中值定理的证明技巧.doc

第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值. （2）零点定理设f(x)在a、b连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、 拉格朗日中值定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导则一定存在，使得4、 柯西中值定理若函数满足:（1）在上连续（2）在内可导（3）则至少有一点使得5、 泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中 (介于与之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1展开的基点；2展开的阶数；3余项的形式其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数，要根据具体的问题来确定6、 积分中值定理 若f(x)在a、b上连续，则至少存在一点ca、b，使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在a,b上连续；f(a)f(b)0.思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法例1、设在a,b上连续，证明存在 ，使得 例2、设在a,b上连续、单调递增，且，证明存在 使得 *例3、设在a,b上连续且，证明存在使得 。.例4、设在a,b上连续，证明存在使得 例5、设f(x)在0,1上连续，且f(x)0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得 题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的题型三、 证明存在, 使(n=1,2,) 方法：1、用费马定理 2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理） 3、用泰勒公式 思路：可考虑函数例9、设在a,b上可导且，证明至少存在一个使得例10、设在0,3上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得*例11、设在0,2上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得题型四、 证明存在, 使方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）思路：1）换为2）恒等变形，便于积分3）积分或解微分方程4）分离常数：即为辅助函数(1) 用罗尔定理 1) 原函数法: 步骤：将x换为x; 恒等变形，便于积分； 求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例12、设在a,b上连续，在(a,b)内可导，且，求证存在使得例13、（0134）设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且 证明：在(0,1)内至少存在一点x, 使 例14、 设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,f(a) g(x)在a,b上连续，试证对.*例15、 设f(x)在0，1上连续，在（0，1）内一阶可导，且.试证：使得 . 2) 常微分方程法: 适用: 步骤： 解方程 令 例16、设在a,b上连续，在(a,b)内可导，且，证明存在使得*例17、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数 , 使得(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 题型5、 含有(或更高阶导数)的介值问题方法：1）原函数法（对仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例22、 设f(x)在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个, 使 例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在上至少存在一个使得 例24、 设f(x)在1, 1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x，使得 . 例25、（103）设函数f (x)在闭区间0, 3上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且2 f (0)= f (2)+ f (3). (I) 证明存在 h (0, 2), 使得f(h)= f (0) ; (II) 证明存在 x (0, 3), 使得 f(x)=0 .题型6、 双介值问题 方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理例26、设在a,b上连续，在(a,b)内可导，求证存在使得例27、（051，12分）已知函数在0,1上连续，在(0,1)内可导，且证明：（1）存在，使得 （2）存在两个不同的点使得题型7、 综合题*例29、（011，7