大纲版高二数学下§6.3不等式证明(修改稿23-32页).doc

魔法数学大纲版高二数学下不等式 第32页（共10页）* 63 不等式的证明(1) *魔法石核心知识归纳：不等式的证明方法较多，本节主要介绍四种基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法，但不管哪种方法都要用到以下一些结论。a20（aR）(a-b)20（a、bR）变形形式 a2+b22ab ab a2+b2(a+b)2若a、bR+，特别+2a2+b2+c2ab+bc+ac （a、b、cR）1比较法：原理：等价性方法：比差分解因比或配方判定符号 比商整理成某一已知正数判定与1的关系2综合法：原理：由因导果方法：分析已知与求证之间的关系，不等式左右两端的差异与联系，合理利用一些已知结论进行变换。3分析法：原理：执果索因方法：寻找每一个要证不等式成立的充分条件。格式：要证命题B真，只需证B1真，要证命题B1真，只需证明A真，由已知A真，故有B真。4反证法：原理：原命题与逆否命题等价方法：从否定结论出发，推出与已知或与公理、定理相矛盾的结论，从而断定原不等式成立。找捷径难点疑点突破：1方法选择：不等式两边为多项式且作差后能迅速分解因式或配方的宜用比差法。 不等式两边为单项式，宜用比商法。不等式一边为多项高次，另一边为低次或单项，宜用综合法。不等式两边为分数指数或分式形式的多项式，宜用分析法。顺序较困难的至多、至少或存在性不等式宜用反证法。2几种的区别与联系：综合法与分析法的区别与联系：区别：两种证题方法书写格式不一样，但分析法过程倒过来写就是综合法。联系：用综合法证题时，就包含了分析的过程。分析法与反证法相同与不同：相同点：都是从要证不等式出发，寻找一种已知结论。不同点：分析法从正面寻找正确结论。 反证法从反面寻找矛盾结论。1比较法证明不等式，比差还是比商当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用比差法。当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式时，常用比商法。例1：设a、b为不等的两个正实数，求证：2(a5+b5)(a3+b3)(a2+b2)证明：2(a5+b5)-(a3+b3)(a2+b2)=a5+b5-a2b3-b2a3=(a3-b3)(a2-b2)且已知ab，a、b均为正数，a3-b3与a2-b2符号相同，即(a3-b3)(a2-b2)0故2(a5+b5)(a3+b3)(a2+b2)这里如果用比商法，则不妥，因为作商后的代数式不好再进行变形来判定与1的关系。2分析法与综合法的区别例2：已知a、b、cR+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2证法1：分析法a2+b2+c23(a2+b2+c2)13(a2+b2+c2)(a+b+c)2 a2+b2+c22(ab+bc+ca)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 原不等式成立执果索因，若过程可逆推，则将分析法过程逆过来写，就是综合法。证法2：综合法1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)又2aba2+b2，2bcb2+c2，2cac2+a22(ab+bc+ca)2(a2+b2+c2) a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(a2+b2+c2)a2+b2+c2(a+b+c)2=由因导果，分析法从正面寻找结论；组织充要条件，从反面寻找使假设不成立的矛盾。3分析法与反证法的区别证法3：假设a2+b2+c2，则3(a2+b2+c2)1=(a+b+c)22(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 这是不可能的a2+b2+c2把反证结论作为条件，进行分析推证，得出矛盾，它是综合法与分析法的有机结合。金钥匙解题规律与技巧：1比较法证明不等式例1：a、bR，求证：a2+b2+1ab+a 已知m、nR+，求证：解题规律：对作差后不能直接分解因式或配方的不等式，经常需要凑配恰当的字母系数或重新组合后，再配方或分解因式，从而达到能判定符号的目的。解析：不等式两边均为多项式，直接用均值不等式不能解决问题，但作差后能分解因式或配方。证明：a2+b2+1-ab+a=(a2-2ab+b2)+a2-2a+1+b2+1=(a-b)2+(a-1)2+b2+10a2+b2+1ab+a解析：不等式左边为和，右边为积，但这个积不是，那么与是否有一定的大小关系呢？按原命题应有。解题规律：找一个中间数作为媒介，再利用传递性来证明不等式，实际上就是一个放缩的过程。