数学物理方法3幂级数展开.ppt

1,解,f()=2i(32+7+1), 根据柯西积分公式知,“数学是无穷的科学”赫尔曼.外尔,第三章 幂级数展开,3,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,4,无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3， wn， 写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？,为什么要研究级数？ (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) 常微分方程的级数解。 研究级数需关心的问题： (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,5,3.1 复数项级数,(一)复数项级数 1 定义 设wn(n=1,2,)为一复数列,表达式 的称为复数项级数，其中 是复数。,2 部分和,级数前面n项的和,若部分和数列sn(n=1,2,)有复数极限s,即若,(3.1),本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。,6,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成,若复数列sn(n=1,2,)没有极限,则称级数(3.1)为发散.,7,的敛散性.,0,=,n,n,z,分析级数,例1,8,3.复数项级数收敛的条件,证,因为,(1) 定理,9,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理),10,(3) 绝对收敛定义,注1： 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.,(2) 柯西判据：对于任一小的正数 ，必存在一 N 使得 nN 时有,式中 p 为任意正整数.,11,解,所以原级数发散.,例1,所以原级数收敛.,注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。,12,（二）复变函数项（简称函数项）级数：,设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数,当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。,由于函数项级数定义在区域 B(或曲线l)上，所以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。,13,1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件,定义：任给 0，存在一个与z无关的自然数N ()，当,n N ()时，对B(或l)上所有z，均有：,(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。,一致收敛级数的性质,性质1： 若wk(z) 在B内连续，函数级数 在B内一致收敛，则和函数w(z)也是B内的连续函数。,这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。,14,性质2： 若级数 在区域B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：,15,绝对一致收敛,这是一种特殊形式的常用函数项级数。,3.2 幂级数,幂级数：通项为幂函数的级数:,（一） 定义,16,（二）幂级数的敛散性,1. 阿贝尔定理 如果级数 在z0点收敛，那么在以a点为圆心， 为半径的圆内绝对收敛，而 上一致收敛。,如果级数 在z1点发散，则在 内处处发散。,由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛 散性。,2.求收敛圆半径R的公式,绝对收敛是指 收敛，后者为正项 级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确,17,(1) 比值判别法,引入收敛半径,定收敛半径 R。,绝对收敛,发散,绝对收敛,发散,则若:,级数,的柯西判据,所以,绝对收敛 .,18,所以收敛半径为,（2）当,19,(2) 根式判别法,发散,所以,绝对收敛,对应级数绝对收敛,则若:,20,如果:,(极限不存在),4. 复变幂级数在收敛圆内的性质,那么,21,且可表为连续函数的回路积分。,22,证明: 记 CR1上点为， CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为,23,且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导,证明:幂级数 乘以,24,故收敛半径,解,25,解,例2,求 的收敛半径.,26,例3 计算,解:和函数,27,5.幂级数的运算与性质,在收敛半径R=min(r1,r2)内:,(2)幂级数的代换(复合)运算,28,思考,思考题答案,不一定。,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,数敛散性讨论。,思考题答案,29,3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3),本讲作业,30,3.3 泰勒级数展开,上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析 本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。 解析函数与幂级数的密切关系,其中展开系数 ak 称为泰勒级数,如图：设 f (z)在区域内解析，z0为内任一点，为z0到区边界的最短距离，则当| zz0 | R 时， f (z)可展开为泰勒级数,(一)解析函数的泰勒展开定理,CR1为半径为的圆。,31,证明： 1. 设f(z)在内解析, 在图示的CR1圆上应用柯西公式,其中z为圆CR1内某一点,| zz0 |=r，CR1为包含z的圆，| z0 | = R,(0 r R) ，为CR1上的点。,如图:,32,2. 将被积函数变成级数,利用 将 展开成以z0为中心的级数,被积函数写成：,3. 将上式沿CR1积分,级数 在CR1上一致收敛 和 f () 在CR1上有界,33,级数 在 B内一致收敛 逐项积分,于是,其中,4. 展开式是唯一的,34,若 f (z)能展开成另一种形式：,(1) 那么当 z = z0：,(2) 对z求导：,展开式唯一,35,来求 ak 。,由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式,说明：,(1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系： a. 幂级数在其收敛圆内解析； b. 解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。,(2) 如果f(z)在B内有一阶导数存在，则f(z)可在B内每一点的,邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f (x) 的一,阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x) 就不可能展开成泰勒级数。