处理好猜测与证明的关系(1方程组加).doc

推理能力一、推理能力的培养是数学课程的重要目标培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一。推理既包括以三段论为主要形式的演绎推理，又包括以归纳、类比为主要途径的合情推理。这两种推理形式无论是在数学的研究中还是在数学的学习中都是十分重要的。合情推理是获得猜测提出猜想的有效途径，在数学的发现中扮演着不可或缺的角色。演绎推理是数学学科的特点，是确认数学命题为真的推理。但演绎推理所论证的对象往往是由合情推理得来的，同时，由合情推理所得到的猜测必须经过证明（即演绎推理）才能确定其正确性，因此，在数学的发展过程中二者是相辅相成、缺一不可的。关于合情推理和演绎推理在人的发展和日常工作中的重要意义，著名的美国数学家和数学教育家波利亚（GPolya）的一段话给出了很好的回答：“一个认真想把数学作为其终身职业的人，要学好论证推理，-”。在以往的数学教育教学中，我们对论证推理给与了充分的关注，在我们强调的基础知识、基本技能中，都表现出对逻辑的强调，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。但我们对引导学生们尝试着去推测、猜想等关注的不够，也就是说对归纳、类比等合情推理强调的不够。其中的原因可能是多方面的，既有主观认识上，也有客观的原因。（引用史校的话）然而，归纳、类比等与创新思维的联系是非常密切的，因此不注重归纳等合情推理能力的培养，就不利于对学生创新精神的培养，不利于创新型的人才的培养。在义务教育阶段和普通高中的数学课程标准中，都明确提出要让学生经历观察、实验、猜测的过程，要重视培养学生的合情推理能力，并提出了具体的内容要求。例如，高中的数学课程标准中设立了专题“推理与证明”，就强调了培养学生两种推理的重要性，以及如何培养的问题（参见课标）。课程标准中对推理能力的全面要求，推动了课程实施中对合情推理的关注，新课程的数学实验教材以及当前的数学课堂教学中，也都重视了学生探索、猜测的过程，为学生进行合情推理提供机会。同时，由于评价（尤其是选拔性的考试）的导向作用，我们发现在各种类型的学业评价中也增加了对学生观察、探索、归纳、概括、猜测以及证明等能力的考察。但是，归纳、类比等推理与演绎推理不同，它们没有固定的程序和具体的步骤，对它们的理解和把握以及运用更多的是需要学生在学习、探索的过程中自己去感悟和体会。因此为学生提供必要的问题情景和探索性机会，在解决问题的过程中，让学生们亲自去观察、概括、抽象，进而发现规律并作出相应的猜测，是十分必要的。同样，评价学生的推理能力也需要利用恰当的问题情境，以全面衡量学生的推理能力。二、提供恰当的问题情境实现推理能力的培养1、问题的选择应与学生的知识相适应在有关合情推理的教学和评价方面，广大数学教育工作者和数学教师通过自己的努力，营造出学生观察、思考和探索的气氛，也编制出一些可供学生进行这方面探索的问题以及考察学生能力的测试题。例如，如下的一道中考试题就是其中的一例。问题 老师在黑板上写出三个算式，52-32=82，92-72=84，152-32=827，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=812，152-72=822，（1） 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2） 用文字写出反映上述算式的规律；（3） 证明这个规律的正确性。事实上，上面问题的已知条件中，五个等式分两次给出，按照美国数学教育家波利亚的观点波利亚数学与猜想科学出版社, 1984, p2，将前三个等式称之为启发式联想，因为对这三个等式的观察与分析，能够启发观察者获得对某种规律的初步认识，但这样的认识是模糊的；接下来的算式波利亚称之为支持性联想，也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可，这个过程实际上就是获得了猜测的过程。继续下去，对第一个问题的回答，我们可以看成是对前面的猜测进行验证的过程，也可以看成是支持性联想的一部分。而对于第二个问题的回答，就已经是将发现的规律进行一般化的表述，形成猜想了。最后则是给出形式化的数学证明。在完成这个问题的解答过程中，既包含了对所给的算式的观察、分析和类比，又要求在此基础上归纳和探索出规律，并进一步对规律进行数学的表述，最后对此规律进行推理证明。因此，笔者认为这样的一个问题就为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能，作为试题也能全面地考察学生两种推理能力的情况。上面这个例子中，无论是类比、归纳还是推理证明，都是学生们能够完成的，因此，它既适合对学生相应能力的培养，也适合考察学生相关的能力和水平。对于小学生或者初中学生来说，通过对某些问题的观察、分析，进而发现一定的规律并获得猜测是可能做到的，但是要证明这个猜测的正确性有时就是学生们力所不能及得了。