山东省淮坊市数学骨干教师培训讲座数学概念课公式课课件

数学概念课、公式课课型教学 模式及评价标准,什么是概念？概念是同类事物的本质特征的反映。概念既是存在于人脑知识结构的一种知识内容，又是主体所进行的一种认知加工过程。 数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁所形成的学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。,数学概念课型的特点：,（1）它是以“事实学习”为中心内容的课型。该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。,（2）教师应通过各种数学形式、手段，把主要的力量，最佳的教学时间用在揭示和概括研究对象本质属性的过程上。引导学生把握准某类事物的共同属性的关键特征。解决好概念的“内涵”与“外延”的认识和理解。 （3）概念课应注意直观教学。让学生了解研究对象，多采用语言直观、教具直观、情境直观、电化直观等教学手段，引导学生从具体到抽象，经概括和整理之后形成新的概念，或从旧概念的发展中形成新概念。,（4）概念课应解决学生“概念学习”中的几个问题： 对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。 对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。 概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。 克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用 。,教师教学行为,概念课教学应遵循学生认知心理规律的四个发展层次：“感觉知觉观念（表象）概念”。教学的各个环节安排应有利于这认知心理规律的四种形态的发展和不同层次的认知需要。,课堂教学流程图大致为：,创设情境，引入课题 归纳探索，形成概念 概念应用，巩固延展 归纳小结，提高认识,【教学控制框图】,学生学习行为,（1）学会观察、归纳。通过观察发现共性的东西。 （2）注意理解所学概念的来龙去脉。这个概念讨论的 对象是什么？有何背景？有哪些限制条件、哪些特殊 规定?学习这个概念有什么意义？ （3）除老师及教材所下的定义外，试试能否用自己的语言来表述。注意有没有其他等价的说法。为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？ （4）相应的符号能否记牢，符号的读法、表示法会不会。概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？ （5） 根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？ （6）回忆过去学过的概念中，有没有相近、相似，容易混淆的地方？它们与过去学过的概念有什么联系？注意它们之间的区别。应当如何强调这些区别 （7）根据所理解的定义，举出实际的例子。,课堂教学,1全面了解教材的体系，把握好概念教学的层次 2在体验数学概念产生的过程中认识概念。 2.1 创设情境,激发兴趣 2.2给出模型，感性引入,3依托教材，落实双基,3.1重视教材，提倡“咬文嚼字”，避免“概念不清”，反对强记硬背 3.2加强对表示概念的数学符号的理解 3.3在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念 3.4在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念,4采用多种方法巩固概念,4.1在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念 4.2承前启后，巩固概念 4.3系统归类，巩固概念 4.4指导编码，巩固概念,5创新教学方法，改善课堂结构,5.1挖掘原型，提出问题 5.2揭示本质，培养直觉思维能力 5.3聚焦信息，培养概括能力 5.4利用多媒体设备，进行直观演示和过程模拟，培养学生抽象思维能力,6客观评价、快速反馈,6.1察言观色，及时调控 6.2客观评价，激励士气,案例分析,课 题：函数的单调性,【教学目标】,1知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法 2能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力 3情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程,【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明 【教学难点】 根据定义证明函数的单调性 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习 【教学手段】 多媒体、投影仪,【教学过程】,一、创设情境，引入课题,为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2004年到2007年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.,引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考,问题：观察图形，能得到什么信息？,预案： (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的,问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等。,归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小 设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣,二、归纳探索，形成概念,对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.,1借助图象，直观感知 2抽象思维，形成概念,三、掌握证法，适当延展,例1,四、归纳小结，提高认识,学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结 1小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性 (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论 (3) 数学思想方法：数形结合 2作业 书面作业：课本第46页 练习A 第3，5题 课后探究：研究函数的单调性,函数的单调性教学设计说明,一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点,二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成,三、教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识,四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： （1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入 （2）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤 （3）考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔,教学评价设计,学生学习综合评价表 教师自我反思评价表,数学公式课,数学公式是用符号（字母、运算符号）表示的量与量之间关系（定律或定理）的式子。数学公式可分为恒等变换型和函数方程型两大类。目前中学阶段经常用的平方差公式，立方差公式、指数运算、对数运算、诱导公式等属于恒等变换型；立体几何中的表面积、体积公式，向量中的坐标运算公式，向量的内积，数列的通项、求和公式，斜率、三角变换公式等属于函数方程类的。,一、课型特点,该课型应体现学生的学习活动是在进行“命题学习”。