环境系统分析教案.ppt

第一章 概述 一.系统：由两个及两个以上要素组成，它们相互独立 又相互作用与联系，构成能完成特定功能的完整有 机体。 从系统的定义可知系统具有以下四个基本特征： 1.集合性 各要素所构成的具有特定功能的集合体。（根据逻辑统一性要求来构成）各要素不完善也可能构成良好功能的系统，要素良好也可能作为整体却不具有某种良好的功能。（例如球队组成） 2.相关性 系统内各要素既相互作用又相互联系，构成有机整体。 3.目的性 系统特别是人造系统都具有目的性，要达到规定的目的，系统都具有一定的功能，目前一些尚不能控制和改造的自然系统不属于此。 4. 环境适应性(自身调节） 任何一个系统都存在于一定的物质环境中，必须适应外部环境（信息、物质、气象等等）的变化。,二.系统分析与系统模拟 1.系统分析 它研究系统中各要素的具体性质，解决系统要素的 具体问题之外（分解），还着重研究和揭示各个要 素的有机联系，特别是研究如何使得系统中各个要 素的关系协调融洽，达到系统总目标最优的目的。（综合） 2系统分析过程 系统分解 -系统综合-运用系统工程方法求解,举一个浅近的例子： 一个人，只有一个炉子，准备一顿饭菜。目标是耗费 时间最少。 系统分解，初估各单项任务所需时间 如： 淘米 洗菜 切菜 烧水 烧饭 炒菜 5分钟 6分钟 5分钟 7分钟 12分钟 7分钟 系统综合：找出各部分的相互联系及制约 如：先后次序的限制；工作转换的间隙；人手的 忙闲；炉子的忙闲等。,运用系统工程方法求解：（作图法） 只需26分钟完成全部工作，若6件事连着做，则需42分钟，未增加劳动强度及先进设备就节省38%的时间。,更重要的是，系统分析的结果还揭示提高效率的关键所在，这方面的意义远远超过前者。 通过上面系统分析，可提出进一步缩短总时间的可能性，如：烧水和淘米要同步加快，洗菜、切菜要和烧饭同步加快，炒菜可单独加快，以免盲目加快无效果，如：单纯地提高洗菜速度就不能节省总时间，仍需26分钟。 环境系统问题也与此类同，只是由于条件、任务、目标不同，对某一治理单元设备盲目要求高的处理指标未必能改善环境效益，也许是徒劳。对于标准的制定也同样有系统问题。 系统分析的过程是对系统的分解和综合，系统分解和综合的过程都要建立和运用数学模型，定量分析是必要的。,例2 环境中的系统工程决策问题，如污水处理厂的选址,城镇,污水厂,河,3、环境系统工程的思路结构,环境系统分析=环境科学+系统分析方法学 （1）数据的收集-污染源数据、浓度数据、水文数据气象数据、社会经济数据 （2）系统与过程的模型化-用数学模型描述系统的过 程及其相互关系 （3）系统模拟-验证模型再现真实情况的程度，使模拟的结果与试验监测数据相符 （4）方案优化-根据建立的数学模型或定量关系对系统中各种可能的状态，进行预测，提出方案，并采用适当优化的方法对方案进行评价决策。,(5)系统评价，主要包括： 系统的功能（所起作用与所应完成的任务） 系统的费用（寻求低费用） 系统的可靠性（系统的各层次和组成部分，在预定期限和正常条件下，运行成功的概率）。 系统实现的时间（建立一个系统所需的时间） 系统的可维护性（长期运行过程中应便于维护管理） 系统的外部影响（对诸如生态平衡影响、资源和能源消耗等） (6)设计实施：根据最优化结果进行实施控制，包括建立具体实施方案和具体实施行动。,数学模型是主要工具 主要参考书目： （1）美列奇著环境系统工程，水利出版社，1981 （2）日高松武一郎，内藤正明 美林三方合著环境系统工程，中国环境科学出版社，1985。 （3）付国伟、程声通主编，水污染控制系统规划，清华大学出版社，1985。 （4）程声通等编，环境系统分析，高等教育出版社，1990。 （5）孟繁坚，杨汝均编，环境系统工程导论，烃加工出版社1987年。 （6）韦鹤平，编著，环境系统工程，同济大学出版社，1993.4。,第二章,数学模型概述 1 模型定义、分类 、建立 一、基本概念： 1、 原型：客观事物本身，其状态(由许多 状态参数决定)在不断变化之中。 2、 模型：用少数(主要)状态参数描述、模 拟客观事物状态变化的工具。（数学 模型，物理模型）,二、模型分类： （一） 模型分类 （1）物理模型：用物体本身或者按比例放大或缩小的实物做实验,模拟客观事物(原型)状态变化。（遵循相同的物理、化学变化规律）如：太阳系九大行星运行（对应万有引力公式），葛洲坝室内比例缩小模型； （2）数学模型：用一系列图表、数学公式通过计算描述客观事故(原型)主要状态的变化。数学公式可以是统计的统计模型，可以是描述物理(化学)运动的机理模型。 y=f(x1, x2, x3,) （3）文字模型：如技术报告、说明书等（在物理、数学模型度很难建立时使用）,（二）数学模型分类 （1）按认识程度分： A）黑箱模型：因果关系不明，只有输入、输出统计关系；仅在一定区间内基本正确； 例：污水处理厂提供的3月日常监测台帐如下表所示，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的数学模型。 