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几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明一、几种初等函数的本质平面上一动点M到一定点的距离为MF，到一定直线的距离为MN，=e。当0e1时，M的轨迹为椭圆当e1时，M的轨迹为双曲线当e=1时，M的轨迹为抛物线双曲线的一般定义：平面内到两定点，的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当2a2c时，轨迹不存在，当2a=2c时，轨迹是两条射线，当2a2c时，轨迹是双曲线。椭圆的一般定义：平面内到两定点，的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即当2a2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段，当2a2c时，轨迹不存在。二、抛物线抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。如图，M为一动点，F为一定点，N为M到定直线L上的垂线MN的垂足N。直线L叫做抛物线的准线，定点F叫做抛物线的焦点。如图在抛物线的定点建立直角坐标系。当M位于顶点时FN=FM+MN，因为FM=MN所以当令FN=P时=。由以上得F（0,）,准线L的方程为y=。由抛物线的定义可得点M的方程，化简后得抛物线的标准方程：。抛物的标准方程有如下几种形式：三、椭圆动点M（x，y），定点F（c，0）或者（-c，0），定直线x=，离心率e=。动点M（x，y）。由集合内的公式得=,将上式两边平方化简后得到：。设，此时原方程可化为：或者当焦点位于Y轴上时：。此方程即为椭圆的标准方程，动点M的轨迹为长半轴a短半轴为b的椭圆。四、双曲线根据双曲线的一般定义: 设，、。设M是一动点。由图知： -=移项得：平方得： （*）再平方得：即，令则，即反之：设是上的点，则，=，当时， ，有；当时，有综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.焦点是F1(0，c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点将方程推导过程中的方程（*）做变形可得，即，且。其几何意义是双曲线上的点满足到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个
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