方程有解问题的常用处理办法.doc

方程有解问题的常用处理办法湖南安仁一中 李春国（邮编423600 电（少年智力开发报数学专页湖南郴州工作站薛珠贵推方程有解的问题实际上是求函数零点的问题，判断方程有几个解的问题实际上就是判断函数有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。 例1（2010年福建理4）函数的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：当时，由得（舍去），；当时，由得，所以函数的零点个数为2，故选C。二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程，可以先转化为方程，再在同一坐标系中分别画出函数和的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。例2（2008年湖北高考题）方程的实数解的个数是 解析：在同一坐标系中分别作出函数和的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。例3（2009年天津高考题）设函数，则（ ）A. 在区间内均有零点B. 在区间内均无零点C. 在区间内有零点，在区间内无零点D. 在区间内无零点，在区间内有零点解析：令，令所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在处取得极小值，又，故选D。四、利用零点存在性定理利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性）才能确定函数有几个零点。例4 设，求函数在区间上有零点的概率。解：，易知函数在区间上单调递增，若函数在区间上有零点，则，即。所以当时，或；当时，或；当时，或；当时，或，故满足条件的事件有8个，其中基本事件有个，故所求事件的概率为五、分离参数法例5（2007广东卷理20）已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围。解法1：时，故在区间上有解在区间上有解在区间上有解问题转化为求函数在区间上的值域。法一：设，令随变化的情况如下表：0+1的值域为其图象如图所示：由此可知可知：，即或法二：令 则利用对勾函数性质可得 即 ，故或.解法2：在区间上有解在区间上有解与 且的图象有交点由 +051、随变化的情况如下表： 1-151函数的草图如下：由图可知：或.评注：利用函数处理方程解的问题，方法如下：（1）方程在区间上有解与的图象在区间上有交点（2）方程在区间上有几个解与的图象在区间上有几个交点例6 设函数（1）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（2）求函数的极值点。解：（1）函数在上存在单调递增区间不等式在上有解 在上有解令，结合对勾函数性质知，所以（2）令于是问题转化为求一元二次方程在上的解！解法一：用直接法直接求解因为，所以当，即时，方程无解，所以没有极值点； 当，即时，对应的，但在的左右两侧导数值均大于0，所以没有极值点；当时，但，所以方程在无解，没有极值点；当时，且，其中是极大值点，是极小值点。综上所述，时，没有极值点；时，有极大值点，极小值点。解法二：用零点存在性定理求解方程在上要有解，要么有一正根，一负根；要么有两个正根，令若方程有一正根，一负根，则应有，但事实上，所以矛盾！若方程有两个正根，则所以，当时方程有两个正根，即和为函数的极值点；当时，方程没有正根，所以没有极值点。解法三：图象法由分别画出和的图象由图可知当时图象有两个交点，对应的方程有两个正根，即和为函数的极值点；当时，的左右两侧导数值均大于0，所以没有极值点；当时，两图象没有交点，方程没有正根，所以没有极值点。评注：本题第（1）问是不等式有解问题，而第（2） 问是方程有解问题，采用了三种不同的方法来处理。例7 已知及，若，使成立，求实数的取值范围。解：易知的值域为，的值域为由得的取值范围是或。例8 已知函数，其中且（1）判断函数的单调性；（2）若，求函数的最值；（3）设函数，当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求的取值范围。解：（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；当时，在和上是增函数，在上是减函数。（2），所以由（1）知在上是减函数且在上也是减函数所以在上是减函数当时，；当时，（3），由（1）知在上是减函数，所以，即又，在上是增函数，所以，即对任意，总存在唯一的，使得成立，故只需，即，为此令，则在上是增函数，而且有，所以时，故所求的取值范围是。评注：一般地：分别定义在区间和上的函数，若，使成立例9（2012年南昌市一模第21题）已知函数在处取到极值2.(1)求的解析式；(2)设函数.若对任意的，总存在唯一的 (为自然对数的底)，使得，求实数的取值范围.解: （1） 由在处取到极值2，故，即,解得，经检验，此时在处取得极值.故（2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减,由 ，故的值域为依题意，记（）当时，在上单调递减，依题意由，得，（）当时，当时，当时，依题意得：（） 或（）解不等式组（）得，而不等式组（）无解。 所以（）当时，此时，在上单调递增，依题意得： 即 此不等式组无解 综上，所求取值范围为本题的解法还可以优化为以下解法快速得解：（2）解：若对任意的，总存在唯一的 (为自然对数的底)，使得（） 或 （）不等式组（）无解；解不等式组（）得， 故所求取值范围是例10 设函数求证：对任意，总存在，满足，并确定这样的的个数。解析：由于于是原问题转化为方程在内有解，并求解的个数。方法一：令因为，（1）当，即或时，方程在内只有一解；（2）当，即时，方程在内有两解；（3）当时，