向量证明四点共面.doc

向量证明四点共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz， 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。以上是充要条件。2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行 如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内 用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为03怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且xyz1，则P，A，B，C四点共面简明地证明，网上的不具体，不要复制!证明：由x+y+z=1x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即：向量CP=x向量CA+y向量CB由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内P点必在平面ABC内。故：A，B，C，P四点共面。4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去证明： PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA到这里 因为ABC已经确定了一个平面 且 PA=bBA+cCA所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内，所以四点共面如果两个向量a. b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使p=xa+yb 编辑本段共面向量的定义：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量 编辑本段推论：推论1设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z) 使得OP=xOA+yOB+zOC OP,OA,OB,OC均表示向量 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面 （但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件） 证明： 1）唯一性： 设另有一组实数x,y,z 使得OP=xOA+yOB+zOC 则有xOA+yOB+zOC=xOA+yOB+zOC (x-x)OA+(y-y)OB+(z-z)OC=0 OA、OB、OC不共面 x-x=y-y=z-z=0即x=x、y=y、z=z 故实数x,y,z是唯一的 2）若x+y+z=1 则PABC四点共面： 假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面 那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB) 点P位于平面ABC内 与假设中的条件矛盾 故原命题成立 推论2空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使MP=xMA+yMB MP MA MB 都表示向量或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB OP,OM,MA,MB表示向量选定向量基底，解决常见立体几何问题利津二中 陈富君 魏静我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方法处理立体几何问题,常常可以收到化繁为简,化难为易,也降低了同学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底，通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决.这类问题常以特殊四面体（或空间四边形），平行六面体，特殊三棱柱等为载体. 一、证明三点共线ABDCEFGH例1 如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG : GCDH: HC1: 2.设EG和HF交于点P，求证P、A、C三点共线.解 设，则 ， CC1BADB1A1D1MN 且A为PA、AC公共点，故P、A、C三点共线二、证明直线平行平面向量平行平面ABC的充要条件是例2 直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AB1与BC1上的点，且，求证MN平面ABCD.解 设，则平面ABCD，而，故MN平面ABCD.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）例3 如图，在四面体ABCD中， M是AB的中点，N是CD的中点，求证：MN是异面直线AB，CD的公垂线的充要条件是：ACBD，BCAD.证明 设NMABCD必要性 若MN是异面直线AB，CD的公垂线，则，同样的可得 ， ，因此，ACBD，同理BCAD.充分性 由ACBD，得 由BCAD，得 得 故MNAM，同理MNCN，即 MN是异面直线AB，CD的公垂线.四、求异面直线的夹角例4 在正四面体ABCD中，M、P分别为棱AD、CD的中点，N、Q分别是面BCD、面AB