设：入水COD量为输入 x 出水COD量为输出 y 方程为：Y = 0.137X + 43.257,黑箱,输入,输出,表,3月 4月,B）白箱模型：因果关系十分清楚，物理、化学运动机理(参数)完全掌握；可精确描述事物运动状态的全部变化，又称机理模型 如：工厂投入确定数量人力、资金、原材料 - 各种加工程 序-确定数量的产品 或： （作用力）F=ma（加速度） C）灰箱模型：复杂问题，主要因果关系清楚，但许多机理细节(参数)不明，可描述事物运动状态的大致变化，与实际情况有一定误差，又称半机理模型。 (摩擦力） f=a（摩擦系数）*N（正压力） 模型参数：,参数,（2） 白箱、灰箱数学模型的细分（重要） A）动态模型：含时间变化项S=f(t,X,Y,Z)； 例: 1. (距离)s =(速度) v *(时间)t 2. 稳态模型：不含时间变化项S=f(X,Y,Z)； 例： 万有引力公式：F=G*m1*m2/R*R B）线性模型：函数、自变量都是一次项； y=ax1+bx2+cx3+k 非线性模型：函数、自变量中有二次项及二次以上的项与超 越函数； y=ax2+bx+c y=aex1+bx2+cx3 超越函数:自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。,C）常系数(参数)模型：不随时间、空间变化； f=k*N (k 摩擦系数） 变系数(参数)模型：随时间、空间变化； 中的Ex为湍流扩散系数 D）空间0维Y=f(t)、一维S=f(t,X)、二维 S=f(t,X,Y)、三维S=f(t,X,Y,Z)； 解为： 问题：下列模型分别是什么模型？,E）解析模型：用解析公式表达表达微分方程 的解； 数值模型：用计算值表达微分方程的解。,三、数学模型的优点：成本低，周期短，自由度大；缺点：参数不明情况下误差大。参数的确定常要用到物理模型和现场实验方法(费用大)。 四、模型建立： 基本要求：1）理论(有关概念及其应用)正确；输入数据可靠； 2）形式简单、实用 3）有足够的精确度； 4）含可控变量，适用性强。,环境建模过程： 1）有关数据收集：水文、气象、污染、污染 源、 经济；通过数据分析确定问题的性质、 涉及的领域，需要那些变量，变量之间的关 系。 2）模型结构选择：选择白、黑、灰箱模型；（物 理、化学、生物过程），确定模型具体形 式；模型性质确定：动态、稳态、几维运动 等问题； 3）模型参数确定：实验数据收集，最小距离法 估算(最小二乘法）（例2-1） 4）模型检验与修正,例1.下表是十二胺在水中的降解数据 时间（h) 0 1 3 5 7 9 23 27 浓度(mg/l) 2.3 2.22 1.92 1.6 1.52 1.07 0.73 0.5 1步：取得调查或试验数据 2步：确定模型结构 3步：确定输出输入关系配线过程,常用线型：,Y=lnx,Y=ax2,Y=ae-bx,Y=ax-1,符合Y=A*e-bx关系 因此确定函数：C = C0 e - k t （ 2-1式） 4步 ：求C0及参数、k： 求C0：t=0, C0 = C ( 0 )；2.30 求k：对C = C0 e - k t 求对数， 得：lnC = lnC0 kt 令：lnC = Y，lnC0 =Y0 得： Y =Y0 kt。(直线关系） 问题：能否通过直接将某点 C值带入2-1式，求得k吗？ （作业）,Y0即一维线性回归线的截距，k为斜率。可用最小 二乘法、图解法求。 （作业） 5步(模型检验): C* = 2.30 e-0.0519 t， 代入t ，得C*( t) 与C ( t )比较误差分析 (作业） 预习：概率统计最小二乘法，回归方程等内容,2 数学模型的参数估值、误差分析、 一、模型参数的估值方法 模型参数：由于人们对研究对象某方面的认识不够深入，出于模型 量化的需要，可用一些经验系数来代表这些量，模型中 含有的一个或多个经验系数，就叫模型参数，参数不能 通过推导得出，需试验获得。 例： f=k*N (k 摩擦系数） 1、图解法 （应用范围：函数关系为一元线性关系，或可通过 转化变成一元 线性关系 ） (1) 已知函数关系式：y=mx+b ,其中m,b为待定参数，有一组实 测数据： xi (i=1,2,3,) yi (i=1,2,3,),图： y=mx+b (2)有些非线性问题，可以线性化后，再使用图解法 如：C = C0 e - k t 两边取对数：lnC=ln C0-kt 令: y=lnc, b= ln C0 得：y= -kt +b 2 一元线性回归法 （最小二乘法）,* (x1,y1),*(x2,y2）,*(x3,y3),*(x4,y4),*(xn,yn),*,*,b,截距,设数学模型为y=b+mX， X，y，用最小二乘法，求b,m y=b+mX 误差 di=yi-yi= yi- (b+mX) 总误差 z = d12+ d22+ d32+ dn2= z=f(b,m) b,m取值要求使总误差z最小，其必要条件为：,*,* （xi, yi),*,*,*,di,xi,yi实测值,*,yi为计算值,由此求得最佳m,b,例2：已知一组数据，适合线性方程y=mx+b,使用最小二乘法求参数m,b. x i 1 2 3 5 7 9 10 12 18 yi 2.9 5 7.1 11.5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65,表2 x i 1 2 3 5 7 9 10 12 18 =67 yi 2.9 5 7.1 11.5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65 =147.35 Xi2 1 4 9 25 49 81 100 122 324 =737 Xiyi 2.9 10 21.3 57.5 109.9 170.1 219 308.4 695.7 =1594.8 作业：用最小二乘法求参数m,b 答案：方程：Y=0.814+2.09x 3.