高考解析几何试题研究.ppt

高考解析几何试题研究 及2011年备考建议,湖南师大附中 苏林,解析几何是高中数学的主干知识之一，教材螺旋式上升地安排了三部分内容：解析几何初步（直线与圆）；圆锥曲线；坐标系与参数方程. 其中坐标系与参数方程为选修内容。 解析几何的命题既注重对解析几何基础知识的考查，又常结合函数、方程、不等式、三角函数、平面几何、数列、向量，通过处理轨迹、最值、对称、范围、参系数等问题来考查学生的数学综合能力.因其综合性强，运算要求较高，学生在解答解析几何问题时，往往失分较多。下面将从新旧考纲对解析几何考试要求的变化、湖南高考及新课标高考解析几何考点的分布、湖南高考解析几何试题命题特色、若干解析几何高考试题命题探源等方面谈谈我的一些认识与看法. 不妥之处望批评指正!,一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化：,1.大纲要求掌握两条直线所成的角，对两条平行直线间的距离不作明确要求；,课标对两条直线所成的角不作要求，但要求“会求两条平行直线间的距离”；,2.大纲要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质；,课标对解析几何部分的要求相对于大纲 有些明显的变化，整体要求有所降低，部分内 容有删减，参数方程放入了选修系列4，但内容 有所增加，主要变化如下：,一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化：,理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质； 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。,3.课标对椭圆、双曲线第二定义不作要求；,4.大纲要求理解椭圆和圆的参数方程，,课标在该处的要求分了两个层次：,文科要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。,一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化：,（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。,（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置 的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会 参数的意义。,课标在选修系列4中对参数方程要求有所 增加：,二、考点分布统计分析：,表1：2004年2010年湖南高考解析几何考点分布统计表：,二、考点分布统计分析：,表2：2010年全国新课标高考解析几何考点分布统计表：,二、考点分布统计分析：,从湖南高考和全国新课标地区高考试题考点 分布情况来看，新课程高考仍然注重对基础知识， 基本技能和数学思想方法的考查，试卷结构相对 稳定，一般解析几何的考查有三道题，选择、填 空题重点考查直线与圆、圆锥曲线基本问题、曲 线与方程，解答题以直线与圆锥曲线的位置关系 为载体，重点是对数学思想方法与相关能力进行 综合考查。,二、考点分布统计分析：,新课标对椭圆和双曲线的第二定义不作要求， 课标卷中均没有出现相关内容；对双曲线的考查 能力要求有所降低，较少作为解答题的形式出现， 但在基础知识部分的考查频率增加。湖南等部分 省份将坐标系与参数方程作为学生必选内容，故 该部分也作为基本知识和其它知识融合，在小题 中进行考查。其它省份则多以选做题的形式在小 题或解答题中进行考查。,二、考点分布统计分析：,湖南2004年开始自主命题，虽然2010年 才实行新课程第一次高考，但从考点分布情 况、试题命制特点等方面来看，试题的命制 融入了新课程理念，研究这些试题对2011年 高考备考具有指导意义。,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,1、注重对基础知识的考查，覆盖面广：,从“2004年2010年湖南高考解析几何考点分布统计表”可以看出，理科每年均有一至两道小题，文科有两到三道小题考查解析几何基础知识，考点涉及直线与圆，圆锥曲线的基本性质，并将小题和解答题的知识点分布进行了整体布局，基本覆盖了解析几何几大主要考点，注重对直线倾斜角和斜率、直线方程、直线位置关系，圆的方程、圆的几何性质、直线与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线的定义、简单几何性质等基础知识的考查。,2、注重在知识交汇点命题：,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,湖南高考从2004年开始自主命题，在试题 命制方面很好地融入了“能力立意，在知识交汇 点命制试题，让学生想得多，算得少”等新课程 理念。,2、注重在知识交汇点命题：,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,例1 （04年湖南理16）设F是椭圆 的右 焦点,且椭圆上至少有21个不同的点 使 组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .,【点评】以椭圆简单几何性质为背景，将数列、不等式知识巧妙地结合。,例2 （05年湖南文7）设直线的方程是 ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A20 B19 C18 D16,2、注重在知识交汇点命题：,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,【点评】将直线方程与排列组合知识结合.,例3 （04年湖南理21文22）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点.,3、注重对学生能力和素质的考查：,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,（）设点P分有向线段所成的比为， 证明: ；,（）设直线AB的方程是x2y12=0，过A、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求 圆C的方程.,例3 （04年湖南理21文22）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点.,3、注重对学生能力和素质的考查：,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,【点评】以直线与抛物线的位置 关系为主体，很好的融合了向量 共线及垂直、坐标法、直线与圆 的位置关系，导数法求抛物线切 线的斜率等知识，很好地考查了 学生的能力和素质。