通过“命题学习”，进一步了解概念与概念之间的内在联系及其演绎规律，掌握几个概念之间所存在某些定律或联系法则。,二、教师教学行为,（1）上好一节公式课，应体现该课型一般的课堂结构：“引入观察归纳猜想证明”。 课堂结构：,（2）公式课的教学应遵循以下两个规律：一是以一般的原理为前提，推求到某个特殊场合作出新的结论的演绎推理规律；二是以若干特殊场合中的情况为前提，推求到一个一般的原理原则作为结论的归纳推理规律。 （3）公式课遵循如下的“教学控制框图”：,数学教材中的公式是一个知识体系。在公式课教学中，应抓住本节所讲的公式在体系中的“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，由此导出和启发学生理解新的公式。 （片断）两角和与差的余弦,三、学生学习行为,（1）注意命题提出的背景和条件，思考将会产生的结论（大胆猜想），并用语言表达出来。 （2）敢于动脑、动手去探求验证或演绎证明 （3）认真听取老师和同学的分析思路，和自己的论证设想作比较，敢于争论，并汲取最优者。 （4）弄懂推理论证过程中所涉及的数学思想、方法及特殊技巧。 （5）理解公式的规定条件、结论及适用范围和功能。以典型图形表格等帮助记忆。 （6）对数学公式中各部分符号的含义应深刻理解，知道各部分间的内在联系，学会公式的变形。,四、课堂教学,(一)公式教学应达到的目的 （1）使学生学到研究问题、发现规律的方法，提高学生的创新意识与能力，同时激发学生的成就感。 （2）有计划地进行数学的思想方法的渗透，提高学生的数学素养、提高分析问题和解决问题的能力。 （3）让学生准确地掌握公式，深刻理解公式的条件、适用的范围、作用以及公式的各种变形。,（二）教学要点,（1）公式课应通过各种有效的教学手段，把主要的精力和时间用在公式推导、证明的全过程上。让学生记住某一个公式并非命题课的最终目的。命题课要达到的教学目的是：揭示公式的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧；交待清楚公式适应的范围及成立的特定条件，理解由某一条件下所得出的必然结论。 （2）公式课应让学生准确地掌握命题的条件部分和结论部份，了解公式中诸条件的性质和作用，掌握公式变形的各种形式。,(3) 值得注意的问题： 培养学生从实际事物中发现和提出数学问题，或从已有的数学知识中提出新的数学问题的创造性思维能力，逐步提高学生从实际（或旧知识）中“类比猜想”、“归纳概括”以及“推理论证”，最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力。 克服“只重视结论及结论的套用，不重视推导过程”的命题学习心理，以及克服“只强调死记结论，不重视知识形成过程”的急功近利的“结论式”的命题教学心理。 要解决好对公式的记忆方法问题。可在理解记忆、口诀记忆、形象（图形）记忆、表格记忆、类比记忆、逻辑记忆、分类记忆这些记忆方法中，引导学生选取自己适用的记忆方法，与学习上的遗忘作斗争。 解决好公式、法则等数学原理从文字到数式之间的互译。,（三）公式课教学的一般过程,（1）第一阶段，创设情境：要求教师根据教材的特点，找准知识的生长点，精心设计问题。根据不同的教学内容，设计的问题可以是实际问题也可以是数学问题，或模型演示，通过具有启发性、探索性和开放性的问题，引起学生的认知冲突，激发探究兴趣。同时，课堂教学的始终，教师都要创设有利于学生自主活动，进行数学思考的良好氛围，创设平等、合作的教学情境，良好的教学情境，有利于学生积极主动地参与探究活动。,（2）第二阶段，分析猜想：公式课的教学，不能只满足于公式的证明与应用，而应鼓励学生以探索者的姿态出现，去猜想，去探索它们的发现过程。这一环节要充分发挥学生的主动性，引导学生通过实验、观察，运用类比、联想、归纳、综合等方法去探索、去研究，在学生的主动参与中，使问题逐步得到解决。在问题解决的过程中，引导学生不断猜想，不断发现新问题，获得新知识、新方法。教师可以根据不同的教学内容，引导学生去猜想结论，猜想规律，猜想策略。,猜想的一般方法有：,（1）观察实验猜想， （2）类比联想猜想， （3）分析归纳猜想。 在实际教学中，学生的猜想难免会有错误，教师的任务是引导学生大胆尝试，最终得到有价值的猜想。,案例1、观察实验猜想,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？,案例2。类比联想猜想,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,C,B,把三棱锥1以 ABC为底面、 AA1为侧棱补成 一个三棱柱。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,连接BC,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。,就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh,V1V2V3 V三棱锥,案例3。分析归纳猜想,例如在进行“余弦定理”的教学时, 教师可设计如下探索性问题,（3）第三阶段，论证评价：,在这一环节中，教师要引导学生对自己的猜想进行评价，去验证自己结论的合理性，并给出严格的逻辑证明。应鼓励学生尽可能用自己的方式和方法完成证明，而不是完全模仿他人的证法。在学生经过探究，找到思路之后，不要急于证明和应用，要给学生提供一个展示思维过程的机会，讲出自己的思路，并反思自己的思路是怎样想到的，使更多的同学受到启发，相互借鉴，并讨论能不能用别的方法来证明促使学生思路发散。完成证明之后，还要引导学生进行理性归纳，分析它和以前学过的某些公式有何本质的联系，把新定理、公式纳入知识体系中。,（4）第四阶段，推广应用：,公式的运用是必不可少的一环。前面三个环节是从实际问题出发，经过分析探究、逐步形成理论。而这一环节则是运用理论来指导实践，让学生学会用数学知识解决实际问题。这正体现了“实践理论实践”的哲学思想。在这一环节中，教师的作用是引导学生分析定理公式的特点，适用于解决哪些类型的问题，应用时有哪些注意事项。完成基础知识和基本方法的运用。变式推广，则要根据教材特点和学生的实际情况，适当加强或削弱公式的条件，看看能得到什么有益的结论。通过这一环节，引导学生进行反思小结，对知识进行整理，规律进行总结，思想方法进行提炼，最终形成自己的观点。,公式课的教学加强了创新思维能力的培养，在整体结构上突出了“猜想”与“证明”两大环节，而这正是数学发现中的基本策略和途径。这两个环节与其他环节有机结合，共同承担了对学生形象思维、直觉思维、逻辑思维的训练与培养，对学生创新思维和能力的培养具有十分突出的作用。,公式课案例分析,等比数列的前项和（第一课时）,一、教材分析,从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法，如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.,二、教学目标,依据课程标准，结合学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下： 1知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题 2过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质 3情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美,三、教学重点和难点,重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力. 突出重点方法：“抓三线、突重点”，即： (一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用； （二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳 错位相减法等转化、方程思想； （三）能力线：观察能力数学思想解决问题能力灵活运用能力及严谨态度.,难点：等比数列的前项和公式的推导从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物. 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适