多元线性回归分析 方程形式：y=a+b1x1+b2x2 （待求参数，a, b1,b2) 采用最小二乘法得到：,a=y-b1x1 b2x2 y的平均值 x1的平均值 x2的平均值 其中涉及变量： Y . X1i X2i ,4.最优化方法简介（非线性关系） 现有 , 需求参数: 基本思路： 利用最小二乘法，有： 逐点误差 di=yi-yi ， （ yi 为实测值， yi为方程值） 总误差z = d12+ d22+ d32+ dn2= 求z为最小值时的 例：通过一组实测的x,y值带入 z= 得： z =(1-3) 2+9( 25）2 1步：任选一点（ 10 20）为（0，0） 2步：求z在该点的梯度：,图,任选点,最低点, 11 , 21, 12 22, 1n, 2n,z, 1, 2, 10 20,3步：由第一点，沿负梯度方向找第二点： 步长 4步：将上述坐标代入z函数，求步长 误差函数：z=(6-3)2+9(90 -5)2 令： =0.0557 5步：重复上述2-4步，依次求得2，3，4n点，直到 z(1n+1, 2n+1)- z(1n, 2n)(足够小的值）。,梯度法估计参数框图,设置参数初值,计算初始z0值,计算该点梯度,计算步长,计算新的参数,计算新的z值,输出参数,二 模型误差分析 1 图形表示法： y=2x y=1/2*y 观测值 y 观测值y： y1 , y2 , y3 yN 计算值Y：y1 , y2 , y3 yN,计算值y,*,*,*,*,*,*,*,*,2 相关系数法：求一组原型数据(观测值)、一组模型数据(计算值)二者之 间的相关 。R 是处在 -1和 1之间的数。其绝对值的数值越大，表示两者的相 关关系越好。 3 相对误差法： 绝对误差： Yi Yi (Yi为实测值， Yi为计算值） 相对误差：ei=| Yi Yi| / Yi 相对误差的统计规律（分布）：,误差的累积频率曲线,),1,(,),(,6745,.,0,2,5,.,0,-,-,=,n,Yi,Y,Yi,e,i,i,i,2,2,),(,),(,),(,),(,1,.,),(,j,j,j,j,j,j,j,j,y,x,Y,X,Y,X,n,Y,X,COV,R,Y,X,Y,X,s,s,-,-,-,-,=,=,中值误差,例3（以例2数据为根据） Y=0.814+2.09x x i 1 2 3 5 7 9 10 12 18 yi 2.9 5 7.1 11.5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65 Yi 2.9 4.99 7.08 11.26 15.44 19.62 21.71 25.89 38.43 = =0.012,),1,(,),(,6745,.,0,2,5,.,0,-,-,=,n,Y,Y,Y,e,i,i,i,三 模型的灵敏度分析 输入 模型 输出， 当 输入 + 模型 输出+ 求“输入”的放大率: = / 高灵敏度模型，“误差”放大，1；如：无线电信号放大器。 中灵敏度模型，“误差”变化不大，1；经济仿真模型，弹导模型。 低灵敏度模型，“误差”缩小，1。如：环境模型。 例如有一模型为：y=a+b1x1+b2x2，输入误差来自：a,b1,b2,x1,x2的取值误差，造成计算值y的误差。灵敏度即为：，。,1, 2, 2,1,3.EXCEL在模型建立中的应用 例3-1 线性回归模型：某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台帐如下表所示，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月份的数据进行验证。,解: 第1步：首先建立Excel的工作表，输入污水处理厂监测的原始数据。在2.2 中已介绍了Microsoft Excel的“分析工具库”。线性回归也是属于该工具库的内容。在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。如果“数据分析”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要通过加载宏安装“分析工具库”，与此同时也将“规划求解”安装备用。 第2步： 在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令，选择线性回归操作。按照对话框要求在Y 值输入区域输入对因变量数据区域的引用，该区域必须由单列数据组成。这里选择输入3月份的出水COD的数据区域；在 X 值输入区域输入对应入水COD数据。