高一数学教学资料等差数列.ppt

第二章 数 列,2.2 等差数列,1. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.,2.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：,10072，10144，10216，10288，10360.,得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000,匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）,姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,观察：以上数列有什么共同特点？,从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,举重级别的数列： 48，53，58，63,观察归纳,运动鞋尺码的数列,储蓄本利和的数列： 10072，10144，10216，10288，10360.,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,等差数列定义,姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,举重级别的数列： 48，53，58，63,运动鞋尺码的数列,储蓄本利和的数列： 10072，10144，10216，10288，10360.,d=5,d=72,d=500,d=1/2,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。,等差数列定义,数学语言： an-an-1=d （d是常数，n2，nN*）,或an+1 an = d,（ d是常数, nN*）,这是证明一个数列是等差数列的主要依据之一,2、常数列a，a，a，是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。,想一想,公差是0,3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由。,不是,1、数列6，4，2，0,-2,-4是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由。,公差是-2,4、数列1，2，4，6，8，10是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由。,不是,想一想,小结： 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。 2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。,例1：判断下列数列是否为等差数列并加以证明： (1) an中， an32n； (2) an中， ann2n. 解 对任意nN*， (1)an1an32(n1)(32n)2，是同一常数， 数列an是等差数列 (2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n，不是同一常数， 数列an不是等差数列,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,思 考,( 3 ) , ( ) ,这是证明一个数列是等差数列的主要依据之二,观察数列：1，3，5，7，,思 考： 在数列中a100=？我们该如何求解呢？,通项公式：,归纳得:,等差数列的通项公式（推导一）,不 完 全 归 纳 法,当n=1时，上式还成立,叠加得,等差数列的通项公式（推导二）,通项公式：,叠 加 法,当n=1时，上式还成立,等差数列的通项公式：首项为a1 ,公差为d的等差数列 an的通项公式:,an = a1 + (n1)d,a1 、an、n、d知三求一,变形：an=am +(n-m)d(n,mN*),等差数列通 项 公 式 的 归纳,特点：关于n的一次型的函数,例2、（1）求等差数列8，5，2，的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 5,-9 ,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.,解：(1)由题意得： a1=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 a20=11-320=-49,分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。,(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 -401是这个数列的第100项。,练一练:,1. 求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；,解得：,2. 100是不是等差数列2，9，16，中的项？,3. -20是不是等差数列0，-3.5，-7 中的项；,解得：,解得：,例3,在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求数列的通项公式.,这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,这个数列的通项公式是： an=3n-5,例 题,求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。,像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。,题后点评,求通项公式的关键步骤：,基本量法,练一练,1.在等差数列中,2.已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？ 思路探索 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算,数列an是递减等差数列，d0. 故取a111，d5. an11(n1)(5)5n16. 即等差数列an的通项公式为an5n16. 令an34，即5n1634，得n10. 34是数列an的第10项,已知数列 的通项公式是 （ 为常数），那么这个数列为等差数列吗？,等差数列与一次函数的关系,探究：,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象2,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象3,（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,直线方程的斜截式：,等差数列的通项公式为：,等差数列的图象为相应直线上的点。,在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列 思路探索 由a11及a57，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等