新课标创新文数总复习选修几何证明选讲.doc

第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理2会证明并应用直角三角形射影定理1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(2)相似三角形的性质定理性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方(3)直角三角形相似的判定定理判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和()(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行()(3)在ABC中，AD是BC边上的高，若AD2BDCD，则A为直角()(4)在直角三角形ABC中，ACBC，CDAD，则BC2BDAB.()(5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2. 如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DFAD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF16，GF12，则BE的长为_解析：由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8.答案：83. 如图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_ cm.解析：E为AD中点，M为BC的中点，又EFBCEFMC12 cm.BC2MC24 cm.答案：244. 如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是_解析：DEBC，ADEABC，.2，故.答案：典题1(1)如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值(2)如图，等边三角形DEF内接于ABC，且DEBC，已知AHBC于点H，BC4，AH，求DEF的边长第(1)题图第(2)题图听前试做(1)如图，过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM.又点D是AC的中点，在CAF中，CMMF，.(2)设DEx，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DEBC，则，解得x.即DEF的边长为.对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，求的值解：由平行线分线段成比例定理得，故1.典题2 如图，已知在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长听前试做(1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EBEC，所以BBCE.又因为ADAC，所以ADCACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC2CD，所以24.又因为SFCD5，所以SABC20.因为SABCBCAM，BC10，所以2010AM，所以AM4.因为DEAM，所以.因为DMDC，BMBDDM，所以，解得DE.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED，CB延长线交于一点F.求证：FD2FBFC.证明：E是RtACD斜边中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC.F是公共角，FBDFDC，FD2FBFC.典题3 如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC. 听前试做在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC，又FC1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，过D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即2212，1.整理得x64，x，即AC.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证：.证明：BE是ABC的角平分线，.在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得，由得.课堂归纳感悟提升方法技巧1证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力2等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似不能构成三角形或三角形不相似需转化易错防范1平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用2证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解1. 在ABC中，BAC90，BC边的垂直平分线EM和AB以及CA的延长线分别交于D、E，连接AM，求证：AM2DMEM.证明：BAC90，M是BC边的中点，AMCM，MACC.又EMBC，EC90.又BAMMAC90，EBAM.又EMAAMD，AMDEMA.，AM2DMEM.2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DECD，BE与AD交于点F. (1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BAFBCD，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF.2，2.又DECDAB，CEDECDDE2DE3DE.2，2.SDEF2，SCEB18，SABF8.平行四边形ABCD的面积SSABFSCEBSDEF818224.3如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，交CB的延长线于点N.若AE2，AD6，求的值解：ADBC，AEFCNF，.M为AB的中点，1，AEBN，.AE2，BCAD6，.4. 如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AEBF2DEAF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AEBF2DEAF.5. (2016南阳模拟)如图，ABC中，ABAC，BAC90，AEAC，BDAB，点F在BC上，且CFBC.求证： (1)EFBC；(2)ADEEBC.证明：设ABAC3a，则AEBDa，CFa.(1)，.又C为公共角，故BACEFC，由BAC90，EFC90，EFBC.(2)由(1)得EFa，故，.DAEBFE90，ADEFBE，ADEEBC.6ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于P，若BDDC，AEAF.求证：.证明：过F作MNAD交BA的延长线及DC于M，N.对MEF有，因为AEAF，所以.对MBN有，因为BDDC，所以.对ADC有，所以.所以，所以.第二节直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理2会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理1圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角90的圆周角所对的弦是直径2圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径3弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等()(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆()(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心()(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半()(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2. 如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PAAB，CD3，则PC的长为_解析：设PCx，由割线定理知PAPBPCPD.即2x(x3)，解得x2或x5(舍去)故PC2.答案：23如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，则PB_.解析：由切割线定理，得QA2QCQD4QA2，则PBPA2QA4.答案：44如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则AB_.解析：设xBCAD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x10)4(x4)，x2，AB2.答案：2典题1 (2015新课标全国卷)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； (2)若OACE，求ACB的大小听前试做(1)证明：如图，连接AE，由已知得AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx.由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，即x2，即x4x2120.解得x，所以ACB60.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角(2015新课标全国卷) 如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点 (1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解：(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF，从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为2(2)2.典题2 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆 (1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值听前试做(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用如图，AB是O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH6，GE4，求EF的长解：(1)证明：连接DB，AB是O的直径，ADB90，在RtABD和RtAFG中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE.C，D，E，F四点共圆(2)C，D，E，F四点共圆，GEGFGCGD.GH是O的切线，GH2GCGD，GH2GEGF.又GH6，GE4，GF9.EFGFGE945.典题3 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC；(2)ADDE2PB2.听前试做(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理如图所示，O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC；(2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长解：(1)证明：连接AB.因为AC是O1的切线，所以BACADB.又BACCEP，所以ADBCEP，所以ADEC.(2)法一：因为PA是O1的切线，PD是O1的割线，所以PA2PBPD，即62PB(PB9)所以PB3或PB12(舍去)在O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE，所以PE4.所以DEBDPBPE93416.因为AD是O2的切线，DE是O2的割线，所以AD2DBDE916.所以AD12.法二：设BPx，PEy.因为PA6，PC2，所以由相交弦定理得PAPCBPPE，即xy12.因为ADEC，所以，所以.联立，解得或(舍去)，所以DE9xy16.因为AD是O2的切线，DE是O2的割线，所以AD2DBDE916.所以AD12.课堂归纳感悟提升方法技巧1处理与圆有关的比例线段问题的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系2圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合3切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心4相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长易错防范1圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题2相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用1如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC.D为圆O上一点，且ADOC.(1)求证：CO平分DCB；(2)已知ADOC8，求圆O的半径解：(1)证明：连接OD，BD，AB是直径，ADBD，OCBD.设BDOCE，ODOB，OEOE，BOEDOE，BEDE，同理，CBECDE，BCODCO，CO平分DCB.(2)AOOD，OADODA，又ADOC，DOCODA，DOCOAD，RtBDARtCDO.ADOCABOD2OD28.所以所求圆的半径为 2.2(2015湖南高考) 如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： (1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.3(2015陕西高考) 如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C. (1)证明：CBDDBA; (2)若AD3DC，BC，求O的直径解：(1)证明：因为DE为O的直径，所以BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，