,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,4、坚持数学应用，考查应用意识：,应用题已经成为了湖南高考数学卷的特色 之一，湖南高考数学卷每年坚持命制了除概率 统计之外的应用题，前几年一般以函数、三角 函数、数列等知识点为背景命制应用题，2010 年更是命制了以解析几何为背景的应用题。,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,4、坚持数学应用，考查应用意识：,例4 （2010湖南理20）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线 的右侧，考察范围为到 点B 的距离不超过 km的区域；在直线 的左侧，考察范围为 到A，B两点的距离之和不超过 km的区域,（）求考察区域边界曲线的方程；,（）如图6所示，设线段P1P2、P2P3是冰川的部分边界线（不考 虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察 区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间,【点评】通过命制应用题来定位考查学生的数 学应用意识，落实新课程中“发展学生的应用意 识”的理念。命制解析几何应用 题湖南是第一次，落实了新课 标中对圆锥曲线的要求“了解圆 锥曲线的实际背景，感受圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用”。,三、湖南卷解析几何试题特点分析：,4、坚持数学应用，考查应用意识：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,1、以教材例题习题为背景命制试题：,（1）利用教材例题恰当的设置背景和设问方式 命制试题：,例5 （2010湖南理20）（见例4）,【背景探源】背景选自选修21第47页例7,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,1、以教材例题习题为背景命制试题：,（1）利用教材例题恰当的设置背景和设问方式 命制试题：,例5 （2010湖南理20）（见例4）,【点评】给教材中一个很普通的例题，加上一个 应用背景，既考查了学生的应用意识，又考查了 椭圆、圆的定义，以及直线与椭圆、圆的位置关 系，理科试题中还融入了数列知识.具有立意新、 入口宽、覆盖面广、难度适当等显著特色。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,1、以教材例题习题为背景命制试题：,（2）对教材例题进行深入研究得出新的结论， 巧妙设置问法，命制符合课标要求的试题：,例6 （2010年北京理19）在平面直角坐标系xoy中，点B与点 A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率 之积等于 . ()求动点P的轨迹方程； ()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存 在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,例7 （2010上海理23）已知椭圆的方程为 ， A(0,b)、B(0, b)和Q(a,0)为的三个顶点 (1) 若点M满足 ，求点M的坐标； (2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆于C、D两点，交直线l2:y=k2x于 点E若 ，证明：E为CD的中点； (3) 设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线 l，使得l与椭圆的两个交点P1、P2满足 ？令 a=10，b=5，点P的坐标是(8, 1)若椭圆上的点P1、P2满 足 ，求点P1、P2的坐标,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,例8 （2010年山东理21）如图，已知椭圆 的 离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶 点的三角形 的周长为 .一等轴双曲线的顶 点是该椭圆 的焦点，设 P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与 椭圆的交点分别为A、B 和C、D . （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 PF1、PF2的斜率分别为k1、 k2 ，证明 k1k2 =1； （）是否存在常数，使得 恒成立 ？若存 在，求的值；若不存在，请说明理由.,【背景探源】背景选自选修21第41页例3， 及选修21第55页探究：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,结论1：,平面上一动点P与两定点A、B斜率之积为定值m，(设AB中点为O),(1) 若m(, 1)(1,0)，则P点的轨迹是以O为中心的椭圆（除去A、B及A、B关于过O的水平直线对称的两点）；,(2) 若m= 1则P点的轨迹是以O为中心的圆（除去A、B及A、B关于过O的水平直线对称的两点）；,(3) 若m(0,+)，则P点的轨迹是以O为中心的双曲线（除去A、B及A、B关于过O的水平直线对称的两点）.,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,结论2：,P是有心二次曲线C上任意一点， A、B是此曲线上关于中心对称的两点，设PA、PB的斜率分别为k1 、 k2则k1与k2之积为定值m，,(1) 若C是椭圆，则m=,(2) 若C是圆，则m=1,(3) 若C是双曲线，则m=,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2010年山东卷分析：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,推论：,斜率为k1的直线l被有心二次曲线C所截弦的中点为M ，设M 与 C 的中心所在直线斜率为k2，则k1与k2之积为定值m，,(1) 若C是椭圆，则m=,(2) 若C是圆，则m=1,(3) 若C是双曲线，则m=,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2010年上海卷分析：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2、以有心二次曲线性质为背景，在表述上求 新意，在问法上作创新命制试题：,例9 （2010年高考浙江卷理科21）已知m1,直线l:xmy =0, 椭圆C：( )2+y2= 1 ，F1、F2分别为椭圆C的左右焦点。 （）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程； （）设直线l与椭圆C交与A、B两点，AF1F2, BF1F2的重心 分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的的圆内，求实数m的取 值范围。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,例10 （2010年高考陕西卷理科20）如图，椭圆C： 的 顶点为A1、A2 、 B1 、 B2,焦点为F1,F2, | A1B1| = 7 , SA1B1A2B2 = 2 SB1F1 B2F2 ()求椭圆C的方程； ()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交 于A,B两点的直线，OP = 1，是否存在 上述直线l使 成立？若存在， 求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,例11 （2007年江西理21）设动点P到点A(1,0) 和 B(1,0)的距离分别为d1、d2 ， ，且 存在常数 ，使得 （1）证明：动点P 的轨迹C为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C的右支于M、N 两 点，试确定的范围，使 ，其中O点 为坐标原点.,【背景探源】以有心二次曲线的一个性质为背景 命制而成:,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2010年浙江卷分析：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2010年陕西卷分析：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,2007年江西卷分析：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,利用该背景命制的高考题最早出现在1991年 全国高考理26：双曲线的中心在坐标原点O,焦点 在x轴上，过双曲线右焦点，且斜率为 的直线 交双曲线于P、Q两点.若OPOQ，|PQ|=4, 求双曲线的方程.,1991年全国高考文26：已知椭圆的中心在坐标原 点，焦点在坐标轴上，直线y = x + 1与该椭圆相交 于P、Q，且OPOQ，|PQ|= ,求该椭圆的方程.,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,近些年以该背景命制的高考试题还有： 2007年陕西、2007年天津、2007年四川、 2008年辽宁、2008年福建、2008年海南宁夏、 2009年山东、2009年北京.,出现此景象的原因与该背景的特点和新课程 标准有着密不可分的关系，（1）“垂直、角的范 围”可用向量有效刻画；（2）直线与圆的位置关 系可通过点到直线的距离进行刻画；（3）交点 坐标联立方程设而不求；这些特点与新课标考试 要求：重主干知识、重通性通法、重算法算理、 能力立意、知识交汇、重数学思想方法等能很好 的吻合。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,3、注重算法和算理、数学思想方法的考查，在 问题背景上作创新：,为了达到考查算法、算理和数学思想方法的 考查目标，命题者以算法和思想方法为核心，在 知识背景上做文章，试题往往体现了“同法不同 源”的特点。,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,3、注重算法和算理、数学思想方法的考查，在 问题背景上作创新：,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,3、注重算法和算理、数学思想方法的考查，在 问题背景上作创新：,例13 （2009年辽宁文22）已知抛物线 C：x2=2py (p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为 （I）求 p与m 的值； （II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0) ，过 p的直线交C于另一点Q，交x轴于点M ，过点Q 作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线， 求t的最小值,例14 （2010山东理21）见例8,四、对若干高考解析几何试题探源研究：,3、注重算法和算理、数学思想方法的考查，在 问题背景上作创新：,【点评】这三道高考题都涉及到两条直线与圆锥曲线相交的问题，如果设出两条直线分别与圆锥曲线联立，运算量较大，如果考虑到两个斜率的等量关系，只需将一条直线与圆锥曲线联立，而另一条可以直接运用k1与k2的关系替代，这样可以减少运算量。三道题都通过“斜率替代”使运算量降低，但设置了三个完全不同的问题背景，分别在椭圆、抛物线、双曲线中构建了 “k1+ k2 = 0、 k1k2 = 1、 k1k2 = 1”，运用同样的算法“斜率替代”可简化运算.,五、复习备考建议：,1、注重对基本知识，基本技能的落实：,对基础知识、基本技能的考查，仍然是新课标高考的重点， 基础题仍然是试题的主要构成，是学生得分的主要来源。复习过 程中应让学生对解析几何三部分内容有一个清晰的架构，明确每 一部分有哪些考点，高考怎样出题，积累常用模型（如求离心率 或离心率的取值范围、焦点三角形中的相关问题等），熟练通用 方法，注意模型和方法中容易出错的细节。落实基本技能的训练， 如考查直线与圆锥曲线的综合问题，一般都要经历联立方程、消 元、求判别式确定参数范围、韦达定理写出两根之和、之积，代 入直线或抛物线方程求另一坐标之和、之积等过程，我们可以在 课堂、作业、考试、课外辅导中对学生进行落实.对学生常见错误 进行总结，提高学生基本运算能力和得分能力。,五、复习备考建议：,2、注重对数学思想方法提炼：,数学思想方法的考查分为三个层面：“配方法、换元法、 代入法、消元法、待定系数法”等具体方法的考查；“分析法、 综合法、类比法、归纳法、演绎法、反证法”等一般逻辑方法的 考查；“函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化 归与转化思想”等数学思想的考查。新课标高考讲究能力立意， 对数学思想方法的考查贯穿整套试卷，无论是基础题还是综合 题。所以在复习备考过程中，应当将数学思想方法的渗透和提炼 贯穿始终。,五、复习备考建议：,3、注