150650,当t(10,20时,smax=3020-150=4500,x0,得0x150