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“中丹杯”数学实验与建模竞赛 Page of 食物分类问题的研究 摘要人们的生活离不开食物。一个人想要健康长寿，就要做到营养全面。每一种食物有不同的营养，但我们不能吃所有的食物，因此对食物分类的探讨具有重要意义。本文对食物进行量化，根据食物的38项指标得出的差别度量矩阵来分类。针对问题一，借助MATLAB工具对数据进行挖掘与分析，建立聚类分析模型，运用绝对值减数法求解模糊矩阵，再通过聚类得到食物合理的分类，最终将题中的45种食物分成7类。 对于问题二及问题三，在基于问题一的基础上，对用MATLAB分析得到的食物分类与人们习惯的食物分类比较,并给人们提出建议。最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并给广大人民提出合理摄取食物营养的建议。关键词:食物分类 聚类分析模型 模糊相似矩阵 MATLAB工具 The study of food classification problems. Abstract The life of people cant do without food. Everyone who wants to live a long healthy life must achieve comprehensive nutrition. Each food has its own nutrients, but we are impossible to eat all food.So it is of great significance to explore the food category. This article quantifies the food，and classifies food according to the difference between 38 indicators measure the results of the food matrix.For question one, with the aid of MATLAB tools for the excavation and analysis of data, establishment of clustering analysis model, reduction method for solving fuzzy matrix using the absolute value of food, then a reasonable classification obtained by clustering, finally 45 kinds of food in the title is divided into 7 categories.The second and third problems are based on the first problem and require us to give out advice on the food according to the classification we obtain previously.Finally, we valuate the advantage and disadvantages of the model, discuss its application value and put forward reasonable food intake of nutritional advice to people.Keywords: the classification of food ; clustering analysis model; Fuzzy similar matrix; MATLAB tool 一、问题重述 民以食为天。饮食文化传承了五千多年，古人追求食物养生，而现代人在追求养生的同时，更注重食物的均衡搭配，保质时间。尤其在第二次世界大战以后，食物污染越来越严重。所以当代社会健康食物少之又少，学会如何搭配食物，使人体摄取足够均衡的营养就显得十分重要。 在此背景下，人们想要获取足够的营养来提供身体机能所需的能量，想要把所有的食物都吃遍是不太可能的。所以学会对食物进行分类，然后每一类都摄取一些才是最佳解决方案。所以对于食物分析与归类的任务迫在眉睫。 本文根据食物的38项指标，围绕如何确定食物的划分，重点解决以下几个问题: 问题一：构造数学模型对题目提供的45种食物进行分类； 问题二：根据问题二解释并说明与人们习惯分类有什么异同；问题三：根据建模分析的结果，给大家写一封信，提出饮食建议。 二、问题分析 针对问题一，对于所涉及的食品进行分类，我们不知道食品有无内在联系，所以我们需要建立合理的数学模型来找到其中的相似，而模糊聚类的方法很好的解决了这一问题，通过对数据的相似聚类分析进而对45类食品进行分类。但是在使用该方法进行评价和计算时，涉及的数据量比较大，运算相对复杂，所以我们借助MATLAB程序来辅助完成此次研究。