离散数学课件-无向树.ppt

1,离散数学,李书杰 合肥工业大学 ,离散数学,2,学习内容,10.1 无向树 10.2 根树,3,4,如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。,5,定义10.2.1 无向树从无向图出发定义的树,无向树(树): 连通而无回路的无向图，一般用T表示 叶: 树中度数为1的顶点 分支点/内部结点: 树中度数1的顶点 森林: 一个非连通图，如果其每个连通分支都是树，则称为森林 平凡树: 平凡图，只有一个点且无边的图 右图为一棵12阶树. 声明:本章中所讨论的回路均 指简单回路或初级回路,6,无向树的性质,定理10.2.1 设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的： （1）G是树(连通无回路); （2）G中无回路且m=n1; （3）G是连通的且m=n1; （4）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,就会得到一条唯一的基本回路. （5）G是连通的且G中任何边均为桥; （6） G中任意两个顶点之间存在惟一的 一条基本通路。,7,(1)(2)的证明,如果G是无回路的连通图，则G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数 证明 归纳法。 当n=2时，因为G连通无回路， 所以只有m=1，故m=n-1成立。 假设n=k-1时命题成立，当n=k时， 因G是无回路且连通，则至少有一个度为1的结点u， 设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个k-1个结点 的连通无向图G，,8,(1)(2)的证明（续）,由归纳假设可知， G的边数m=n-1=(k-1)-1=k-2。 再将结点u及(u,w)放入原位，恢复到图G， 那么G的边数 m=m+1=(k-2)+1=k-1， 结点数n=n+1=k， 故m=n-1成立。,9,(2)(3)的证明,如果G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数，则连通且m=n1; 只须证明G是连通的。 证明 设G有k个连通分枝G1,Gk(k1），Gi有ni个结 点,mi条边，因为Gi连通无回路，所以有 mi =ni-1，n=n1+n2+nk m=m1+m2+mk=(n1-1)+(n2-1)+(nk-1)=n-k 因为m=n-1，所以k=1，故G是连通的。,10,(3)(4)的证明,如果G连通且m=n1，则G中无回路, 但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含新边的回路。 证明 归纳法。 当n=2时，m=n-1=1，必无回路，如果增加一边得到且仅得到一个回路。 设n=k-1时命题成立。考察n=k时的情况。 因为G是连通的，所以每个结点u有deg(u)1， 下面证明至少有一个结点u0使deg(u0)=1。 若不存在，则每个结点的度至少为2，所以2n2m，即n m，这与m=n-1矛盾。,11,(3)(4)的证明,首先证明G中也无回路 删去u0及其关联的边，得到含有k-1个结点的图G， G连通且m=n1。由归纳假设知G无回路。 在G中加入u0及其关联的边恢复到G，则G无回路。 再证明在G中任意两结点之间增加一条边，得到一条且仅有一条回路。 若在G中增加一条边(ui,uj)， 因为G连通，则在G中存在一条从ui到uj的路， 那么这条路与新加入的边(ui,uj)构成回路， 而且这个回路是唯一的。 若不唯一，删掉边(ui,uj)边,G中必有回路，矛盾。,12,(4) (5)的证明,如果G中无回路, 但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含新边的回路，则G连通且每条边均为桥。 证明 反证法。 假设G不连通， 则存在结点ui与uj，在ui和uj之间没有路， 所以增加边(ui,uj)不会产生回路，与已知矛盾。 由于G无回路，故删掉任意条边e都使G-e为非连通， 所以G中每条边都是桥。,13,(5) (6)的证明,如果G连通且每条边均为桥，则G中任意两个结点之间存在惟一的路径。 证明 由G是连通的可知，任意两个结点间有一条路， 若存在两点它们之间有多于一条的路， 则G中必有回路， 删去该回路上任一边， 图仍是连通的， 与G中每条边都是桥矛盾。,14,(6) (1)的证明,如果G中任意两个结点之间存在惟一的路径，则G是无回路的连通图。 证明 因为任意两结点间有唯一条路，则图G必连通。 若G有回路， 则在回路上任意两结点间有两条路， 与已知矛盾。,15,定理10.2.2 设T 是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶. 证 设T有x片树叶，m条边。由握手定理及定理10.2.1可知， 由上式解出x2.,无向树的性质(续),16,例题,例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶点全是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无向树. 解 用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x, 2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3 有2棵非同构的无向树, 如图所示,17,例题,例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的度数均为4. 求T的阶数n. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8, 4度顶点为1个. T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4,18,生成树 设G为无向连通图，若G的生成子图（v=v）是一棵树,则称这棵树为G的生成树； 设G的一棵生成树为T,则T中的边称为T的树枝,在G中而不在T中的边称为T的弦, 所有弦的集合称为生成树T的补 注意：生成树T的补不一定连通, 也不一定不含回路. 右图黑边构成生成树 红边构成补,定义10.2.2,19,生成树,定义10.2.2 若图G的生成子图是一棵树，则该树称为G的生成树。 生成树T的树枝: G在T中的边 生成树T的弦: G不在T中的边,生成树T的补 （或余树）: 所有弦的集合的导出子图,注意： 不一定连通, 也不一定不含回路.,20,举例,例 如下图，T=e1,e6,e7,e4,e3，,黑线表示生成树，红线构成树的补。,=e2,e5,e8,余树是非连通的，无回路,余树是非连通的，有回路,21,举例,例 设T是6阶无向简单图G的一棵生成树，讨论下面的问题： (1) 当G的边数e=9时，T的补是G的生成树吗？ (2) 当G的边数e=12时，T的补是G的生成树吗？ (3) 当G的边数e=10时，T的补可能有哪几种情况？ 解 对于树T，e=v-1，而任何ev或ev-1的图都不是树 （1）T的补的边数为9-5=4，所以不可能是树。 （2） T的补的边数为12-5=7，也不可能是树。 （3）有两种情况：T的补是生成树； T的补不连通且含圈。,22,生成树的存在性,定理10.2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若G中无回路，G为自己的生成树。 若G中含回路，任取一回路，随意地删除回路上的一条边， 若再有回路再删除回路上的一条边，直到最后无回路为止。 易知所得图无回路、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。,23,求连通图G=的生成树的算法,1 破圈法 2 避圈法 3 广度优先搜索算法,24,举例（破圈法）,生成树不是唯一的！,25,最小生成树,对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作赋权图, 记作G=. 设G是G的子图, G所有边的权的和称作G的权, 记作W(G). 最小生成树: 赋权图的权最小的生成树 求最小生成树的算法避圈法 (克鲁斯卡尔/Kruskal算法) 设G=, 将非环边按权从小到大排序：e1, e2, , em. (1) 把e1加入T中 (2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T中, 否则弃去e2. (3) 检查e3, 重复进行直至得到生成树为止.,26,实例,例 求图的一棵最小生成树,W(T)=38,27,1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,28,普里姆(Prim)算法,普里姆算法的基本思想： 从连通图 G = V, E 中的某一顶点 u0 出 发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)， 将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。以后每 一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中 的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 加入到集合U中。如此继续下