回归统计的一些主要结果： Multiple R 0.630237 Intercept 43.25682 X Variable 1 0.136996 标准误差 26.22009 观测值 24,方程为：Y = 0.137X + 43.257 第3步：线性相关的相关系数检验 下表给出了在两种显著性水平a=0.05 及a=0.01下的相关系数的显著性检验表，表中的数值是相关系数的临界值。如果用来检验的观测数据有 n 个，先由观测值计算出相关系数R，于是就有如下结论： (1)如果 |R|R0.05(n-2)，则认为y与 x两者的相关关系不显著，或者说 y与 x之间不存在相关关系。 (2)如果 R0.05(n- 2)R0.01(n-2)， 则认为y与 x两者的相关关系高度显著。,相关系数显著性检验表,结论：相关系数 R=0.63，观测值24个。查阅相关关系检验表，R0.01(22)=0.515；由于这里|R|R0.01(n-2)，说明3月份数据的出水COD与入水COD两者之间，存在高度显著的线性相关关系 第4步：运用方程预测4月出水COD 例3-2：使用excel进行模型结构分析和曲线拟合。 （根据前例中的数据）下表是十二胺在水中的降解数据 时间（h) 0 1 3 5 7 9 23 27 浓度(mg/l) 2.3 2.22 1.92 1.6 1.52 1.07 0.73 0.5,解：第一步：在excel 先做出散点或折线图 第二步：点击图表曲线或点，添加趋势线 在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型， 拟合结果如图2-8所示。指数模型又分别指定和不指定是 否必须通过初始浓度2.3 mg/L。注意在图2-7中有个选项 页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R2 ，或者需 要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项 页进行操作。,名称 趋势线计算方程 备注 线性 y=mx+b m 代表斜率 b 代表截距 对数 y=clnx+b c 和 b 代表常数，函数 ln 代表自然对数 多项式 y=b+c1x+c2x2+c5x5 可选择多项式阶数，b 和Ci 代表常数 乘幂 y=cxb 其中 c 的 b 为常数 指数 y=cebx c 和 b 为常数，e 代表自然对数的底数 例3-3. 例2-5 已知河流平均流速为4.0kmh，饱和溶解氧(DO)为lO.OmgL，河流起点的BOD(L0)浓度为20mgL，沿程的溶解氧(DO)的测定数据如下: 试根据河流溶解氧的变化规律，确定耗氧速度常数Kd和复氧速度常数Ka。已知数学模型为：,),(,),(,0,0,x,d,x,a,x,a,u,x,k,u,x,k,d,a,d,u,x,k,s,s,e,e,k,k,L,k,e,DO,c,c,c,-,-,-,-,-,+,-,-,=,10,10,溶氧,10,解：首先建立如图2-9所示Excel的工作表。 根据2-19式， （1）在b6-B10单元格内输入符合Excel定义的溶解氧计算公式： =B1+B3*F3/F4*(EXP(F2*(A6:A10)/B2*(-1)-EXP(-1)*F3* (A6:A10) /B2) （2）在D11单元格，是用函数形式表示的计算值与观测值间的误差的平方和。在F2、F3单,(3)在F2、F3单元格内设置由经验给定的参数 Kd 和 Ka 的初值分别相当于 2（1/d）和 1（1/d）， (4)在“工具”菜单中，单击“规划求解”命令，按照对话框要求输入变化的参数区域 F2、F3和目标函数的区域D11单元格, 要求的目标是使计算值与观测值间误差的平方和达到最小。 (5)公式输入时，如想是某个单元格的值在拖动中不变，需加$号，如 $a$3,总结：,观测数据1,模型结构选择,参数估计,检验和验证,模型应用,观测数据2,第三章 环境质量基本模型 1 污染物在环境介质中的运动 一、基本概念 1、环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。 三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。 2、运动: 事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。 3、污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质，物质质量相对于介质质量则是微量的。,二、污染物在介质中各种运动（重要概念） 1、推流迁移运动： 污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单位面积，如g/m2s） X轴方向： fx=uxC= Y轴方向： fy=uyC， Z轴方向： fz=uzC。,S,L,ux,Q,t,x,z,y,uy,这段河道中的总水量,2 扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。 