这种技巧证题的关键是要认真分析出不等式两边会接近一个什么样的中间数，一般地从最常用的不等式去想问题。因为在不等式的证明中，均值不等式是时刻要想到的。证明： W=解题规律： 在判定字母与具体数字的大小时，时常需要进行讨论，使模糊问题明晰化。则：当mn时，1，m-n0，即W1 当m=n时，W=1 当mn时，01，m-n0，即W1故对任意的m、nR+，均有2分析法证明不等式例2：a、b、c是三角形的三边，求证：+ 已知abc，求证：+分析：由于从已知出发，难以得到解题的思路，推证的方向，故改从结论入手，采用分析法去寻找结论成立的条件。证明：要证+成立，解题规律：本题的问题及的证法1，其分析法的论证过程的每一步皆是前一步的充要条件，但分析法在理论上只要求提供前一步成立的充分条件即可，而问题的方法2中的(a-b)-1(b-c)-1就仅是前一步(a-b)-1+(b-c)-1(a-c)-1充分而非必要条件。一般地，分式不等式较一般不等式复杂，故一般用分析法证明。本题中的问题，若注意到三正数的关系：(a-b)+(b-c)= a-c，则可采用三角代换来证，即令a-b=(a-c)cos2，b-c(a-c)sin2(0)，从而有左边=()=()右边。只需证成立即证，只需证只需证，只需证cm2-abc2mab+m2(a+b)即证m2c-(a+b)ab(2m+c)在三角形中，有ca+b，又m0，故上式左端小于0，右端大于0，说明这个不等式是成立的，故要证的不等式成立。方法1：要证+，即证由已知a-b、b-c、a-c均为正数，故只需证(a-c)2(a-b)(b-c)即证(a-b)+(b-c) 2(a-b)(b-c)，只需证(a-b)2+(b-c)2-(a-b)(b-c)上式左端为正，右端为负，故成立，所以原不等式成立。思维互动生：从这个不等式的证明过程可以看出逆推也是一种证法，是否还存在其它从右到左的证法呢？师：将右边通分就可得+=bc+ca+ab=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)(c2+b2+a2)= c+ b+ a=+方法2：证+，由已知0，故只需证，再由a-b0，a-c0，则只需证a-ba-c，只需证c-b0，由已知c-b0成立，故原不等式得证。点金术思维拓展发散：例1：已知正数a、b、c互不相等，且abc=1，求证：+证明：a、b、c互不相等的正数，且abc=1，+=+=+方法规律：一般地，不等式两边复杂程度差别不大时，既可从左证到右，也可从右证到左，但有时难易程度不同，故在分析问题时，若从左找不到好方法，则可以从容不迫右边来找突破口。3综合法证明不等式 例2：若a0，b0，且a+b=1，求证：(a+)2+(b+)2分析：x2+y22xy 2x2+2y2(x+y) 2即()2证明：(a+)2+(b+)2( a+b+)2 又a0，b0，及a+b=1，且a+b+22=4，故+4(a+)2+(b+)2(1+4)2=方法规律：运用基本不等式的变式，将平方和变为和的平方，向已知条件靠拢，这是思考问题的一种方法，然后加上已知条件推证出欲证不等式，这正体现了综合法的特点。例3：如果三角形的三边a、b、c成等差数列，求证：b边所对的角不大于60。证明：由a、b、c成等差数列，2b=a+ccosB=-=而B(0，)，B方法规律：在三角形内考虑与一个角有关的问题，一般地用余弦定理，再利用余地弦函数单调性，由值的大小关系得出角的大小关系。4反证法证明不等式例4：实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，且ac+bd1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数。分析：本题属于至多、至少问题，应从反面分析较简单。证法1：假设a、b、c、d都是非负数，由a+b=c+d=1知：a、b、c、d0，1从而有ac，bdac+bd=1，与已知ac+bd1矛盾证法2：假设a、b、c、d都是非负数，则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ab+cd)ac+bd这与已知ac+bd1矛盾。证法3：三角代换假设a、b、c、d都是非负数，由a+b=c+d=1可设a=cos2，b=sin2，c=cos2，d=sin2，则ac+bd=cos2cos2+ sin2sin2cos2+ sin2=1方法规律：至多、至少、存在问题从正面论证较为困难，宜用反证法。例5：已知0，证明2sin2cot，并讨论为何值时等号成立。证明：欲证不等式成立，只须证4sincos因0时，sin0，故只须证4sin2cos1+cos4(1- cos2) cos1+cos(1+cos)4(1- cos) cos-1 0思维互动：生：在用分析法证题时，什么时候能用“”符号，什么时候不能用？