考研数学D2--考研基础班.ppt

1,第二章,一、 导数和微分的概念及应用,二、 导数和微分的求法,导数与微分,三、典型题型的解题方法与技巧,2,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,可导与可微的概念：,可导,存在.,可微,其中A是与,无关的常数.,特点是：“分子一定一动，分母有左有右” 分子是函数值之差， 分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限.,能,3,联系:,区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察.,是函数相对于自变量的变化率.,是相对于自变量改变量为,时，,导数与微分的区别与联系,函数改变量,的线性主部.,即,4,可导与可微的区别与联系:,区别：可从定义式子；几何意义两方面考察.,可导,存在.,可导,一定有切线,且切线不垂直于x轴.,以直代曲,可微,联系：,可微必可导，可导必可微.,可微,其中A是与,无关的常数.,能,5, 几个定理,定理1,定理2,定理3,可微,可导,连续,有极限,有定义,6,思考：,7,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(2) 用导数可求切线与法线的方程,4）用导数定义求极限；,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题；,1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数；,用导数可求变速直线运动的速度与加速度,5）判断函数在某一点的可导性.,8,1）几何应用,(1)几何意义：,是y=f(x)在点,(2)切线、法线的方程：,切线的方程：,法线的方程：,2）物理应用,瞬时速度：,瞬时加速度：,处切线的斜率.,9,二、 导数和微分的求法（微分法）,1. 正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则）,2. 熟练掌握求导方法和技巧,(1) 求分段函数的导数,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等,(2) 隐函数求导法(直接法、微分法）,(3) 参数方程求导法（复合函数法、微商法）,(5) 复合函数求导法,(可利用微分形式不变性),(6) 高阶导数的求法,（逐次求导归纳 ;间接求导法）,(4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用）,10,3.常数和基本初等函数的导数 (P94)及法则,11,有限次四则运算的求导法则（注意条件）,( C为常数 ),复合函数求导法则（注意条件）,反函数的求导法则（注意条件）,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.,12,4.高阶导数,1）定义：,即,存在,则称,记作,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,一般地，,的n阶导数.,相应地，,称为零阶导数，,称为一阶导数.,13,2) 高阶导数的计算：,(C为常数),直接法和间接法,(3)乘积,该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆,3)高阶导数的基本公式,14,1.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分段函数等）求各阶导(函）数及微分.,2.求导时应认清结构及变量之间的关系.,3.求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导.,4.应正确使用符号.如,说明 ：,符号 的优点:,1.表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2.表示微分时有商的含义，故,3.隐含着微分形式的不变性,15,例1.设,存在,求,解:,原式=,处可导,三、典型题型的解题方法及技巧,题型1：已知导数求极限,16,17,例2.设,，讨论 在 处的可导性，,并求,解:,不存在,不连续，从而不可导.,但是,18,例3.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,19,例4.设,在,处连续,且,求,解:,处可导，即,处右可导，即,题型2：已知极限求导数,20,在 处可导的一个充分条件是（ ）,练习 设,在,的某个邻域内有定义，则,21,题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数,提示：以下情况必须用导数的定义求导数,1）求分段函数在分界点处的导数时；,2）不符合求导法则的条件时,3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的 用求导法则,处的导数.,例5.求,处的导数.,解:,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导.,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导.,22,例6.,解:,分析:,不能用公式求导.,求左右极限,23,可导,不一定存在,故用定义求,例7.,解:,注意：求导法则的成立是有条件的.,24,设,解:因为,又,例8.,处的连续性及可导性.,注： 判断可导性的方法,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,25,例9. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,26,注意：,27,故 分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；非分界点处的导数用公式与法则求导.,28,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,例10,29,例11 证明：,处可导且为偶函数,证明：,定义法,公式法,即,题型4：利用导数的定义证明导函数的性质,30,思考：05数一、二，4分 设F(x)的导数是f(x) ，,表示“M的充分必要条件是N”，则必有,(B) F(x)是奇函数,f(x)是偶函数.,F(x)是偶函数,f(x)是奇函数.,f(x)是周期函数.,(C) F(x)是周期函数, A ,31,解,题型5：求各类函数的导数及微分,例12 求下列函数的导数,关键: 搞清函数的运算结构 ，对复合函数结构 应由外向内逐层求导. 求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则.,32,另解:,解:,33,解：,幂指函数 的求导方法有两种：,方法1：,对数求导法,然后用隐函数求导法求导.,方法2：,利用复合函数求导法,变形为,然后用复合函数求导法求导.,34,例13.,解：,求导小技巧：先变形再求导,35,注：由参数方程所确定的导数的求导法：,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,关系,法1：由复合函数及反函数的求导法则得,即,法2：由微商及微分的计算求导,?,已知,注意 :,36,单值可导隐函数,并求,公式法：,两边微分,微分法：,37,两边对 x 求导,直接求导法：,令 x = 0 , 注意此时,两边对 x 求导,小技巧,提示：,两边取对数,38,例15. 设,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求,解：,得可导必连续,即,39,是否为连续函数 ?如何求,判别:,即,练习：,40,例16 设