高等数学第五讲（4学分）.ppt

第二章 微分,1,第二章,一元函数微分学,第一节,导数的概念,第二章 微分,2,引例,1. 求变速直线运动物体的瞬时速度,设描述质点位移与时间的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,1.1 导数的定义,第二章 微分,3,2. 求曲线在某点的切线,割线 M N 的斜率,第二章 微分,4,同类数学问题:,瞬时速度,切线斜率,函数增量与自变量增量之比的极限 .,第二章 微分,5,定义2.1、函数在一点处可导,定义 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,第二章 微分,6,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大 .,第二章 微分,7,在 时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。,曲线在 M 点处的切线斜率：曲线在M处的导数,引例问题的解：,导数就是一种特殊类型的极限。,第二章 微分,8,例：求函数y=x2+1在x=2处的导数。,解：,函数的增量：,第二章 微分,9,在点,的某个右 邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义 . 设函数,有定义,存在,第二章 微分,10,定理. 函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,例. 证明函数,在 x = 0 不可导.,第二章 微分,11,. 函数的可导性与连续性的关系,定理.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,第二章 微分,12,定理. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 a , b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,且,第二章 微分,13,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就称函数在 I 内可导.,二、函数在区间上的导数,第二章 微分,14,例. 求函数,(C 为常数) 的导数.,例. 求函数,基本初等函数的导数,第二章 微分,15,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,证明：,第二章 微分,16,例. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,第二章 微分,17,第二节,导数的法则与基本公式,第二章,第二章 微分,18,一、四则运算求导法则,定理.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,第二章 微分,19,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,第二章 微分,20,(2),证: 设,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),第二章 微分,21,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),第二章 微分,22,例.,例. 求证,第二章 微分,23,二、反函数的求导法则,定理.,可导,第二章 微分,24,例. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则, 则,第二章 微分,25,第二章 微分,26,三、基本初等函数的求导公式,1. 常数和基本初等函数的导数 (P7),第二章 微分,27,在点 x 可导,复合函数求导法则,定理2.4.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,第二章 微分,28,求下列函数的导数,第二章 微分,29,例如,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,第二章 微分,30,例. 设,求,例. 设,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,第二章 微分,31,求下列函数的导数,第二章 微分,32,4、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .,则称此,（1）隐函数与显函数的概念。,第二章 微分,33,（2）隐函数求导,两边对 x 求导,(解含导数 的方程),第二章 微分,34,例. 求由方程,的导数，并求在 x = 0处的导数值。,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,第二章 微分,35,求由方程,确定的函数y=y(x)的导数。,第二章 微分,36,法1、用取对数求导法求 :,5、幂指函数 导数的求法。,法2、直接变形法求导,第二章 微分,37,课堂练习：求下列函数的导数,第二章 微分,38,例,两边取对数,两边对 x 求导,可用于取对数求导法的情况：,第二章 微分,39,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,2.3、高阶导数,第二章 微分,40,课堂练习：,第二章 微分,41,第三节,微分,第二章,第二章 微分,42,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,变到,边长由,其,主要部分,第二章 微分,43,故,第二章 微分,44,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,微分就是函数增量的线性主部,第二章 微分,45,定理 :,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,第二章 微分,46,求函数y=x在任意一点处的微分,从而,导数也叫作微商,第二章 微分,47,微分的几何意义,切线纵坐标的增量,第二章 微分,48,例如,又如,第二章 微分,49,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),第二章 微分,50,基本初等函数的微分公式 (见 P81、82),第二章 微分,51,第二章 微分,52,课堂练习,第二章 微分,53,导数的应用,求曲线的切线与法线； 求变速直线运动的物体的瞬时速度,例：求曲线y=lnx 在(e,1)处的切线与法线。,例：路程关于时间的函数为y=3t2,求t=10时的瞬时速度