师：只有相邻两式间互为充要条件时才能使用，否则不能用“”符号，而只能用要证、可证格式。-4(1+cos)( cos-)20由1+cos0，( cos-)20知，最后一步成立，并且步步可逆，得证原不等式成立。又由最后一步知，当( cos-) 20时，=60，不等式取等号。方法规律：在证明三角不等式时，需认真观察不等式的两边，分析怎样统一角和函数名称。第一步是统一角，用了倍角公式与半角公式；第二步是统一函数名称，用了平方和公式；第三步配方是通常的代数运算。本例用作差法可写成：左-右= -0试试看潜能挑战测试：基 础 知 识1已知a、b为正数，下列不等式不正确的是（ ） A+2 B+a+b C+ D+2若0x1，且0y1，xy，则x2+y2，x+y，2xy，2中最大的一个是（ ） A2xy Bx+y C2 Dx2+y23已知ba0，a+b=1，下列四个中最大的是（ ） A-1 B C+1 D 4、R，则“2，2”是“+4且4”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件5设0x1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（ ） Aa Bb Cc D不能确定6已知a、b、c、dR+，则(+)(+) 。7若xy0，则的大小关系是 。8若 a2+b2=1，c2+d2=1，则abcd的取值范围是 。；思 维 拓 展13已知a+b0，求证：+14已知a、b、cR+，求证15已知正数满a、b、c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)8abc16(1)已知a、b(0，1)，求证：+ (2)已知x、yR+，xy=1求证：+17已知p、qR，且p3+q3=2，求证p+q2应 用 创 新9某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲：第一次提价m%，第二次提价n%；方案乙：提一次提价n%，第二次提价m%；方案丙：每次提价%，如果，那么提价最多的方案是 。10一批救灾物资随17列火车以v公里/小时的速度匀速直达400公里外的灾区，为安全起见，两辆火车的间距不得小于公里，问这批物资全部到达灾区最少要多少小时？11某厂生产一批无盖的圆柱桶，每个桶的容积为m3，用来做底面的金属3元/ m2，做侧面的金属2元/ m2，问如何设计，才能使成本最低？（提示：V圆柱=底面积高）12甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例常数为b，固定部分为a元。(1)把全程运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域。(2)为了使全程成本最小，汽车应以多大的速度行驶？标准答案与提示1C点拔：可用特值法检验；分析法证明2B点拔：x+y22xy，又x+yx2+y23B点拔：ba0，且a+b=1，1ba0，a2+b22ab1+，又b，=-1由计算知：ba2+b2，4A点拔：令=3，=否定必要性5C点拔：0x1，b=1+x2=a，又-(1+x)=0，即cb64点拔：两个括号内分别使用均值不等式7点拔：18-，点拔：|abcd|=9+-=0，等号不成立。10要证，只要证4(lgc-lga)(lgc-lgb)(lgb-lga)(lga-lgb)只要证4lg2c-4lgclgb-4lgalgc+4lgalgb2lgalgb-lg2a-lg2b即要证lg2a+lg2b+4lg2c+2lgalgb-4lgclgb-4lgalgc0，只要证(lga+lgb-2lgc) 20，显然此式恒成立，原不等式成立。11a、b、cR+，a+b+c=1，(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)2228abc12（1）a2+b22ab，+=（2）+=1+1+=13证明：假设p+q2，即p2- q，p3(2-q) 3=8-12q+6q2-q 3，即8-12q+6q2-(q 3+p3)0，将p3+q3=2代入，得6-12q+6q20q2-2q+10，即(q-1)20，qR，(q-1)20，假设不成立，p+q214解：设饮料原价为a，则两次提价后的价格为：方案甲：a(1+m%)(1+n%)；方案乙：a(1+n%)(1+m%)；方案丙：a(1+%)2由(1+n%)(1+m%)()2=(1+%)2知：甲、乙方案一样，丙方案提价最多。15解：最后一列车等待出发的时间为：=，又最后一列车行驶全程用时：，t=+2=8当且仅当=时，即v2=10000v=100时等号成立。tmin=816解，设圆柱体的底面半径为r米，高为h米，成