针对问题二、三，在一问的基础上进行分类并比较，从整体上对食品进行分析，其结论该具有一般性，对广大人民群众具有指导意义，同时对群众提出建议，以帮助大家制定合理饮食。3、 基本假设（1）题目所给的数据真实可靠（2）38项食物指标的处理方法是一样的（3）该模型仅考虑所给的45种食物（4）近几年没有对食品生产有重大影响的事件发生 四、符号说明（1） 对食物编号 Apple(苹果) 1，watermelon (西瓜) 2, . ，salmon(鲑鱼肉) 45。（2） 符号 r: 差别度量矩阵 R: 模糊相似矩阵 B: 传递闭包矩阵 R2: 截矩阵C，L: 选区的参数 五、模型建立5.1聚类分析模型建立采用模糊数学语言对事物按一定的要求进行描述和分类的数学方法称之为模糊聚类分析。聚类分析主要经过标定和聚类两个步骤。其中，繁琐的工作是求模糊相似矩阵和计算传递闭包。5.1.1流程图如下：5.1.2建立模型的步骤如下图：(1)标定（建立模糊相似矩阵） 模糊聚类中我们把建立模糊相似矩阵的过程称为标定，设论域U=x1,x2,.xn,xi= xi1 , xi2 ,. . .,xim依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，xi与xj 的相似程度rij=R(xi,xj)。要确定rij的方法有很多，有相似系数法，距离法等。 根据此题，我们采用绝对值减数法-欧氏距离： rij = 1 - cd(xi ,xj) 其中 0 c 1 , 适当选取 c 值 ,使得 rij在0 ,1 中分散开来，c即衡量被分类对象间相似程度的统计量，从而确定论域上的相似关系。(2) 聚类基于模糊等价矩阵聚类方法: 传递闭包法 在上一步标定所得的模糊矩阵，只是一个相似矩阵，不一定具有传递性，即R不一定是一个模糊等价矩阵。那么,为了进行分类，需要将R改造成模糊等价矩阵。所以我们用二次方法求R的传递闭包t(R),即对标定的模糊相似矩阵R ,依次用平方法计算,R2, R4,., R2t,.,当第一次出现 Rk Rk= Rk时 ,则称 Rk=(tij)为传递闭包,记为t(R)。 布尔矩阵法 在传递闭包 t(R)=(tij) 中 ,0 tij1 (i,j = 1,2,.,n ) ,令为tij中某一值(从高到低取值)。记:R2= (ij) , 其中 :ij = 1 当 tij 0 当 tij =k R2(i,j)=1; else R2(i,j)=0; end end end R2 %求截矩阵 end结果如图：最后我们把45种食物分为7类: 1,2,3,4,5， 6,7,8,9，10,11， 12,13,14,15,16,17,18,20,30,32,33,34,35,37， 19,31， 36， 38,39, 40,41,42,43,44,45 七、食品分类及建议7.1食品分类 通过建立模型求解，我们把这45种常见食物大致分成如下几类：水果、蔬菜、面点、甜品、鸡蛋、奶制品、肉类。这些食物涵盖了人体维持生命所必须的营养素：维生素、糖类、油脂、蛋白质、水、纤维素、无机盐。 水果中含有丰富的维生素，水果在人体内代谢时能产生较多的碱性物质，可以平衡人体酸碱度，多吃水果能延缓衰老，为精神紧张工作压力大的现代都市人增添活力。并且水果是癌症的天敌，因为水果中含有人体所必需的微量元素，可降低患癌几率。 蔬菜含有人体极为重要的各种维生素，如维生素A原（胡萝卜素）和维生素C、B1、B2等。蔬菜是人体矿物质的来源，如菠菜、芹菜等含有丰富的铁盐，洋葱、茄子含有较多的磷，绿叶蔬菜含有丰富的钙，海带、紫菜含有丰富的碘。蔬菜还能中和胃酸。最重要的是，蔬菜含有丰富的纤维素，有利于促进肠胃的蠕动，起到促进消化预防便秘的作用。 总之，蔬菜和水果都具有很高的营养价值，能够提高身体的免疫力。 我们每天都吃鸡蛋，鸡蛋富含蛋白质，蛋有五大功效：健脑益智，保护肝脏，防止动脉硬化，预防癌症，延缓衰老。鸡蛋中的蛋白质对肝脏组织损伤有修复作用，鸡蛋中含有较多的维生素B2，可以分解和氧化人体中的致癌物质。鸡蛋含有几乎人体所有重要的营养物质，被人们称作“理想的营养库”。 肉类的确是营养价值较高的食品之一，含有较多的蛋白质、脂肪、无机盐和维生素等营养物质，对儿童的生长发育、生理功能的调节及维持正常运动起着重要作用。然而，过量食肉对人体反而有害。肉类是酸性食物，而人的体液是碱性的，如果摄食太多肉类，就需要从身体骨骼中释放钙质去平衡，所以吃肉多的人容易骨质疏松。一般来说，猪肉中的脂肪和胆固醇含量要比其他肉类高，例如脂肪含量猪肉是鸡鸭鱼肉的6到36倍，是牛肉的11到15倍。 其实，这种根据数据的科学分类和人们的习惯分类大同小异。相同点是对于水果、蔬菜、肉类、甜点等能够清晰地辨认。不同点：人们一般认为鸡蛋和牛奶都含蛋白质，故觉得它们是一类，实际上鸡蛋和牛奶仍有0.71的差别度，差别较大，不属同一类，所以在日常生活中应该都有涉及，不可认为相互替代而偏爱其一。还有，诸如面包、脆饼、馅饼、煎饼、甜点等和牛奶是一类，这些食物都含有类似的营养成分淀粉，提供人体维持生命的基本养分。另一方面，面条是一类特殊的食物，应和以上面点类区分开来，都加以食用，面条在很多国家地区是人们日常生活的主食，其重要地位可见一斑，不能同供人们品尝的甜点类相比较。 