数学建模自动控制自动控制系统的数学模型.ppt

第二章 控制系统的数学模型,本章主要内容: 2.I 2.2 2.3 2.4 2.5,物理系统的数学模型 非线性数学模型的线性化 拉氏变换及其反变换 典型环节及其传递函数 系统方框图和信号流图,Part 2.1 物理系统的数学模型,Part 2.1.1 数学模型的定义,系统示意图,系统框图,Remember 恒温箱自动控制系统?,Part 2.1.1 数学模型的定义,系统框图,t u2 u ua n v u t,由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态-稳定运动,Part 2.1.1 数学模型的定义,数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程,解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建立数学模型的方法：,数学模型的形式,时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 复数域： 传递函数 结构图 频率域： 频率特性,数学模型的准确性和简化,Part 2.1.2 建立数学模型的基础,机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律,微分方程 （连续系统）,差分方程 （离散系统）,线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性,机械运动系统的三要素,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 B,质量 M,弹簧 K,Part 2.1.3 提取数学模型的步骤,划分环节 写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式,由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）,划分环节,按功能（测量、放大、执行）,写出每或一环节(元件) 运动方程式,找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。,写成标准形式,例如微分方程中， 将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。,Part 2.2 非线性数学模型的线性化,2.2.1 常见非线性模型,数学物理方程中的线性方程： 未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量,针对时间变量的常微分方程： 线性方程指满足叠加原理,叠加原理： 可加性 齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,2.2.2 线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,2.2.3 线性化方法,以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。,增量 （微小偏差法）,假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程 局部线性增量方程,增量方程,增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。,多变量函数泰勒级数法,单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的静态方程,Part 2.3 拉氏变换及其反变换,Part 2.3.1 拉氏变换的定义,设函数f(t)满足： 1f(t)实函数； 2当t0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,高等函数初等函数,指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数,Part 2.3.2.1 拉氏变换的计算,Part 2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理,线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理,条件： 分母多项式能分解成因式,Part 2.3.2.2 拉氏反变换方法,部分分式法的求取拉氏反变换,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Part 2.3.3 拉氏变换求解线性微分方程,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。,Part 2.4 典型环节及其传递函数,在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,Part 2.4.1 传递函数的定义,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0,初始条件为零时 微分方程拉氏变换,系统的传递函数,系统传递函数的一般形式,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,特征方程,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。 零点用“O”表示 极点用“”表示,零、极点分布图,g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）,单位脉冲响应,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。,结论,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,设系统有 b个实零点;d 个实极点; c 对复零点; e对复极点; v个零极点,Part 2.4.2 典型环节的传递函数,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,例1：齿轮传动,例2：晶体管放大器,放大环节/比例环节,!储能元件 ！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入 例1：弹性弹簧 例2：RC惯性环节,惯性环节,！记忆,！积分,输入突然除去 积分停止 输出维持不变,例1：电容充电,例2：积分运算放大器,积分环节,如当输入量为常值 A 时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,！改善系统的稳态性能,！具有明显的滞后作用,例1：测速发电机,例2：RC微分网络,例3：理想微分运放,例4：一阶微分运放,微分环节,不同形式 储能元件 能量转换 振荡,例1：机械平移系统,例2：RLC串联网络,振荡环节,二阶微分环节,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,例1：水箱进水管的延滞,延滞环节,Part 2.5 系统方块图和信号流图,2.5.1 2.5.2 2.5.3,方块图 系统信号流图 控制系统传递函数,结构方块图 由方块图求系统传递函数 方块图的绘制,Part 2.5.1 方块图,2.5.1.1 2.5.1.2 2.5.1.3,2.5.1.1 结构方块图,！脱离了物理系统的模型,!系统数学模型的图解形式,形象直观地描述系统 中各元件间的相互关 系及其功能以及信号 在系统中的传递、变 换过程。,依据信号的流向 ，将各 元件的方块连接起来组 成整 个系统的方块图。,函数方块图,任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。,求和点,函数方块,引出线,函数方块,信号线,3函数方块(环节) 函数方块具有运算功能,4求和点（比较点、综合点） 1.用符号“”及相应的信号箭头表示 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,! 注意量纲,相邻求和点可以互换、合并、分解。 代数运算的交换律、结合律和分配律。,!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的,方框图的等效变换法则,公式直接法,化简法,代数法,方块图的化简,方块图的运算规则,串联、并联、反馈,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,2.5.1.2 由方块图求系统传递函数,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路,串联运算规则,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。,并联运算规则,反馈运算规则,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个 局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。 确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量 的一条线路列成方块图中的前向通道。 通过比较点和引出点的移动消除交错回路。 先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函 数，然后求出整个系统的传递函数。,方块图求取传递函数-简化法,方块图化简,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系 （输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件 的方框图连接起来，得到系统的方框图。,2.5.1.3 方块图的绘制,2.5.2.1 信号流图及其术语 2.5.2.2 信号代数运算法则 2.5.2.3 根据微分方程绘制信号流图 2.5.2.4 根据方框图绘制信号流图 2.5.2.5 信号流图梅逊公式,Part 2.5.2 系统信号流图,信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一 种信号传递网络。,节点,表示变量或信号，其值等于 所有进入该节点的信号之和。,支路,连接两个节点的定向线段，用 支路增益（传递函数）表示方 程式中两个变量的因果关系。 支路相当于乘法器。信号在支 路上沿箭头单向传递。,通路,沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。,2.5.2.1 信号流图及其术语,输入节点,只有输出的节点，代表系统的输入变量。,输出节点,只有输入的节点，代表系统的输出变量。,混合节点,既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路，可 点变为输出节点。,前向通路,从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。,回路,起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的 闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回 路增益，用Lk表示。,不接触回路,相互间没有任何公共节点的回路,X2、X3,X3、X4,X5,2.5.2.2 信号代数运算法则,2.5.2.3 根据微分方程绘制信号流图,只有一条前向通路,三个不同回路,L1、L2不接触 P1与L1、L2、L3均接触,2.5.2.4 根据方框图绘制信号流图,方块图转换为信号流图,方块图转换为信号流图,G 系统总传递函数,Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）, 流图特征式,所有不同回路的传递函数之和,每两个互不接触回路传递函数乘积之和,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，将与第k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为k。,k,任何m个互不接触回路传递函数乘积之和,2.5.2.5 信号流图梅逊公式,2.5.3.1系统传递函数 仅控制量作用下 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下 2.5.3.2系统误差传递函数 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下,Part 2.5.3 控制系统传递函数,单独处理 线性叠加,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路,系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输 出量与输入量的比值。,系统对控制量R(s)的闭环传递函数,系统对拢动量N(s)的闭环传递函数,2.5.3.1系统的传递函数,系统工作在开环状态， 反馈通路断开。,系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。,(反馈信号B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数),系统 的开环传递数函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(