,36,因为 解析，可以保证无限阶导数的连续性;,注意：,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。,说明:,37,(三)将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例1，,故有,38,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式。,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛。,39,例2,40,附: 常见函数的泰勒展开式,41,42,例3,解,上式两边逐项求导,43,例4*,分析,如图,44,即,将展开式两端沿 l 逐项积分, 得,解,45,3.4 解析延拓,解析延拓：将解析函数定义域加以扩大,例; 幂级数： 在以z =0为圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令为 级数的收敛域B即解析函数定义域半径R=1 。,在单位圆B内，取一点z0=i/2 为圆心进行将f1(z)泰勒展开 这级数的收敛域b的半径为,（一）解析延拓,46,上例说明，收敛域b 跨出原来的收敛域B 之外，而级数(1)在收敛域B内. b 代表解析函数 f2(z)，于是称 f2(z )为 f1(z) 在 b内的解析延拓。,定义：若f1(z)和f2(z)分别在B,b内解析，且在B与b重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在b中的解析延拓， f1(z)为f2(z)在B中的解析延拓。,可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) 的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。,B,b,47,首先在B1 内任取一点 z0，将 f 1 (z)在 z0 的邻域展开成泰 勒级数 设级数的收敛区域为B2。如果B2超出了B1的范围。由于在 B1和B2的重叠区域 f1(z)= f2(z)，所以 f2(z) 就是 f1(z) 在 B2中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析Bn,fn (z) (n=2,3.)。 一个解析元素Bn,fn (z) 的全部解析延拓的集合，称为 f1 (z)所产生的完全解析函数 F(z)，F(z)的定义域是邻解析元 素给出的定义域的总和。,(二)泰勒级数展开解析延拓的方法,48,3.3 (1)（3）(6）(8),本讲作业,49,3.5 洛朗级数展开,(一)问题的引入,50,例1.,都不解析,所以,51,由此推想，若f (z) 在R 2z - z0R1 内解析,f (z) 可以展开成含有负幂次项的级数,即,52,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函 数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在 孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数 的基础。,53,(二)洛朗级数,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,54,证,对于第一个积分(CR1):,55,对于第二个积分:,所以,因为,56,则,57,则,对于C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,58,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,59,(三)函数的洛朗展开式,常用方法 : 1.直接法 2.间接法,1. 直接展开法,利用定理公式计算系数,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,2. 间接展开法,60,例2,解,目标求ak,令f1=e,则f1=e在闭合回路C内和C上均解析， 故由解析函数的导数公式,即有,如何计算ak?,61,间接法解：直接展开ez,62,例3,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,间接展开法,63,是泰勒级数,64,由,且仍有,65,此时,66,仍有,67,说明:,68,解：间接法 即通过展开sinz为级数求解：,例4,.,0,sin,0,洛朗级数,的去心邻域内展开成,在,将函数,=,z,z,z,69,3.6 孤立奇点的分类,定义：若函数f (z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域 内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。,(一)孤立奇点的概念,例1,70,解,的奇点存在,函数的奇点是1/z=0和sin(1/z)=0对应的点，即,总有,71,定义 设z0是解析函数f (z)的孤立奇点，f (z)在点z0的某去心邻域 内的罗朗展式为,(1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f (z)的可去奇点；,(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)项负幂项，则称z0是f (z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m1，称z0是f (z)的单极点或m阶的极点；,(3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f (z)的本性奇点。,(二)孤立奇点的分类,72,说明: (1),补充定义,1可去奇点,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,73,2) 可去奇点的判定,(1) 定义判断:,(2) 极限判断,若极限存在且为有限值,如果补充定义:,时,74,解 由定义判断,无负幂项,极限判断,75,2. 极点,即,或写成,1) 定义,负幂项,76,说明:,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,是一级极点.,77,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1) 定义判别,(2) 定义的等价形式判别,78,本性奇点,3.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,79,(三)函数在无穷远点的性态,1. 定义,80,作变换,并且规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,81,2 结论:,3 规定:,m级奇点或本性奇点 .,82,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 级极点;,3)本性奇点 .,判别法1 (利用洛朗级数的特点),4.判别方法:,83