1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散溶解，其速度与“热”有关。 浓度梯度 ：在某个方向上的浓度变化率 Fick第一定律（通量） X上某点浓度梯度 单位：物质量/单位时间*单位面积 Em为分子扩散系数，且各向同性； 2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动撕裂 Fick第一定律（通量）：,*,*,x,c= c2- c1,x,c1,c2,x,y,z,I1X,I1Z,I1Y,单位：物质量/单位时间*单位面积 Ex, Ey, Ez 为x, y, z 三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x, y 方向的扩散系数大于z 方向的扩散系数。为对时间求平均的平均浓度。 3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。 为断面平均值 ,单位：物质量/单位时间*单位面积,*,*,c1,c2,须考虑,须考虑,3 裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。 以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。 当 物质量为增生时： c2 c1时， 当 物质量为衰减时： c1 c2时,衰减速度常数,单位时间、单位体积内的物质增量,*,*,t,t2,t1,c1,c2,浓度变化速度,4 （综合三种作用）的图像理解 只有推流迁移 推流迁移+扩散 推流迁移+扩散+裒减 推流迁移+裒减 无推流迁移 无推流迁移 仅有扩散 有扩散+裒减,2 基本模型的推导 1.质量守恒原理 初始存量为：存量1， 一段时间后：存量2 对于输入端：物质总量=存量1+进入量 （1） 对于输出端：物质总量=存量2+出去量 （2） 存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量 存量的变化量（增量）=进入量-出去量,存量,进入量,出去量,2. 零维模型推导(完全混合）（重要） 在 t1 t2的 t时段内 浓度 c1 c2 c=c2-c1 物质量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c 单位时间的物质变化量：,k V,Q, C0,S,Q, C,根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为 Q*c0+S - (kc)*v -QC 所以：,m3/s,mg/ m3,mg/s,mg/s*m3,m3,进入量,出去量,衰减项,一维模型推导（了解） 推流：fx=uxC 扩散： 立方体体积: 迎水面面积：,x,s,t1 t2 c1 c2,在x方向上立方体内污染物在t1 t2时段内的变化量： 在单位时间内的变化量： 单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x) f(x)=uxC,x0,X0+x,k,I1(扩散）,I2（扩散）,x,I=I2-I1 f=f2-f1,f1（推流）,f2,综合上述两种情况；,根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开： 将推流函数f(x)在x=x0展开： 所以在x =x0+ x处 ： 因为微元很小,x也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得： 将扩散函数I(x)在x=x0展开:,所以在x =x0+ x处，将所有含大于2阶得导数项省略，得： 单位时间输入量： 断面面积 单位时间输出量： t时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）,z,y,x,C,E,C,u,z,y,I,f,x,x,x,x,D,D,-,=,D,D,+,),(,z,y,x,x,C,E,x,x,C,E,x,C,u,x,C,u,x,x,x,x,D,D,D,-,+,-,D,+,),(,),(,（2）,（3）,推流增量,扩散增量,约去相同项： 当ux, Ex,为常数时， 如果考虑衰减作用： 体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为,-,单位时间单位体积内的衰减量,单位时间浓度变化,推流增量,扩散增量,衰减变化量(源汇项）,局地项,推流项,扩散项,衰减项,二维模型推导 与一维基本模型的推导相似，当在 x 方向和 y 方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型 Y方向扩散项 Y方向推流项 式中，Ey y 坐标方向的弥散系数；uy y方向的流速分量； 三维模型推导 如果在x、y、z 三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型： 式中，Ex 、Ey 、Ez x、y、z 坐标方向的湍流扩散系数；uz z方向的流速分量。