7.2建议 俗话说的好：“人是铁，饭是钢，一顿不吃饿的慌。”当然说的是吃饭对大家的重要性。吃饭可是一门很大的学问，虽然中国人烹调煎、炒、烹、炸、蒸十八般厨艺样样精通，但不得不说，吃什么，怎么吃都是非常重要的。接下来就和大家说说食物该怎么吃。 在这里不得不说，中华的饮食文化果然博大精深，每个都讲究门道。首先说说大家天天吃的蔬菜。每天必吃的蔬菜必须是新鲜的，千万不要图省事一次买许多蔬菜，这样蔬菜的营养、水分都会丢失。而且不要单单只吃青菜、大白菜，可以换成吃生菜、西兰花、胡萝卜、洋葱等。 说完蔬菜，肯定要说大家的“肉”了。很多人现在信奉“无肉不欢”，其实这会对自身身体造成很大负担的。在餐桌上看到最多的就是猪肉，但是诸如猪牛羊肉一类的红肉都含有较高的脂肪。所以现在有多少人、脂肪超标，就是蔬菜和肉搭配不均的后果。这里，建议大家多吃鱼、鸡一类的白肉，这类肉含脂肪少，易消化。说到肉，不能不说过年时候大家吃的咸鱼、咸肉、咸鱼等腌制食品。就着白米饭吃下去，那个滋味确实是极好的。就仅仅是腌制食品中含有较多的亚硝酸盐就是致癌的，何况在此前提下增加了盐的摄入量。世界卫生组织建议要把食盐控制在每日5克以下，而全国人均吃盐量为每天10克以上。吃的太闲会明显增加高血压、胃癌等病的发病率！所以饮食要清淡，少吃腌制的食物。蔬菜、肉都说完了，主食也是必不可少的。我们的主食以白面、大米为主，却很少有人吃粗粮。根据调查报告表明，40%的居民不吃杂粮，16%的人不吃薯类。但杂粮和薯类中富含的膳食纤维是大米、面粉不可替代的。如果觉得粗粮难吃，可以选择硬面包、燕麦松饼这些加工过的，美味营养两不误。同样，大家选择奶及奶制品也不积极。奶不仅仅是小孩子的特权，它应该成为每个人习以为常的食物，就像青菜一样。大家也不想老了以后骨质疏松，磕不得碰不得。膳食提供的钙质是非常少的，平均只达到应该摄入的50%左右。奶类除含有优质蛋白质和维生素之外，还含有丰富的钙。酸奶、牛奶应该更加普及。再来说水果，本人就非常喜欢吃水果，可以说是每天必吃水果。An apple a day keeps doctor away。这句话想必说的是非常对的。水果对身体是百利而无一害的，当然不是代表能随便吃。“早上吃得好，中午吃得饱，晚上吃得少”才是健康膳食。说的容易，实际却很难做到。其实大家都知道其中的重要性，我就不一一赘述了。主要和大家说说怎么吃才是对身体最好的。一顿早餐至少包括谷类、蔬菜（水果）类、肉类和奶类之中的3类，才算得上是早餐质量较好。大家早餐经常吃的油条、牛奶、鸡蛋都是不错的，只要在此基础上吃点蔬菜、水果补充一下就可以了。午饭的时候就按照我之前说的，荤素搭配合理，肉类多食白肉就可以了。“晚饭要吃的像乞丐”尤为重要。人吃了晚饭之后，活动量相对就会减少，代谢慢了，吃油腻的东西只会增加肠胃和心脏的负担。所以晚餐要适量，一定要少吃猪肉、鱼肉等肉类食品，选择粗纤维食品，譬如芹菜、香菇、豆角等，他们有助于吸附油脂，促进血液循环。对于要熬夜的人，可以喝一些低脂牛奶、酸奶或者吃一些低糖的新鲜水果，像苹果、梨、葡萄。这些就是结合现在人们的饮食习惯，根据自己的分类，写给大家的建议。希望大家能够采纳，拥有健康的身体。 八、模型检验、评价与推广7.1模型检验： 选取c=0.75，=0.6，得到的结果也分为： 1,2,3,4,5， 6,7,8,9，10,11， 12,13,14,15,16,17,18,20,30,32,33,34,35,37，19,31，36，38,39,40,41,42,43,44,45 虽然这个模型对于分类的结果没有约束性，但是不同的参数最后的分类是一样的，说明前面的分类还是具有一定参考价值的。7.2模型评价： (1)优点：聚类分析模型的优点就是直观，结论形式简明。 (2)缺点：在此样本中数据量比较大，使用这模型要获得结论有一定的难度。由于相似系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联系的指标，而实践中有时尽管从被试反映所得出的数据中发现他们之间有紧密的关系，但事物之间却无任何内在联系，此时，如果根据距离或相似系数得出聚类分析的结果，显然是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。7.3模型改进与推广：聚类分析的方法很多，关键是分出来的类类内相似度高，类间相似度低，这是聚类效果比较好的表现。因为对于前面的取值，我们是挑选传递闭包矩阵里的一个值，所以很可能由于个人原因，使得取值不太恰当而导致分类的不合适，所以可以创建动态聚类图，这样可以避免主观情绪，客观的去判断取值。模糊聚类模型可运用于对水质测评的结果进行聚类分析，从而对水质的好坏进行划分，这样的分类对社会具有重要意义。九、参考文献1 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011。2 高新波，模糊聚类分析及其应用，西安：西安电子科技大学出版社，2004。3 孙宇锋，基于MATLAB的模糊聚类分析及应用，韶关学院学报 自然科学，第27卷第9期：