例如，问题 计算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，。归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22006-1的个位数字是（ ）。问题 用计算器计算： 请你猜测的结果为多少？ 对于初中生来说，对观察到的结果进行分析，发现其中的规律并猜测结果是可以做到的，但是证明则不是本阶段数学学习所要求的了。那么，与前面的问题相比，在这两个问题中，主要是希望学生通过计算和观察，发现计算结果中的一些规律，对规律的验证只能是再多计算几个式子而已，而对规律的证明在初中阶段就不在要求之列了。因此，这样的问题对学生来说容易形成固定的模式，缺少了一定的挑战性，归纳的味道也不足。2、问题的提出和呈现应保证探究性和科学性还有一些问题，本身是具有探究价值的，但由于问题的提法不当，而使问题的可探究性大打折扣。例如，问题 某公园的侧门口有九级台阶，小明一步只能上1级台阶或2级台阶，小明发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时，上台阶不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21、，这就是著名的菲波那契数列，那么小聪上这九级台阶共有 种不同的方法。实际上，这是一个富有一定探索和推理空间的问题，但由于出题者“不打自招”地将问题的规律道了出来，而且是强加给学生，所以学生思考此问题时就只能是对几个冰冷的数字进行加减计算，发现其规律了。其中还很容易使学生将归纳和推理证明混为一谈，即把归纳代替了推理。再看下面的例子，其中的问题更加需要给与关注，否则就会出现学科上的问题。例如：问题 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下，输入12345输出当输入数据为8时，输出的数据为 。问题 观察分析下列数据，寻找规律：0，3，2，3，那么第10个数据是 。类似这样的例子在目前的各种练习册以及考试的试题中会经常见到，而且通常从这类问题的表述上我们可以看出，它们所要求的答案似乎是唯一确定的，学生们需要通过观察、试误等的方法找出所给出的一组数的特征，并依此特征给出答案。如，对于问题，答案是这样给出的：因为，所以输入n时，输出的数据为，所以当n=8时，输出的数据为。类似的，问题给出的答案是：因为0=， ，所以第n个数据应是，当n=10时，所对应的数据是3。对于中学生来说，这样的解答似乎是合理的。然而，事实上这样的问题的答案不仅不是唯一的，而且可以是无穷多个。我们可以构造出无穷多个类似于上述的及的所谓的通项公式，这些通项满足题目中给出的前几项的要求，而且依此通项我们可以使所求的项中的数值是任意的。例如，对于问题，当输入数据8时，我们可以使输出的数据为任意数M，具体做法如下：定义多项式函数y=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,并令其满足，当x=1，2，3，4，5,8时，y=M。由此我们能够得到一个关于an(n=0,1,2,3,4,5) 的方程组， a5+a4+a3+a2+a1+a0= 25a5+24a4+ 23a3+ 22a2+ 2a1+a0= 35a5+34a4+ 33a3+ 32a2+ 3a1+a0= 45a5+44a4+ 43a3+ 42a2+ 4a1+a0= 55a5+54a4+ 53a3+ 52a2+ 5a1+a0=85a5+84a4+ 83a3+ 82a2+ 8a1+a0=M解这个方程组，求出an(n=0,1,2,3,4,5)，就得到了满足条件要求的多项式函数，即按此规律（多项式函数），它不仅满足原来题目已知的几项的要求，也能够使第8项有随意选择的余地，同样地，问题的解答也是可以任意地选择一个实数添入空格内，并能类似地写出其满足的规律。因此，从这个意义上讲，很多类似的问题的提法上就显得不那么严谨了，尽管这些还不至于使中学生产生怀疑。三那么，与问题类似的提法不严谨的探究规律的问题是不是这样就无法提供给学生了？如何改进这些问题情境呢？进一步的，如何为学生提供可供探究和思考、既包含合情推理有包含演绎证明的问题情境呢？ 其实，对于问题和问题这样的一类问题，我们是希望学生能通过观察、分析，发现一定的规律，而且整个的思考过程应该有一定的理性基础，即要么能证明之，要么能说明规律和理由，比如，我们的问题可以表述为，“观察下面的几个数，那么第个数可以添几，理由是什么？”，这样的提问，既避免了问题的漏洞，更主要的是增加了使学生进行理性思考意识和能力的要求。另外，应多为学生提供一些像问题那样的问题情境，给学生创造出既可以探究规律又能够加以证明的机会，一方面，提高学生的归纳、类比的能力，同时也能体会到合情推理与演绎推理之间的相依关系，发展学生的推理能力。事实上，前面提到的问题，如果经过适当的改造，也可以成为一个利于探究和证明的较好的素材。如，可以让学生在规定的前提下（每一步只能上1级台阶或2级台阶）自行探究台阶数分别为1级