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存在与唯一性定理的证明 定义：设函数在闭区域上有定义，如果存在常数，使对任何均满足不等式，则称在上关于满足条件，称为常数定理：设在闭矩形域：上连续，且关于满足条件，则初值问题在区间上有且只有一个解，其中证明：整个证明过程分成如下五个部分，首先证明求初值的解等价于求积分方程的连续解。事实上，若是初值问题的解，则有由此，在上连续，从而可积，于是对恒等式积分并利用初始条件，得到即，是积分方程的解反之，设是方程的连续解，即有恒等式因为在上连续，故右端是积分上限的可微函数，从而在可微于是将两边对求导，得恒等式，并令得，因此是初值问题的解因此，我们只需证明积分方程存在唯一定义在区间上的连续解。我们采用的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程的唯一解，用逐次迭代法在区间上构造逐次近似的连续函数序列当时，注意到是上的连续函数，所以由知在上是连续可微的，而且满足不等式于是在区间上因此，在上是连续的，所以由式知在区间上是连续可微的，而且满足于是在区间上以此类推，应用数学归纳法易证：由式给出的所谓序列是区间上的连续函数序列，而且满足不等式，证明序列在区间上一致收敛考虑级数它的部分和为，于是，要证明序列在区间上一致收敛，只需证明级数在上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：在上成立事实上，当时由知式成立，假设当时式成立，即有在上成立则由式知根据条件和归纳假设得即当时式也成立，因此有数学归纳法知式得证因当时，故由式知因正项级数收敛，故由函数项级数一致收敛的（魏尔斯特拉斯）判别法知级数在区间上一致收敛从而序列在区间上一致收敛设其极限函数为，即当时一致的有则在上是连续的且由推知，证明是积分方程的解在式两端令得到因此问题归结为证明因序列在上一致收敛，则任给，存在自然数，当时，对中所有有故当时，由条件知因此式成立因而当时有，所以是积分方程的一个连续解，证明积分方程的连续解的唯一性设也是方程的定义在区间上的连续解，则于是与步骤类似，可归纳证明得在上成立从而序列在区间上也一致收敛与，因此我们推出所以，积分方程的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中数的几何意义因为在闭矩形域上有，所以方程的积分曲线上任一点的切线斜率介于与之间。过点分别引斜率为与的直线和：，当时，如图所示；当时，如图所示显然方程过点的积分曲线(如果存在的话)不可能进入图或所示的两个阴影区域内。若(即)由图可见解在整个区间上有定义；若(即)由可见，不能保证解在上有定义。它可能在或外到达的上边界或下边界，于是，当或时，没有定义。此
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