,KC,y,C,u,x,C,u,y,C,E,x,C,E,t,C,y,x,y,x,-,-,-,+,=,2,2,2,2,模型使用范围（重要） 零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化） -适合于箱体，湖泊环境 一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化） -适合于细、长、浅河流环境 二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化） -适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖 三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化） -适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖,3 数值解与解析解 一、概述 由于环境问题涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有： 二 解析解求解 1. 化简控制方程（重要） 1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程) 的阶数。 平流问题，控制方程是一阶微分方程： 扩散问题，控制方程是二阶微分方程：,2） 物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。 在一维空间内运动，只含一个空间变量： 即 在二维空间内运动，含二个空间变量： 在三维空间内运动，含三个空间变量： 3） 运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变 量。 对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化,对于稳定排放，浓度不随时间变化 4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。 无源、汇项存在，守恒物质方程： 非守恒物质，有源、汇存在，方程非齐次 2.模型解析解(重要） 解析解： 通解： 定解： 定解条件（初、边值条件）：,源汇项,例题：求 的通解、定解(了解） 代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=c0,积分常数,通解：,积分常数,c,c,1） 瞬时排放的解析解（浓度随时间变化） (1) 一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用扩散作用） 控制方程为： 根据条件化简上面方程 得： 解：图像表示,t=0 t=1 t=2,X=ut,初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为: x = u t 污染物正好到达 ： =0 当x u t 污染物已过或未到 显然只有x=ut处有污染物。 (2) 一维流场，有弥散、有推流、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当） 控制方程为： （重要） 求得通解，代入以下初边值条件 初值：t=0,c=c0; 边值：x=0， c=c0 ；x=，c=0,污染源坐标,0,x0,D,复习随机变量的正态分布函数 随着时间的t的变化有： 水团长度,x,a,ut,x,c,例题 3-1 瞬时向河流中投放示踪剂，含若丹明染料5kg,在起始断面处充分缓和，假定河流平均宽度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,纵向弥散系数为0.5m2/s,试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线。 假定断面面积为矩形，则面积A宽深10*0.5=5m2,u=0.5 m/s, D= 0.5m2/s,M=5kg=5*106mg T(min) 10 12. C(mg/l) 5*10-14 1.8*10-5.,c,t,图像： (4) 二维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为 其解为:,t,X方向分布,y方向分布,点,（0，0）,，t）,图形：,ut,x,c,c,y,c,y,x,uyt,x,y,(3) 三维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为： 控制方程： 其解为 ： 当污染源坐标（x0, y0, z0)位于三维坐标的原点（0，0，0）时，有：,令 上式= 复习：,X方向分布,Y方向分布,Z方向分布,C,X,ut,C,y,vt,C,z,wt,2） 稳定排放的解析解 稳定排放定义： 排放强度变化很小(变化率在10%以内)； 排放时间长( T X / u )。 稳定排放问题没有初值，只有边值。 (1) 0维(箱模式)：有一股流量为Q的污水，流经容积为V的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以k的速率裒减 控制方程： 解析解 当t无穷大时：,K,v,c,Q, C0,Q, C,当t足够长时， 解为： (2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式： 设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。 控制方程为 : 边值条件为:x=0处C=C0 求解过程：,得： 代入边值条件： 问题：在什么情况下，可以忽略扩散的影响？ 由于一般河流中|u|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要 复习常微分方程解法,变量,x,c,积分常数,（3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式， 控制方程为： 代入边值：x=0, C=C0, x=, C=0。 可以推断解析解形式： C=f(x) 导数形式 而当解析解为：c=f(x,y,z,) 导数形式： 控制方程变为： 课后作业：1 求上述常微分方程的定解 2 说明一维稳态方程与动态方程的区别,其特征方程为： Dx2 - u- k = 0 由此求出特征根 ： 其通解为： 代入边值：x=0, C=C0, x=, C=0。 得A=0，B=C0 ，故解为 (6) 二维稳态、有弥散、推流、裒减模式 二维河道中可以忽略X方向的扩散 Dx,y方向的推流作用，,化简：,c,x,e-kt,重要,此控制方程(排放口在坐标原点：x=0, y=0)求解较复杂， 其解为 :,y方向的分布,x,y,二维问题实际应用中的复杂性 (1)污染源在河中（重要） A河道无界(湖泊、海湾） B.河道有界：1 污染源在河中,x,y,B,*(x,y),x,y,B,*(x,y),B/2,B/2-y,B/2,*,N=1,N=1,N=2,实源,虚源,虚源,x,加和后总浓度： (2)污染源在河边(重要） A.河道无界 总浓度,*(x,y),实源 虚源,x,y,B.河道有界 总和为：,*(x,y),B-y,y,X,B,B,2B-y,N=0,1,N=2，3,N=1,2,2B,y,2B+y,实源,虚源,虚源,(7) 三维模式：大气环境中高烟囱稳定排放， 其控制方程为 其解为：,例题: 狭长河流中稳定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速为0.3m/s,河道BOD本底浓度为0.5mg/m3,BOD的衰减速度常数K=0.2d-1,弥散系数D=10 m2/s,求下游10km处的BOD浓度。,Q,q,c0,10km,连续点源排放，源强为50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,横向弥散系数DY=5m2/s,污染物衰减速度常数为0，求 （1）无边界情况，（2000，10）坐标处的浓度 （2）边界排放，宽度无限大，该处的污染物浓度 （3）边界排放，宽度B=100M时，该处的污染物浓度,三.污染物在均匀流场中的分布特征 （复习） （1）一维流场中的分布特征（动态）控制方程为 解 上式变为： 上式也可变为 令：,c,x,常数,ut,c,t,x/u,常数,扩展 知识,x/u,（2）一维流场中的分布特征（稳态）控制方程为 解 （3）二维流场中的污染物分布特征（动态见前） 稳态：,x,c,解： 问题1：污染物到达对岸(或地面)所需的距离： 污染物到达河边：岸边浓度达到平均浓度的5% 距排放口距离x(m)的污染物平均浓度为： 排放口在河中，任意点浓度（带反射）：,排放口,到达岸边,完全混合,x,y,B,根据定义： 排放口在岸边： 问题2 ；污染物完全混合所需的距离 污染物完全混合：断面任意一点浓度达到平均浓度的95%。 河中排放 岸边排放 作业：p54 (1)(2),模型数值解,一阶导数：偏导数概念 二阶导数：,根据泰勒公式，可将任意函数y(x)在某点x=a处用级数展开： 所以在x =a+ h处, (h=x-a) 所以在x =a- h处 ： 因为h很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，（1）+（2）得： 将,a,h,h,（1）,（2）,综上二阶导数可变为：,t,x,x,t,j+1,i,cji,j,i+1,j-1,i-1,Cji-1,i-2,Cj+1i,Cji-2,1,对于i=1， 对于i=2 。 对于i=i,Cj+1,Cj,A,初始条件 C(xi,0)=ci0 边界条件 C(0, ti)=c0j,第四章 内陆水体水质模型 1 水体污染类型 （1） 有机耗氧性污染 生活污水和一部分工业废水中含有大量的碳水化合物、蛋白质、脂 肪和木质素等有机物。 COD: BOD（CBOD,NBOD)： （2）化学毒物污染 大体可分为四类： a 非金属无机毒物(F、S等)， b重金属与类金属无机毒物(Hg、Cd、Cr、Pb、Mn等)， c易分解有机毒物(挥发酚、醛、苯等)， d难分解有机毒物(DDT、六六六，、多氯联苯、多环芳烃、芳 香胺等)。,(3) 石油污染 (4) 放射性污染 (5) 富营养化污染 (6) 致病性微生物污染 2 污染物在水体中主要的过程 （1）物理过程：污染物在水体的稀释、混合、扩散、沉积、 冲刷、 再悬浮等作用。 稀释、混合：,Q, C1,q,C2,断面1,混合后,(2)扩散作用（略） （3）沉降作用,由于沉降作用造成的单位时间单位体积内的污染物减少量,沉降速度常数,(4) 化学生物化学过程 a 污染物衰减过程(BOD) 一级反应动力学方程： 式中kC为实验室内降解速度常数 初值：t=0时，L=L0， 解析解： kC随温度的变化而变，是温度T的函数 = 1.047（T =1035）。 衰减速度常数的求解： 实验室内的衰减速度常数kC 河道内实际的衰减速度常数kr kC在实验室中，根据二个时间（t2、t1）的L值（L2、L1），便可估算,河道内kr估算： 理论估算 H为河流平均平均深度，u为河流平均流速，为河床活度系数，由河床坡度决定 Ks为沉降速度常数 实测数据估算 此方法忽略了扩散作用，可行吗？,A,B,XA,XB,L0,u,b. 大气复氧过程 有机污染物的耗氧作用： 大气对水体的复氧作用： 溶解氧(DO),BOD,COD 饱和溶解氧（CS ）： 在标准大气压力、淡水中，饱和溶解氧的浓度为： 有机污染物的耗氧作用： t1 t2 t= t2- t1 DO1 DO2 DO= DO2 - DO1 L1 L2 L=L2-L1 耗氧速率： ? （以需氧量表示的污染物量 L表示一定的污染物的损耗量， 消耗了多少融氧表示的）,大气向水中复氧的控制方程 V为水体体积，A为河面表面积，A / V = 1 / H，H为平均水深。 氧亏概念：溶解氧亏不足量 D=DOS-DO 取微分：dD=-dDO 带入上面方程得： Ka的求法： C、n、m的取值见P.57上的表4-3 温度以200C为基准，则： ，=1.024。,大气复氧速度常数,单位时间、单位体积内的复氧量,C.光合作用 对于时间平均模型，产氧速度可取一天中的平均值P(设为常数)，设任意一天的光合作用放氧量为p,有（单位：/d) d 藻类呼吸作用 呼吸作用是耗氧过程。通常把藻类呼吸耗氧作为R处理：（单位：/d) 光合作用和呼吸作用的产氧、耗氧速度，可用白瓶、黑瓶试验求得： 1） 先求得L0 与KC ，并计算得KC L0 ； 2） 测得黑瓶中的溶解氧变化值，即可求出R ： 3) 再测得白瓶中的溶解氧变化值，即可求得P ： 时间单位：/d,3。河流水质模型 （1）河流水质模型使用概述 （2）一维河流水质模型 a 单一河段水质模型（只有一个排放口） S-P模型（Streeter-phelps) 1925年建立，用于描述河流中的BOD与DO的复合变化规律。其基本假设（1）是河流中的BOD裒减和DO恢复都是一级反应，（2）河流中的耗氧由BOD衰减引起，且DO的来源只有大气复氧。,u1 Q1,u2 Q2,此时的控制方程（流速作用扩散作用） 令有机物浓度、溶氧浓度分别为L,DO,上式分别为：,有机耗氧,大气复氧,解为：,其中D0为初始氧亏值，D0=DOS-DO0,单位时间、单位体积内的融氧变化量,单位时间、单位体积内的复氧量,单位时间、单位体积内的耗氧量,将氧亏用溶氧表示： 浓度分布： BOD: DO:,L,t,DOS,D0,DC,（水质最差点） xc =u* tc,复氧曲线,氧垂曲线,耗氧曲线,DO,x,DOC,DO0,求水质最差点的位置及溶氧： S-P模型的修正型 1） 托马斯模型： 在S-P模型基础上引入对BOD有去除作用的沉淀过程：,解：,临界点发生时间：,2）康布模型： 在S-P模型基础上增加了底泥释放BOD贡献和河流中水生植物光合作用产氧。增加了二个强迫项B、P。,底泥释放BOD的速度,光合作用产氧速度,解为：,3）欧康奈尔模型： 在（含碳有机物CBOD）托马斯模型基础上引进含氮有机物(NBOD)对水质的影响。 ：,解为：,某河段流量为216*104m3 /s,流速是46km/d,诗、水温13.6度，kd=0.94d-1ka=1.82d-1 ,ks=-0.17d-1河段始端废水排放量10* 104m3 /d,BOD500 mg /l,DO为0，上游河水BOD为0，DO8.95mg /l，求和段6公里处河水的BOD和氧亏,河段长16km，枯水流量为60m3/s,u=0.3m/s,kd=0.25d-1, ks=0.1d-1, ka=0.4d-1,水流稳定，光合作用呼吸作用不发达，如果河段中保持DO5mg/l,河段中每天流入的BOD不超过多少，（排放口上游来水氧亏为0，河水温度20度）,由托马斯模型：,69.2km,（3）多河段水质模型 多河段模式： 1）基本概念：一维单一河段模式有稳定解析解的条件是清水、污水水流均匀、稳定，只有一个排放口(一般设在起始断面处)的情况下得到的。当河流的水文条件、排放条件沿途发生变化时(但还是稳定的不随时间变化)，可以把河流分成多段，每段又可视作一个单一河段(由相邻河段界面决定)模式处理，上游界面作为该河段的初始或边界条件处理，在该处函数值允许出现第二类不连续(导数不连续)。这些边界通常设置在： 河流流态(u,Q,H)发生变化处； 有支流(清水)输入或排污(污水)输入处； 河水取水处； 其它需要设立断面的